Matrices MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Matrices - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

సరైన సమాధానం వికర్ణ సమరూప మాత్రిక

Key Points 

A^T = -A లేదా n బేసి సంఖ్య అయితే Aⁿ వికర్ణ సమరూపం

P = A²⁰²¹

P^T = [A²⁰²¹]^T = [A^T]²⁰²¹ = (-A)²⁰²¹ = -P

సిద్ధాంతం:

సమరూప మాత్రిక:

A^T = A అయితే, ఒక చతురస్ర మాత్రిక A ను సమరూప మాత్రిక అంటారు, ఇక్కడ A^T అనేది A యొక్క పరివర్తన.

వికర్ణ-సమరూప మాత్రిక:

A^T = -A అయితే, ఒక చతురస్ర మాత్రిక A ను వికర్ణ-సమరూప మాత్రిక అంటారు, ఇక్కడ A^T అనేది A యొక్క పరివర్తన.

A మాత్రికకు, (A^k)T = (AT)^k, ఇక్కడ k ఒక సహజ సంఖ్య.

గణన:

ఇవ్వబడినవి, X మరియు Y అనేవి 3 x 3 క్రమానికి చెందిన వికర్ణ-సమరూప మాత్రికలు

Z అనేది 3 x 3 క్రమానికి చెందిన సమరూప మాత్రిక

అలాగే, X, Y, Z ≠ 0

ఎంపిక 1:

A = Y³Z⁴ - Z⁴Y³

∴ A^T = (Y³Z⁴ - Z⁴Y³)^T= (Y³Z⁴)^T - (Z⁴Y³)^T

= (Z⁴)^T(Y³)^T - (Y³)^T(Z⁴)^T

= (Z^T)⁴(Y^T)³ - (Y^T)³(Z^T)⁴

= Z⁴Y³ - Y³Z⁴ = -A

⇒ ఇది సమరూపం

ఎంపిక 2:

A = X⁴⁴ + Y⁴⁴

⇒ A^T = (X⁴⁴ + Y⁴⁴)^T

= (X^T)⁴⁴ + (Y^T)⁴⁴

= (-X)⁴⁴ + (-Y)⁴⁴

= X⁴⁴ + Y⁴⁴ = A

⇒ ఇది సమరూపం

ఎంపిక 3:

A = X⁴Z³ - Z³X⁴ అనుకుందాం

∴ A^T = (X⁴Z³ - Z³X⁴)^T

= (Z^T)³(X^T)⁴ - (X^T)⁴(Z^T)³

= Z³(-X)⁴ - (-X)⁴Z³

= Z³X⁴ - X⁴Z³ = -A

⇒ ఇది వికర్ణ-సమరూపం

∴ X⁴Z³ - Z³X⁴ ఒక వికర్ణ-సమరూప మాత్రిక.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 3.

గణన:

M⁴ = I ...(i)

⇒M⁴M⁻¹ = IM⁻¹

⇒ M³ = M⁻¹ ...(ii)

రెండు వైపులా M⁴తో గుణించగా,

M⁴M⁴ = IM⁴

⇒ M⁸ = M⁴ ...(iii)

⇒M⁸M⁻¹ = M⁴M⁻¹

⇒ M⁷ = M³ ...(iv)

(ii) మరియు (iv) నుండి,

M⁻¹ = M³ = M⁷

సమీకరణం (iii) లో రెండు వైపులా M⁴తో గుణించగా,

⇒M⁸M⁴ = M⁴M⁴

⇒ M¹² = M⁸

⇒ M¹² = M⁴ [(iii) నుండి]

⇒ M¹² = I ...(v) [(i) నుండి]

రెండు వైపులా M⁻¹తో గుణించగా,

⇒ M¹¹ = M⁻¹ ...(vi)

(ii), (iv) మరియు (vi) నుండి, మనం గమనించవచ్చు:

⇒ M⁻¹ = M³ = M⁷ = M¹¹ = ..., ఇది M⁴k+³ రూపంలో ఉంటుంది, ఇక్కడ k = 0, 1, 2...

∴ M−1 M⁴k+³ కు సమానం.

సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక.

భావన:

A, B లను n క్రమం యొక్క రెండు చతురస్ర మాత్రికలుగా భావించండి అప్పుడు

(i) |adj(A)| = |A| ^n-1

(ii) |AB| = |A||B|

(iii) |A ^T| = |A|

వివరణ:

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & α \\\ 1 & 0 & 1 \\\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\)

A అనేది 3వ క్రమం యొక్క చతురస్ర మాత్రిక కాబట్టి (A – 2A T ) (2A – A T ) కూడా 3వ క్రమం యొక్క మాత్రిక.

(2A – A T ) ^T = (2A ^T - A) = - (A – 2A T )

కాబట్టి, |(A – 2A T ) (2A – A T )| = |(A – 2A T )| |(2A – A T )| = - |A – 2A ^T | 2 ...(a)

⇒ |adj(A – 2A ^T ) (2A – A ^T )| ^3-1 = 2 ⁸

⇒ |(A – 2AT) (2A – AT)|2 = 28

⇒ |(A – 2AT) (2A – AT)| = 24

⇒ |A – 2AT| |2A – AT| = -16

⇒ |A – 2AT|2 = 16 (using (a))

⇒ |A – 2AT| = 4 and |2AT - A| = -4

ఇప్పుడు, A – 2A T = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & α \\\ 1 & 0 & 1 \\\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\\ 4 & 0 & 2 \\\ 2α & 2 & 4 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} - 1 & 0 & α \\\ -3 & 0 & -1 \\\ -2α & -1 & -2 \end{bmatrix}\)

అప్పుడు

\(\begin{vmatrix} - 1 & 0 & α \\\ -3 & 0 & -1 \\\ -2α & -1 & -2 \end{vmatrix}\) = 4

⇒ -1(0 - 1) + α(3 - 0) = 4

⇒ 1 + 3α = 4

⇒ 3α = 3

⇒ α = 1

అందుకే

\(|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\\ 1 & 0 & 1 \\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} =-1 - 3 =-4\)

⇒ |A| ² = 16

ఎంపిక (3) నిజం.

కాన్సెప్ట్:

A × A-1 = I, ఇక్కడ I గుర్తింపు మాత్రిక

|A| = \(\rm 1\over {|A^{-1}|}\)

సాధన:

ఇచ్చినది: \(\rm A=\begin{bmatrix} x & 2 \\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\) మరియు \(\rm A ^{-1}=\begin{bmatrix} {1\over8} & {-1\over 12} \\\ {-1\over 6}& {4\over 9} \end{bmatrix}\)

|A-1| = \(\rm {4\over 72} - {1\over 72} = {3\over 72} = {1\over 24}\)

|A| = \(\rm {1 \over {|A^{-1}|}}\) = 24

⇒ 3x - 8 = 24

∴ x = \(\rm 32\over 3\)

భావన:

మాత్రికల గుణకారం:

• 1 వ మాతృక యొక్క నిలువు వరుసల సంఖ్య 2 వ మాతృక యొక్క అడ్డు వరుసల సంఖ్యకు సమానంగా ఉండాలి.
• ఫలితం 1 వ మాతృక వలె వరుసల సంఖ్యను మరియు 2 వ మాతృక వలె నిలువు వరుసల సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది.
• m × n మాతృకను n × p మాతృక ద్వారా గుణించటానికి, n ఒకేలా ఉండాలి మరియు ఫలితం m × p మాతృక.

లెక్కింపు :

ప్రకటన 1 నుండి

AB = A

ఈ ప్రకటన నుండి మేము ఏమీ కనుగొనలేము.

ప్రకటన 2 నుండి

\(A\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n&9\\ 2&1 \end{array}} \right] , B\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

ఈ ప్రకటన నుండి మేము ఏమీ కనుగొనలేము.

ప్రకటన 1 మరియు 2 కలపడం

\(AB\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} (n\times 1+9\times0)&(n\times0+9\times1)\\ (2\times1+1\times0)&(2\times0+1\times1) \end{array}} \right]\)

\(AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n&9\\ 2&1 \end{array}} \right]\)

అలాగే, \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n&9\\ 2&1 \end{array}} \right]\)

రెండు ప్రకటనల నుండి n యొక్క విలువను మనం కలిసి కనుగొనలేము.

కాన్సెప్ట్:

మాత్రిక యొక్క అనుబంధ ధర్మము దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

X (YZ) = (XY) Z      ----(1)

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

AB = B మరియు BA = A ----(2)

సాధన:

A2 + B2

AA + BB

⇒ A (BA) + B (AB) [ఉపయోగించి (2)]

(AB) A + (BA) B [ఉపయోగించి (1)]

BA + AB

⇒ A + B

అందువల్ల, A2 + B2 = A + B.

భావన :

A మరియు B ఒకే ఆర్డర్ m × n యొక్క రెండు మాత్రికలుగా ఉండనివ్వండి, అప్పుడు వాటి మొత్తం A + B = [a _ij + b _ij ] _{m × n} ఇక్కడ A = [a _ij ] _{m × n} మరియు B = [b _ij ] _{m × n}

లెక్కింపు :

ప్రకటన 1 నుండి∶

\(A\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n&1\\ 0&-1 \end{array}} \right]\)

ఈ ప్రకటనతో మనం ఏమీ కనుగొనలేము.

ప్రకటన 2 నుండి∶

\(B\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&-1\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

ఈ ప్రకటనతో మేము ఏమీ కనుగొనలేము.

ప్రకటన 3 నుండి∶

A + B = O, ఇక్కడ O అనేది 2 × 2 యొక్క శూన్య మాతృక.

ఈ ప్రకటనతో మేము ఏమీ కనుగొనలేము.

ఈ ప్రకటనలన్నింటినీ కలపడం-

O అనేది శూన్య మాతృక.

\(∴ O\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right]\)

A + B = O.

\(\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n&1\\ 0&-1 \end{array}} \right] +\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&-1\\ 0&1 \end{array}} \right]=\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right]\)

\(⇒ \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n+1&1-1\\ 0+0&-1+1 \end{array}} \right] =\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right]\)

\(⇒ \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n+1&0\\ 0&0 \end{array}} \right] =\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right]\)

n + 1 = 0

n = -1

పద్ధతి:

మాత్రిక యొక్క బదిలీ:

అసలు మాత్రిక యొక్క అడ్డు వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలను మార్చడం ద్వారా పొందిన కొత్త మాత్రికను మాత్రిక యొక్క బదిలీ అంటారు.

ఉదాహరణకు: \(\rm A=\begin{bmatrix} \rm a & \rm b &\rm c \\ \rm x & \rm y & \rm z \end{bmatrix}\Rightarrow A'=\begin{bmatrix} \rm a & \rm x \\ \rm b & \rm y \\ \rm c & \rm z \end{bmatrix}\).

ఇది A' లేదా A^T ద్వారా సూచించబడుతుంది.

మాతృక యొక్క బదిలీ యొక్క లక్షణాలు:

రెండు మాత్రికల ఉత్పత్తి యొక్క బదిలీ వ్యతిరేక దిశలో వాటి బదిలీల లబ్దానికి సమానం:
(AB)' = B'A'

(ABC)' = C'B'A'

(A')' = A

సాధన:

ఇది B ఒక స్కేవ్-సిమెట్రిక్ మాత్రిక అని ఇవ్వబడింది.

∴ B' = -B

ఇప్పుడు, ఉత్పత్తి మాత్రిక A′BA యొక్క బదిలీని పరిగణించండి.

(A′BA)' = A'B'(A')'

= A'(-B)A                  [∵ B' = -B]

= -(A'BA)

బదిలీ దాని ప్రతికూలతకు సమానం కాబట్టి, A'BA అనేది స్కే-సిమెట్రిక్ మ్యాట్రిక్స్.

గణన:

ఇవ్వబడింది: A = \(\begin{bmatrix} 2&3 \\ -1 &2 \end{bmatrix}\) 

కనుగొనాల్సినది: A2 - 4A + 7I 

A2 - 4A + 7I = \(\begin{bmatrix} 2&3 \\ -1 &2 \end{bmatrix}\) x \(\begin{bmatrix} 2&3 \\ -1 &2 \end{bmatrix}\) - 4\(\begin{bmatrix} 2 &3 \\ -1& 2 \end{bmatrix}\) + 7\(\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}\)

= \(\begin{bmatrix} 4 - 3 &6 + 6 \\ -2 - 2& -3 + 4 \end{bmatrix}\) - \(\begin{bmatrix} 8 &12 \\ -4& 8 \end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix} 7 &0 \\ 0& 7 \end{bmatrix}\)

= \(\begin{bmatrix} 1 &12 \\ -4& 1 \end{bmatrix}\)- \(\begin{bmatrix} 8 &12 \\ -4& 8 \end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix} 7 &0 \\ 0& 7 \end{bmatrix}\)

= \(\begin{bmatrix} 8 &12 \\ -4& 8 \end{bmatrix}\) - \(\begin{bmatrix} 8 &12 \\ -4& 8 \end{bmatrix}\)

=\(\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}\) 

= 0

పద్ధతి:

ఎగువ త్రిభుజాకార మాత్రిక:

ఏదైనా చతురస్ర మాత్రిక, ప్రధాన వికర్ణం క్రింద ఉన్న ప్రతి మూలకం సున్నాగా ఉంటే అది ఎగువ త్రిభుజాకార మాత్రికగా చెప్పబడుతుంది.

ఉదా: ఇక్కడ, మనకు ఆర్డర్ 3, A యొక్క మాత్రిక A ఉంది = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&c\\ 0&e&d\\ 0&0&f \end{array}} \right)\), ఇక్కడ a, b, c, d, e మరియు f ∈ R ఎగువ త్రిభుజాకార మాత్రిక.

దిగువ త్రిభుజాకార మాత్రిక:

ఏదైనా చతురస్ర మాత్రిక, ప్రధాన వికర్ణం పైన ఉన్న ప్రతి మూలకం సున్నాగా ఉంటే అది తక్కువ త్రిభుజాకార మాత్రికగా చెప్పబడుతుంది.

ఉదా: ఇక్కడ, మనకు ఆర్డర్ 3, A యొక్క మాత్రిక A ఉంది = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&0&0\\ b&e&0\\ c&d&f \end{array}} \right)\), ఇక్కడ a, b, c, d, e మరియు f ∈ R దిగువ త్రిభుజాకార మాత్రిక.

గుర్తింపు మాత్రిక:

ఏదైనా చతురస్ర మాతృక, దాని ప్రధాన వికర్ణ మూలకాలు ఒకటి మరియు మిగిలిన మూలకాలు సున్నాగా ఉంటే అది గుర్తింపు మాత్రికగా చెప్పబడుతుంది.

ఉదా: ఇక్కడ, మనకు ఆర్డర్ 3, A యొక్క మాత్రిక I = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right)\), అనేది గుర్తింపు మాత్రిక.

కాన్సెప్ట్:

 A మరియు B అనే రెండు మాత్రికలు అయినట్లయితే నం. A యొక్క నిలువు వరుసల సంఖ్యకు సమానం. B వరుసలు. A = [aij] ఒక m × n మాత్రిక మరియు B = [bij] n × p మాత్రిక అయితే, AB ఉత్పత్తి m × p క్రమం యొక్క ఫలిత మాత్రిక మరియు ఇలా నిర్వచించబడుతుంది.

\({\left( {AB} \right)_{ij}} = \;\mathop \sum \limits_{k = 1}^n {a_{ik}} \times {b_{kj}}\forall \;i = 1,\;2, \ldots ,m\;and\;j = 1,\;2,\; \ldots .,\;p\)సాధన:

ఇచ్చినది: A \(= \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 1}\\ 4&{ 6} \end{array}} \right]\)

ఇక్కడ, మనం k విలువను కనుక్కోవాలి \({A^2} = kA - 2I\)

\({A^2}\; = \;A.A\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 1}\\ 4&{ 6} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 1}\\ 4&{ 6} \end{array}} \right]\;\\ = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1\left( 1 \right)\; + \;\left( { 1} \right)\left( 4 \right)}&{1\left( { 1} \right)\; + \;\left( { 1} \right)\left( { 6} \right)}\\ {4\left( 1 \right)\; + \;\left( { 6} \right)\left( 4 \right)}&{4\left( { 1} \right)\; + \;\left( { 6} \right)\left( { 6} \right)} \end{array}} \right]\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ 7}\\ 28&{ 40} \end{array}} \right]\)

\({A^2}\; = \;kA - 2I\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ 7}\\ 28&{ 40} \end{array}} \right]\; = \;k\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 1}\\ 4&{ 6} \end{array}} \right] - 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\\= \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k - 2}&{ k}\\ {4k}&{ 6k - 2} \end{array}} \right]\)

రెండు మాత్రికలు సమానంగా ఉన్నందున, వాటి సంబంధిత మూలకాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి.

సంబంధిత అంశాలను పోల్చడం:

4k = 28 ⇒ k = 7

∴ k విలువ 7.

భావన

సౌష్టవ మాత్రిక:

ఏదైనా వాస్తవ చతురస్ర మాత్రిక A = (aij),  aij = aji, ∀ i మరియు j అయితే మాత్రమే సౌష్టవ మాత్రిక అని చెప్పబడుతుంది లేదా ఇతర మాటలలో అయితే A నిజమైన చదరపు మాత్రిక అయితే A = At  అప్పుడు A సౌష్టవ మాత్రిక అని చెప్పవచ్చు.  

గణనలు:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{3 + x}&2\\ {1 - x}&2&{y + 1}\\ 2&{5 - y}&3 \end{array}} \right]\)

A = At

 \( A^t=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1 - x}&2\\ {3 + x}&2&{5 - y}\\ 2&{y + 1}&3 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{3 + x}&2\\ {1 - x}&2&{y + 1}\\ 2&{5 - y}&3 \end{array}} \right] = A\)

పోల్చగా

3 + x = 1 - x

⇒ x = - 1

మరియు, y + 1 = 5 - y

⇒ y = 2

3x + y = 3(-1) + 2

∴ 3x + y = -1 

భావన:

శూన్య మాత్రికలు:

శూన్య మాత్రిక అనేది అన్ని మూలకాలు సున్నాతో కూడిన మాత్రిక.

ఇది ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార శ్రేణి లేదా సంఖ్యలు, చిహ్నాలు లేదా వ్యక్తీకరణల పట్టిక, వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలలో అమర్చబడి ఉంటుంది.

యూనిట్ మాత్రిక: యూనిట్ మాత్రిక అనేది ఒక మాత్రిక, దీని కర్ణ నమోదులు 1 అంటే అన్ని కర్ణ మూలకాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు మిగిలిన మూలకాలు సున్నాగా ఉంటాయి.

గణనలు:

శూన్య మాత్రిక అనేది అన్ని మూలకాలు సున్నాతో కూడిన మాత్రిక. ఇది చదరపు మాత్రిక కావచ్చు లేదా కాకపోవచ్చు.

మాత్రికకు సంఖ్యా విలువ కాని విచక్షిని ఉంది. ఇది ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార శ్రేణి లేదా సంఖ్యలు, చిహ్నాలు లేదా వ్యక్తీకరణల పట్టిక, వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలలో అమర్చబడి ఉంటుంది.

యూనిట్ మాత్రిక అనేది మాత్రిక, దీని కర్ణ నమోదులు 1 అంటే అన్ని కర్ణ మూలకాలు ఒకేలా ఉంటాయి మరియు మిగిలిన మూలకాలు సున్నా.

అందువల్ల, యూనిట్ మాత్రిక ఒక కర్ణ మాత్రిక