Matrices MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Matrices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है

⇒ \(adj(A) = \rm \begin{bmatrix}1&-1&0\\\ -2&3&-4\\\ -2&3&-3\end{bmatrix}\)

अब, A^-1 = \(\frac{1}{|A|} (Adj(A))\)

= \( \rm \begin{bmatrix}1&-1&0\\\ -2&3&-4\\\ -2&3&-3\end{bmatrix}\)

∴ विकल्प (a) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

\(\rm A=\begin{bmatrix}3&-3&4\\\ 2&-3&4\\\ 0&-1&1\end{bmatrix} \)

अब, |A| = 3(-3 + 4) -2(-3 + 4) + 0 = 3 - 2 = 1

A(adjA) = |A| I = I

इसलिए, विकल्प (d) सही है।

आव्यूह गुणन और गुणधर्म:

• आव्यूह गुणन में पंक्तियों और स्तंभों का बिंदु गुणन शामिल होता है।
• एक शून्य आव्यूह एक ऐसा आव्यूह है जिसमें सभी अवयव शून्य होते हैं।
• एक तत्समक आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जिसमें विकर्ण पर 1 और अन्यत्र 0 होते हैं।
• आव्यूहों P और Q के लिए, PQ = QP सामान्यतः तब तक नहीं होता जब तक कि P और Q क्रमविनिमेय न हों।

आव्यूह परिभाषाएँ:

• शून्य आव्यूह: एक आव्यूह जहाँ सभी अवयव शून्य होते हैं।
• तत्समक आव्यूह: एक वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य विकर्ण पर 1 और अन्यत्र 0 होते हैं।

गणना:

\(\rm P=\begin{bmatrix}0&c&-b\\\ -c&0&a\\\ b&-a&0\end{bmatrix}\ और\ \rm Q=\begin{bmatrix}a^2&ab&ac\\\ ab&b^2&bc\\\ ac&bc&c^2\end{bmatrix}\)

⇒ PQ = \(=\begin{bmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{bmatrix}\ \)

⇒QP = \(=\begin{bmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{bmatrix}\ \)

तब PQ = QP

∴ विकल्प (c) सही है। 

धारणा:

सममित आव्यूह:

• यदि आव्यूह A का परावर्त स्वयं आव्यूह A के बराबर हो तो वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है
• A^T = A या A’ = A

जहां AT या A’ आव्यूह के परावर्त को दर्शाता है

• एक वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है यदि aij = aji सभी i और j के लिए
  जहां a_ij और a_ji आव्यूह में मौजूद एक तत्व है।

गणना:

दिया हुआ:

A एक सममित आव्यूह है

⇒ A^T = A या a_ij = a_ji

A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & x-3 & x-2 \\ 3 & -2 & -1 \\ 4 & -1 & -5 \\ \end{matrix} \right]\)

तो सममित आव्यूहों के गुण द्वारा

⇒ a₁₂ = a₂₁

⇒ x – 3 = 3

संकल्पना:

• एक n × p आव्यूह द्वारा एक m × n आव्यूह को गुणा करने के लिए n को समान होना चाहिए, और परिणाम एक m × p आव्यूह है।
• यदि A कोटि m × n का आव्यूह है तो परिवर्त आव्यूह की कोटि n × m है

गणना:

दिया हुआ:

A की कोटि 4 × 3 है, B की कोटि 4 × 5 है और C की कोटि 7 × 3 है

मूल आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त आव्यूह का परिवर्त।

तो, AT की कोटि 3 × 4 है और CT की कोटि 3 × 7 है

अभी,

A^TB = {3 × 4} {4 × 5} = 3 × 5

⇒ A^TB की कोटि 3 × 5 है

इसलिए (A^TB) ^T की कोटि 5 × 3 है

अब (A^TB) ^T C ^T की कोटि= {5 × 3} {3 × 7} = 5 × 7

संकल्पना:

सममित आव्यूह: यदि एक आव्यूह का परिवर्त स्वयं के बराबर है तो उस आव्यूह को सममित कहा जाता है। 

या आव्यूह A केवल तभी सममित है यदि गमनागमन सूचकांक अपने घटकों को परिवर्तित नहीं करता है। 

• A = A^T
• a_ij = a_ji

गणना:

दिया गया है - \({\rm{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{{\rm{x}} + 2}\\ {2{\rm{x}} - 3}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right)\)

एक वास्तविक वर्गाकार आव्यूह A = (a_ij) को सममित कहा जाता है, यदि A = A^T है। 

जहाँ A^T = आव्यूह A का परिवर्त

\({{\rm{A}}^{\rm{T}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{2{\rm{x}} - 3}\\ {{\rm{x}} + 2}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right)\)

∴ A = A^T

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{{\rm{x}} + 2}\\ {2{\rm{x}} - 3}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{2{\rm{x}} - 3}\\ {{\rm{x}} + 2}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right]\)

A₂₁ तत्व की तुलना करने पर। 

⇒ x + 2 =2x - 3

⇒ x = 5

अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

• A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\)
• |A-1| = |A|-1 = \(\rm \frac{1}{|A|}\)

गणना:

\(\rm A^{-1}=\begin{bmatrix} 1& 2& 3\\ 2& 4& 3\\ 3& 1& 6\end{bmatrix}=\frac{adj(A)}{k}\)         -----(1)

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, 

A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\)              -----(2)

समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

k = |A|  

आव्यूह के व्युत्क्रम के सारणिक के गुणों का उपयोग करके हमारे पास है:

k = |A| = \(\rm \frac{1}{|A^{-1}|}\)         -----(3)

हम जानते है, 

A.A-1 = I

⇒ |A.A-1| = |I| = 1

⇒ |A| |A-1| = 1

⇒ |A| = 1/ |A-1|       ....(4)

अब,

|A-1| = 1(24 - 3) + 2(9 - 12) + 3(2 - 12) = 21 - 6 - 30 = - 15.

|A-1| = -15

इसलिए, समीकरण (3) से

k = \(\rm - \frac1{15}\)

Mistake Pointsध्यान दें, हमारे पास A-1 आव्यूह है, A आव्यूह नहीं। तो k का मान ज्ञात करने के लिए, आपको संबंध |A| = 1/|A-1| का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है

अवधारणा:

A × A-1 = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है

|A| = \(\rm 1\over {|A^{-1}|}\)

गणना:

दिया हुआ: \(\rm A=\begin{bmatrix} x & 2 \\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\) और \(\rm A ^{-1}=\begin{bmatrix} {1\over8} & {-1\over 12} \\\ {-1\over 6}& {4\over 9} \end{bmatrix}\)

|A^-1| = \(\rm {4\over 72} - {1\over 72} = {3\over 72} = {1\over 24}\)

|A| = \(\rm {1 \over {|A^{-1}|}}\) = 24

⇒ 3x - 8 = 24

∴ x = \(\rm 32\over 3\)

संकल्पना:

एक आव्यूह का ट्रेस:

एक आव्यूह का ट्रेस मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग है। 

ट्रेस केवल वर्ग आव्यूह (n × n) के लिए परिभाषित होता है। 

माना कि A, n × n आव्यूह है। 

\(\rm tr\left( A \right) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^n {A_{nn}}\)

गणना:

दिया गया है: \(A=\begin{bmatrix} -1 & 4 \\\ 5 & 8 \end{bmatrix}\)

आव्यूह का ट्रेस = मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग

= -1 + 8

= 7

संकल्पना:

आव्यूह का गुणन:

• पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। 
• परिणाम में पहले आव्यूह के रूप में पंक्तियों की समान संख्या और दूसरे आव्यूह के रूप में स्तंभों की समान संख्या होगी। 
• एक m × n आव्यूह को n × p आव्यूह से गुणा करने के लिए n को समान होना चाहिए, और परिणाम m × p आव्यूह होता है। 

गणना:

कथन 1 से∶

AB = A

इस कथन से हम कुछ भी ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

कथन 2 से∶

\(A\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n&9\\ 2&1 \end{array}} \right] , B\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

इस कथन से हम कुछ भी ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

कथन 1 और 2 को मिलाने पर∶

\(AB\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} (n\times 1+9\times0)&(n\times0+9\times1)\\ (2\times1+1\times0)&(2\times0+1\times1) \end{array}} \right]\)

\(AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n&9\\ 2&1 \end{array}} \right]\)

साथ ही, \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n&9\\ 2&1 \end{array}} \right]\)

∴ हम n खा मान ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

गणना:

जैसा कि हम जानते हैं कि

3 × 3 की संभावित प्रविष्टियों की संख्या = 9  

और, प्रत्येक प्रविष्टि के दो विकल्प हैं = 0 और 1

अब,

विकल्पों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

⇒ 29

⇒ 512

∴ विकल्पों की कुल संख्या 512 है।

धारणा:

अनैच्छिक आव्यूह:

• आव्यूह A को अनैच्छिक कहा जाता है यदि A2 = I, जहां I, A के समान कोटि का तत्समक आव्यूह है।
• अनैच्छिक आव्यूह एक आव्यूह है जो अपने स्वयं के व्युत्क्रम के बराबर होता है। ⇔ A^-1 = A

गणना:

दिया हुआ है कि A अनैच्छिक आव्यूह है,

⇒ A² = I

अब

(I − A) (I + A) = I² – IA + AI − A² 

⇒ I – A + A – I           (∵ A2 = I)

⇒ 0

अवधारणा:

आव्यूह व्युत्क्रम के गुण:

यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तो व्युत्क्रम आव्यूह में निम्नलिखित गुण होने चाहिए:

• (AB) - 1 = B - 1 A - 1
• (A - 1) - 1 = A
• (AT) - 1 = (A - 1)T
• (KA -1 ) =  किसी भी K ≠ 0 के लिए \(\rm \frac{1}{k}\;{A^{ - 1}}\) 
• (An) - 1 = (A - 1)n
• AA - 1 = A - 1A = I

गणना:

दिया गया है: A2 - 2A - I = 0

⇒ A.A - 2A = I

A-1 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ AAA-1 - 2AA-1 = IA-1

⇒ AI - 2I = A-1             [∵ AA - 1 = A - 1A = I]

∴ A-1 = A - 2

A का व्युत्क्रम A - 2 है