Operations on Matrices MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Operations on Matrices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 5, 2025
Latest Operations on Matrices MCQ Objective Questions
Operations on Matrices Question 1:
आव्यूहों \(\rm P=\begin{bmatrix}0&c&-b\\\ -c&0&a\\\ b&-a&0\end{bmatrix}\ और\ \rm Q=\begin{bmatrix}a^2&ab&ac\\\ ab&b^2&bc\\\ ac&bc&c^2\end{bmatrix}\) के संबंध में निम्नलिखित पर विचार करें।
I. PQ एक शून्य आव्यूह है।
II. QP कोटि 3 का एक तत्समक आव्यूह है।
III. PQ = QP
उपरोक्त में से कौन सा/से सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 1 Detailed Solution
आव्यूह गुणन और गुणधर्म:
- आव्यूह गुणन में पंक्तियों और स्तंभों का बिंदु गुणन शामिल होता है।
- एक शून्य आव्यूह एक ऐसा आव्यूह है जिसमें सभी अवयव शून्य होते हैं।
- एक तत्समक आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जिसमें विकर्ण पर 1 और अन्यत्र 0 होते हैं।
- आव्यूहों P और Q के लिए, PQ = QP सामान्यतः तब तक नहीं होता जब तक कि P और Q क्रमविनिमेय न हों।
आव्यूह परिभाषाएँ:
- शून्य आव्यूह: एक आव्यूह जहाँ सभी अवयव शून्य होते हैं।
- तत्समक आव्यूह: एक वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य विकर्ण पर 1 और अन्यत्र 0 होते हैं।
गणना:
\(\rm P=\begin{bmatrix}0&c&-b\\\ -c&0&a\\\ b&-a&0\end{bmatrix}\ और\ \rm Q=\begin{bmatrix}a^2&ab&ac\\\ ab&b^2&bc\\\ ac&bc&c^2\end{bmatrix}\)
⇒ PQ = \(=\begin{bmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{bmatrix}\ \)
⇒QP = \(=\begin{bmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{bmatrix}\ \)
तब PQ = QP
∴ विकल्प (c) सही है।
Operations on Matrices Question 2:
माना कि X कोटि 3 x 3 का एक आव्यूह है, Y कोटि 2 x 3 का एक आव्यूह है और Z कोटि 3 x 2 का एक आव्यूह है। निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?
I. (ZY)X परिभाषित है और कोटि 3 का एक वर्ग आव्यूह है।
II. Y(XZ) परिभाषित है और कोटि 2 का एक वर्ग आव्यूह है।
III. X(YZ) परिभाषित नहीं है।
नीचे दिए गए कोड का उपयोग करके उत्तर चुनें।
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 2 Detailed Solution
अवधारणा:
आव्यूह गुणन:
- आव्यूह गुणन केवल तभी परिभाषित होता है जब पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो।
- दो आव्यूहों \( A_{m \times n} \) और \( B_{n \times p} \) के लिए, उनका गुणनफल \( AB \) एक आव्यूह \( C_{m \times p} \) में परिणाम देगा।
- सामान्य तौर पर, \( X \) और \( Y \) का गुणनफल तभी परिभाषित होता है जब \( X \) में स्तंभों की संख्या \( Y \) में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो।
गणना:
हमारे पास निम्नलिखित आव्यूह संक्रियाएँ हैं:
\( A_{m \times n} B_{n \times p} = (AB)_{m \times p} \)
अब, आव्यूह गुणन पर विचार करें:
\([Z_{3 \times 2} . Y_{2\times3}].X_{3 \times 3}] = [ZYX]_{3 \times 3}\)
\( Y_{2 \times 3} [X_{3 \times 3} Z_{3 \times 2}] = [YXZ]_{2 \times 2} \)
अंत में, हम देखते हैं कि:
\( X_{3 \times 3} [Y_{2 \times 3} Z_{3 \times 2}] = X_{3 \times 3} [YZ]_{2 \times 2} \)
निष्कर्ष:
\(\text{No. of columns in X} \neq \text{No. of rows in (YZ)}\)
इसलिए, X(YZ) परिभाषित नहीं है।
∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।
Operations on Matrices Question 3:
यदि \(\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] \cdot A \cdot\left[\begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\) है, तो A = ?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 3 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है: \(\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] \cdot A \cdot\left[\begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\)
⇒ \(A \cdot\left[\begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] ^{-1}\)
⇒ \(A =\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] ^{-1}\left[\begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{array}\right]^{-1}\)
⇒ \(A =\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{array}\right]\)
⇒ \(A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\)
इसलिए, A का मान \(\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\) है।
सही उत्तर विकल्प 1 है।
Operations on Matrices Question 4:
यदि \(\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{array}\right]\) है, तो मैट्रिक्स A3 का व्युत्क्रम है
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 4 Detailed Solution
Operations on Matrices Question 5:
यदि \(\rm A=\begin{bmatrix}i&0\\\ 0&i\end{bmatrix}\) तथा \(\rm B=\begin{bmatrix}0&-i\\\ -i&0\end{bmatrix}\) तो (A + B) (A – B) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 5 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है, \(\rm A=\begin{bmatrix}i&0\\\ 0&i\end{bmatrix}\) और \(\rm B=\begin{bmatrix}0&-i\\\ -i&0\end{bmatrix}\)
∴ A + B = \(\begin{bmatrix}i&0\\\ 0&i\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&-i\\\ -i&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}i&-i\\\ -i&i\end{bmatrix}\)
A – B = \(\begin{bmatrix}i&0\\\ 0&i\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&-i\\\ -i&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}i&i\\\ i&i\end{bmatrix}\)
∴ (A + B) (A – B) = \(\begin{bmatrix}i&-i\\\ -i&i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i&i\\\ i&i\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}i^2-i^2&i^2-i^2\\\ -i^2+i^2&-i^2+i^2\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0&0\\\ 0&0\end{bmatrix}\)
अब, A2 = \(\begin{bmatrix}i&0\\\ 0&i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i&0\\\ 0&i\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}i^2&0\\\ 0&i^2\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}-1&0\\\ 0&-1\end{bmatrix}\)
B2 = \(\begin{bmatrix}0&-i\\\ -i&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-i\\\ -i&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}i^2&0\\\ 0&i^2\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}-1&0\\\ 0&-1\end{bmatrix}\)
⇒ A2 - B2 = \(\begin{bmatrix}-1&0\\\ 0&-1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1&0\\\ 0&-1\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0&0\\\ 0&0\end{bmatrix}\)
⇒ (A + B) (A – B) = A2 - B2
∴ (A + B) (A – B) का मान A2 - B2 है।
सही उत्तर विकल्प 1 है।
Top Operations on Matrices MCQ Objective Questions
यदि A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & x-3 & x-2 \\ 3 & -2 & -1 \\ 4 & -1 & -5 \\ \end{matrix} \right]\) एक सममित आव्यूह है तो x क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 6 Detailed Solution
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सममित आव्यूह:
- यदि आव्यूह A का परावर्त स्वयं आव्यूह A के बराबर हो तो वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है
- AT = A या A’ = A
जहां AT या A’ आव्यूह के परावर्त को दर्शाता है
- एक वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है यदि aij = aji सभी i और j के लिए
जहां aij और aji आव्यूह में मौजूद एक तत्व है।
गणना:
दिया हुआ:
A एक सममित आव्यूह है
⇒ AT = A या aij = aji
A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & x-3 & x-2 \\ 3 & -2 & -1 \\ 4 & -1 & -5 \\ \end{matrix} \right]\)
तो सममित आव्यूहों के गुण द्वारा
⇒ a12 = a21
⇒ x – 3 = 3
∴ x = 6A की कोटि 4 × 3 है, B की कोटि 4 × 5 है और C की कोटि 7 × 3 है, तो (ATB)T C T की कोटि क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 7 Detailed Solution
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- एक n × p आव्यूह द्वारा एक m × n आव्यूह को गुणा करने के लिए n को समान होना चाहिए, और परिणाम एक m × p आव्यूह है।
- यदि A कोटि m × n का आव्यूह है तो परिवर्त आव्यूह की कोटि n × m है
गणना:
दिया हुआ:
A की कोटि 4 × 3 है, B की कोटि 4 × 5 है और C की कोटि 7 × 3 है
मूल आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त आव्यूह का परिवर्त।
तो, AT की कोटि 3 × 4 है और CT की कोटि 3 × 7 है
अभी,
ATB = {3 × 4} {4 × 5} = 3 × 5
⇒ ATB की कोटि 3 × 5 है
इसलिए (ATB) T की कोटि 5 × 3 है
अब (ATB) T C T की कोटि= {5 × 3} {3 × 7} = 5 × 7
∴ (ATB) T C T की कोटि 5 × 7 हैयदि \({\rm{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{{\rm{x}} + 2}\\ {2{\rm{x}} - 3}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right)\) सममित है तो x किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 8 Detailed Solution
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सममित आव्यूह: यदि एक आव्यूह का परिवर्त स्वयं के बराबर है तो उस आव्यूह को सममित कहा जाता है।
या आव्यूह A केवल तभी सममित है यदि गमनागमन सूचकांक अपने घटकों को परिवर्तित नहीं करता है।
- A = AT
- aij = aji
गणना:
दिया गया है - \({\rm{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{{\rm{x}} + 2}\\ {2{\rm{x}} - 3}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right)\)
एक वास्तविक वर्गाकार आव्यूह A = (aij) को सममित कहा जाता है, यदि A = AT है।
जहाँ AT = आव्यूह A का परिवर्त
\({{\rm{A}}^{\rm{T}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{2{\rm{x}} - 3}\\ {{\rm{x}} + 2}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right)\)
∴ A = AT
\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{{\rm{x}} + 2}\\ {2{\rm{x}} - 3}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{2{\rm{x}} - 3}\\ {{\rm{x}} + 2}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right]\)
A21 तत्व की तुलना करने पर।
⇒ x + 2 =2x - 3
⇒ x = 5
यदि A अनैच्छिक आव्यूह है और I उसी कोटि का इकाई आव्यूह है तो (I - A) (I + A) क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 9 Detailed Solution
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अनैच्छिक आव्यूह:
- आव्यूह A को अनैच्छिक कहा जाता है यदि A2 = I, जहां I, A के समान कोटि का तत्समक आव्यूह है।
- अनैच्छिक आव्यूह एक आव्यूह है जो अपने स्वयं के व्युत्क्रम के बराबर होता है। ⇔ A-1 = A
गणना:
दिया हुआ है कि A अनैच्छिक आव्यूह है,
⇒ A2 = I
अब
(I − A) (I + A) = I2 – IA + AI − A2
⇒ I – A + A – I (∵ A2 = I)
⇒ 0
∴ (I − A) (I + A) शून्य आव्यूह है।यदि \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\) है, तो A4 का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 10 Detailed Solution
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दिया गया है: \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\)
\({{\rm{A}}^2} = {\rm{AA}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\)
\(\Rightarrow {{\rm{A}}^2} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 + 1}&{0 + 0}\\ {0 + 0}&{1 + 0} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)
अब,
\(\Rightarrow {{\rm{A}}^4} = {{\rm{A}}^2}{{\rm{A}}^2} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)
अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।
एक वर्ग आव्यूह A को लांबिक कहा जाता है यदि ______, जहाँ A’ A का परिवर्त है।
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 11 Detailed Solution
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लांबिक आव्यूह: जब एक आव्यूह का इसके परावर्त के लिए गुणनफल तत्समक आव्यूह देता है।
मान लीजिए A वास्तविक तत्वों और n x n कोटि के साथ एक वर्ग आव्यूह है और A’ A का परिवर्त है।
AAT = I
गणना:
मान लीजिए A वास्तविक तत्वों और n x n कोटि के साथ एक वर्ग आव्यूह है और A’ A का परिवर्त है।
फिर परिभाषा के अनुसार;
AAT = I
A-1 से पूर्व गुणन
⇒ A-1 AAT = A-1 I
⇒ IAT = A-1
⇒ AT = A-1 या A’ = A-1
तब A लांबिक आव्यूह है।
∴ विकल्प 2 सही है
यदि \(\rm \begin{bmatrix} \rm 2x & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ \ 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \rm x \\ 8 \end{bmatrix}=0\) है, तो x का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 12 Detailed Solution
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आव्यूह गुणन:
गुणन केवल तब संभव होता है जब पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह के पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है।
एक m×n आव्यूह को n×p आव्यूह से गुणा किया जाता है, परिणामस्वरूप m×p आव्यूह होता है।
आव्यूहों को p स्तंभों वाले गुणनफल आव्यूह की पहली पंक्ति प्राप्त करने के लिए दूसरे आव्यूह n×p आव्यूह के सभी स्तंभों के संबंधित तत्वों के साथ पहले m×n आव्यूह की एक पंक्ति के प्रत्येक पंक्ति से गुणन करके गुणा किया जाता है, और इस तरह आगे भी पहली पंक्ति में सभी m पंक्तियों के लिए गुणा करते हैं।
गणना:
\(\rm \begin{bmatrix} \rm 2x & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ \ 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}\) = [2x - 9 4x + 0]
= [2x - 9 4x]
∴ \(\rm \begin{bmatrix} \rm 2x & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ \ 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \rm x \\ 8 \end{bmatrix}=0\)
\(\rm \Rightarrow \begin{bmatrix}\rm 2x-9 & \rm 4x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\rm x \\ 8\end{bmatrix}\) = 0
⇒ [(2x - 9)x + 8 × 4x] = 0
⇒ [2x2 - 9x + 32x] = 0
⇒ 2x2 + 23x = 0
⇒ x(2x + 23) = 0
⇒ x = 0 या \(\rm -\dfrac{23}{2}\).
यदि x + 2y = \(\begin{bmatrix} 2 & -3\\ 1 & 5 \end{bmatrix}\) और 2x + 5y = \(\begin{bmatrix} 7 & 5\\ 2 & 3 \end{bmatrix}\) है, तो y किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 13 Detailed Solution
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दिया गया है:
x + 2y = \(\begin{bmatrix} 2 & -3\\ 1 & 5 \end{bmatrix}\) .... (1)
2x + 5y = \(\begin{bmatrix} 7 & 5\\ 2 & 3 \end{bmatrix}\) .... (2)
समीकरण (1) में 2 से गुणा करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
⇒ 2x + 4y = \(\begin{bmatrix} 4 & -6\\ 2 & 10 \end{bmatrix}\) .... (3)
समीकरण (2) से समीकरण (3) को घटाने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
⇒ (2x + 5y) - (2x + 4y) = \(\begin{bmatrix} 7 & 5\\ 2 & 3 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 4 & -6\\ 2 & 10 \end{bmatrix}\)
∴ y = \( \begin{bmatrix} 3 & 11\\ 0 & -7 \end{bmatrix}\)
यदि A और B ऐसे दो आव्यूह हैं कि AB = B और BA = A, तो A2 + B2 किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 14 Detailed Solution
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आव्यूह का साहचर्य गुण निम्न द्वारा दिया गया है:
X (YZ) = (XY) Z ----(1)
दिया गया:
AB = B और BA = A ----(2)
गणना:
A2 + B2
⇒ AA + BB
⇒ A (BA) + B (AB) [2 का उपयोग करने पर)]
⇒ (AB) A + (BA) B [(1) का उपयोग करने पर]
⇒ BA + AB
⇒ A + B
इसलिए, A2 + B2 = A + B
यदि \(\begin{bmatrix} \rm 2x & 5\\ 7 & \rm -y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5\\7 & 3 \end{bmatrix}\) है तो x + y का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrices Question 15 Detailed Solution
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दो आव्यूह A और B को बराबर कहा जाता है यदि निम्नलिखित स्थितियां सत्य हैं:
- आव्यूह A की कोटि = आव्यूह B की कोटि
- आव्यूह A का संबंधित तत्व = आव्यूह B का संबंधित तत्व
गणना:
दिया गया है: \(\begin{bmatrix} \rm 2x & 5\\ 7 & \rm -y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5\\7 & 3 \end{bmatrix}\)
चूँकि हम जानते हैं कि यदि दो आव्यूह A और B बराबर हैं तो उनके संबंधित तत्व भी समान हैं।
⇒ 2x = 8
∴ x = 4
अब,
⇒ -y = 3
∴ y = -3
हमें x + y का मान ज्ञात करना है।
इसलिए, x + y = 4 - 3 = 1
अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।