Operations on Matrices MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Operations on Matrices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

आव्यूह गुणन और गुणधर्म:

• आव्यूह गुणन में पंक्तियों और स्तंभों का बिंदु गुणन शामिल होता है।
• एक शून्य आव्यूह एक ऐसा आव्यूह है जिसमें सभी अवयव शून्य होते हैं।
• एक तत्समक आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जिसमें विकर्ण पर 1 और अन्यत्र 0 होते हैं।
• आव्यूहों P और Q के लिए, PQ = QP सामान्यतः तब तक नहीं होता जब तक कि P और Q क्रमविनिमेय न हों।

आव्यूह परिभाषाएँ:

• शून्य आव्यूह: एक आव्यूह जहाँ सभी अवयव शून्य होते हैं।
• तत्समक आव्यूह: एक वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य विकर्ण पर 1 और अन्यत्र 0 होते हैं।

गणना:

\(\rm P=\begin{bmatrix}0&c&-b\\\ -c&0&a\\\ b&-a&0\end{bmatrix}\ और\ \rm Q=\begin{bmatrix}a^2&ab&ac\\\ ab&b^2&bc\\\ ac&bc&c^2\end{bmatrix}\)

⇒ PQ = \(=\begin{bmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{bmatrix}\ \)

⇒QP = \(=\begin{bmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{bmatrix}\ \)

तब PQ = QP

∴ विकल्प (c) सही है। 

अवधारणा:

आव्यूह गुणन:

• आव्यूह गुणन केवल तभी परिभाषित होता है जब पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो।
• दो आव्यूहों \( A_{m \times n} \) और \( B_{n \times p} \) के लिए, उनका गुणनफल \( AB \) एक आव्यूह \( C_{m \times p} \) में परिणाम देगा।
• सामान्य तौर पर, \( X \) और \( Y \) का गुणनफल तभी परिभाषित होता है जब \( X \) में स्तंभों की संख्या \( Y \) में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो।
   

गणना:

हमारे पास निम्नलिखित आव्यूह संक्रियाएँ हैं:

\( A_{m \times n} B_{n \times p} = (AB)_{m \times p} \)

अब, आव्यूह गुणन पर विचार करें:

\([Z_{3 \times 2} . Y_{2\times3}].X_{3 \times 3}] = [ZYX]_{3 \times 3}\)

\( Y_{2 \times 3} [X_{3 \times 3} Z_{3 \times 2}] = [YXZ]_{2 \times 2} \)

अंत में, हम देखते हैं कि:

\( X_{3 \times 3} [Y_{2 \times 3} Z_{3 \times 2}] = X_{3 \times 3} [YZ]_{2 \times 2} \)

निष्कर्ष:

\(\text{No. of columns in X} \neq \text{No. of rows in (YZ)}\)

इसलिए, X(YZ) परिभाषित नहीं है।

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है। 

गणना:

दिया गया है: \(\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] \cdot A \cdot\left[\begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\)

⇒ \(A \cdot\left[\begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] ^{-1}\)

⇒ \(A =\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] ^{-1}\left[\begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{array}\right]^{-1}\)

⇒ \(A =\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{array}\right]\)

⇒ \(A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\)

इसलिए, A का मान \(\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\) है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है, \(\rm A=\begin{bmatrix}i&0\\\ 0&i\end{bmatrix}\) और \(\rm B=\begin{bmatrix}0&-i\\\ -i&0\end{bmatrix}\)

∴ A + B = \(\begin{bmatrix}i&0\\\ 0&i\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&-i\\\ -i&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}i&-i\\\ -i&i\end{bmatrix}\)

A – B = \(\begin{bmatrix}i&0\\\ 0&i\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&-i\\\ -i&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}i&i\\\ i&i\end{bmatrix}\)

∴ (A + B) (A – B) = \(\begin{bmatrix}i&-i\\\ -i&i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i&i\\\ i&i\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}i^2-i^2&i^2-i^2\\\ -i^2+i^2&-i^2+i^2\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0&0\\\ 0&0\end{bmatrix}\)

अब, A² = \(\begin{bmatrix}i&0\\\ 0&i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i&0\\\ 0&i\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}i^2&0\\\ 0&i^2\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}-1&0\\\ 0&-1\end{bmatrix}\)

B2 = \(\begin{bmatrix}0&-i\\\ -i&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-i\\\ -i&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}i^2&0\\\ 0&i^2\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}-1&0\\\ 0&-1\end{bmatrix}\)

⇒ A2 - B2 = \(\begin{bmatrix}-1&0\\\ 0&-1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1&0\\\ 0&-1\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0&0\\\ 0&0\end{bmatrix}\)

⇒ (A + B) (A – B) = A2 - B2 

∴ (A + B) (A – B) का मान A2 - B2 है। 

सही उत्तर विकल्प 1 है।​

धारणा:

सममित आव्यूह:

• यदि आव्यूह A का परावर्त स्वयं आव्यूह A के बराबर हो तो वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है
• A^T = A या A’ = A

जहां AT या A’ आव्यूह के परावर्त को दर्शाता है

• एक वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है यदि aij = aji सभी i और j के लिए
  जहां a_ij और a_ji आव्यूह में मौजूद एक तत्व है।

गणना:

दिया हुआ:

A एक सममित आव्यूह है

⇒ A^T = A या a_ij = a_ji

A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & x-3 & x-2 \\ 3 & -2 & -1 \\ 4 & -1 & -5 \\ \end{matrix} \right]\)

तो सममित आव्यूहों के गुण द्वारा

⇒ a₁₂ = a₂₁

⇒ x – 3 = 3

संकल्पना:

• एक n × p आव्यूह द्वारा एक m × n आव्यूह को गुणा करने के लिए n को समान होना चाहिए, और परिणाम एक m × p आव्यूह है।
• यदि A कोटि m × n का आव्यूह है तो परिवर्त आव्यूह की कोटि n × m है

गणना:

दिया हुआ:

A की कोटि 4 × 3 है, B की कोटि 4 × 5 है और C की कोटि 7 × 3 है

मूल आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त आव्यूह का परिवर्त।

तो, AT की कोटि 3 × 4 है और CT की कोटि 3 × 7 है

अभी,

A^TB = {3 × 4} {4 × 5} = 3 × 5

⇒ A^TB की कोटि 3 × 5 है

इसलिए (A^TB) ^T की कोटि 5 × 3 है

अब (A^TB) ^T C ^T की कोटि= {5 × 3} {3 × 7} = 5 × 7

संकल्पना:

सममित आव्यूह: यदि एक आव्यूह का परिवर्त स्वयं के बराबर है तो उस आव्यूह को सममित कहा जाता है। 

या आव्यूह A केवल तभी सममित है यदि गमनागमन सूचकांक अपने घटकों को परिवर्तित नहीं करता है। 

• A = A^T
• a_ij = a_ji

गणना:

दिया गया है - \({\rm{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{{\rm{x}} + 2}\\ {2{\rm{x}} - 3}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right)\)

एक वास्तविक वर्गाकार आव्यूह A = (a_ij) को सममित कहा जाता है, यदि A = A^T है। 

जहाँ A^T = आव्यूह A का परिवर्त

\({{\rm{A}}^{\rm{T}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{2{\rm{x}} - 3}\\ {{\rm{x}} + 2}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right)\)

∴ A = A^T

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{{\rm{x}} + 2}\\ {2{\rm{x}} - 3}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{2{\rm{x}} - 3}\\ {{\rm{x}} + 2}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right]\)

A₂₁ तत्व की तुलना करने पर। 

⇒ x + 2 =2x - 3

⇒ x = 5

धारणा:

अनैच्छिक आव्यूह:

• आव्यूह A को अनैच्छिक कहा जाता है यदि A2 = I, जहां I, A के समान कोटि का तत्समक आव्यूह है।
• अनैच्छिक आव्यूह एक आव्यूह है जो अपने स्वयं के व्युत्क्रम के बराबर होता है। ⇔ A^-1 = A

गणना:

दिया हुआ है कि A अनैच्छिक आव्यूह है,

⇒ A² = I

अब

(I − A) (I + A) = I² – IA + AI − A² 

⇒ I – A + A – I           (∵ A2 = I)

⇒ 0

संकल्पना:

दिया गया है: \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\)

\({{\rm{A}}^2} = {\rm{AA}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\)

\(\Rightarrow {{\rm{A}}^2} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 + 1}&{0 + 0}\\ {0 + 0}&{1 + 0} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

अब,

\(\Rightarrow {{\rm{A}}^4} = {{\rm{A}}^2}{{\rm{A}}^2} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

अतः विकल्प 1 सही उत्तर है। 

धारणा:

लांबिक आव्यूह: जब एक आव्यूह का इसके परावर्त के लिए गुणनफल तत्समक आव्यूह देता है।

मान लीजिए A वास्तविक तत्वों और n x n कोटि के साथ एक वर्ग आव्यूह है और A’ A का परिवर्त है।

AAT = I

गणना:

मान लीजिए A वास्तविक तत्वों और n x n कोटि के साथ एक वर्ग आव्यूह है और A’ A का परिवर्त है।

फिर परिभाषा के अनुसार;

AA^T = I

A^-1 से पूर्व गुणन

⇒ A^-1 AA^T = A^-1 I

⇒ IA^T = A^-1

⇒ A^T = A^-1 या A’ = A^-1

तब A लांबिक आव्यूह है।

∴ विकल्प 2 सही है

संकल्पना:

आव्यूह गुणन:

गुणन केवल तब संभव होता है जब पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह के पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है। 

एक m×n आव्यूह को n×p आव्यूह से गुणा किया जाता है, परिणामस्वरूप m×p आव्यूह होता है। 

आव्यूहों को p स्तंभों वाले गुणनफल आव्यूह की पहली पंक्ति प्राप्त करने के लिए दूसरे आव्यूह n×p आव्यूह के सभी स्तंभों के संबंधित तत्वों के साथ पहले m×n आव्यूह की एक पंक्ति के प्रत्येक पंक्ति से गुणन करके गुणा किया जाता है, और इस तरह आगे भी पहली पंक्ति में सभी m पंक्तियों के लिए गुणा करते हैं। 

गणना:

\(\rm \begin{bmatrix} \rm 2x & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ \ 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}\) = [2x - 9   4x + 0]

= [2x - 9   4x]

∴ \(\rm \begin{bmatrix} \rm 2x & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ \ 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \rm x \\ 8 \end{bmatrix}=0\)

\(\rm \Rightarrow \begin{bmatrix}\rm 2x-9 & \rm 4x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\rm x \\ 8\end{bmatrix}\) = 0

⇒ [(2x - 9)x + 8 × 4x] = 0

⇒ [2x² - 9x + 32x] = 0

⇒ 2x² + 23x = 0

⇒ x(2x + 23) = 0

⇒ x = 0 या \(\rm -\dfrac{23}{2}\).

गणना:

दिया गया है:

x + 2y = \(\begin{bmatrix} 2 & -3\\ 1 & 5 \end{bmatrix}\)                    .... (1)

2x + 5y = \(\begin{bmatrix} 7 & 5\\ 2 & 3 \end{bmatrix}\)                     .... (2)

समीकरण (1) में 2 से गुणा करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2x + 4y = \(\begin{bmatrix} 4 & -6\\ 2 & 10 \end{bmatrix}\)             .... (3)

समीकरण (2) से समीकरण (3) को घटाने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ (2x + 5y) - (2x + 4y) = \(\begin{bmatrix} 7 & 5\\ 2 & 3 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 4 & -6\\ 2 & 10 \end{bmatrix}\)

∴ y = \( \begin{bmatrix} 3 & 11\\ 0 & -7 \end{bmatrix}\)

संकल्पना:

आव्यूह का साहचर्य गुण निम्न द्वारा दिया गया है:

X (YZ) = (XY) Z      ----(1)

दिया गया:

AB = B और BA = A      ----(2)

गणना:

A2 + B2

⇒ AA + BB

⇒ A (BA) + B (AB)   [2 का उपयोग करने पर)]

⇒ (AB) A + (BA) B [(1) का उपयोग करने पर]

⇒ BA + AB

⇒ A + B

इसलिए, A2 + B2 = A + B

संकल्पना:

दो आव्यूह A और B को बराबर कहा जाता है यदि निम्नलिखित स्थितियां सत्य हैं:

• आव्यूह A की कोटि = आव्यूह B की कोटि 
• आव्यूह A का संबंधित तत्व = आव्यूह B का संबंधित तत्व

गणना:

दिया गया है: \(\begin{bmatrix} \rm 2x & 5\\ 7 & \rm -y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5\\7 & 3 \end{bmatrix}\)

 चूँकि हम जानते हैं कि यदि दो आव्यूह A और B बराबर हैं तो उनके संबंधित तत्व भी समान हैं।  

⇒ 2x = 8 

∴ x = 4

अब, 

⇒ -y = 3

∴ y = -3

हमें x + y का मान ज्ञात करना है। 

इसलिए, x + y = 4 - 3 = 1

अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।