Binomial Theorem MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Binomial Theorem - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన

\( 1(1-2x)^{18}+ax(1-2x)^{18}+bx^{2}(1-2x)^{18} \)

\( x^{3} \) గుణకం: \( (-2)^{3} \: ^{18}C_3 \) + \( a\times(-2)^{2} \times^{18}C_2 \) + \( b\times(-2) \times{^{18}C_1} = 0 \)

⇒ \( \displaystyle \frac{4\times (17\times 16)}{(3\times 2)}-2a\cdot \displaystyle \frac{17}{2}+b=0 \cdots (i) \)

\( x^{4} \) గుణకం: \( (-2)^{4} \: ^{18}C_4 \) + \( a\times(-2)^{3} \times^{18}C_3 \) + \( b\times(-2)^{2} \times{^{18}C_2} = 0 \)

⇒ \( (4\times 20)-2a\cdot \displaystyle \frac{16}{3}+b=0 \cdots (ii) \)

సమీకరణం \( (i) \) మరియు \( (ii) \) నుండి,

⇒ \( 4\left ( \displaystyle \frac{17\times 8}{3} -20\right )+2a \left( \displaystyle \frac{16}{3} -\displaystyle \frac{17}{2}\right )=0 \)

⇒ \( 4\left ( \displaystyle \frac{17\times 8-60}{3} \right )+ \displaystyle \frac{2a(-19)}{6}=0 \)

⇒ \( a=\displaystyle \frac{4\times 76\times 6}{3\times 2\times 19} \)

\( \Rightarrow a=16 \)

\( \Rightarrow b=\displaystyle \frac{2\times 16\times 16}{3}-80=\displaystyle \frac{272}{3} \)

కాబట్టి 4వ ఎంపిక సరైనది

కనుగొనవలసింది:- \(\cfrac{{a}_{2}}{{a}_{0}} = \cfrac{\text{x}^{2} గుణకం}{\text{x}^{0} గుణకం}\)

మనకు తెలుసు, \({\left( a + b \right)}^{n}\) విస్తరణలోని సాధారణ పదం,

\({T}_{r + 1} = {^{n}{C}_{r}} {\left( a \right)}^{n - r} {\left( b \right)}^{r}\)

ఇప్పుడు,

\({\left( x + 10 \right)}^{50}\) యొక్క సాధారణ పదం-

ఇక్కడ,

\(a = x, b = 10\)

\({T}_{r + 1} = {^{50}{C}_{r}}{\left( x \right)}^{50 - r} {\left( 10 \right)}^{r}\)

\({x}^{2}\) గుణకం కోసం-

\(50 - r = 2 \Rightarrow r = 48\)

\({T}_{48 + 1} = {^{50}{C}_{48}} {\left( x \right)}^{50 - 48} {\left( 10 \right)}^{48}\)

\({T}_{49} = {^{50}{C}_{48}} {\left( 10 \right)}^{48} {x}^{2}\)

\({x}^{0}\) గుణకం కోసం-

\(50 - r = 0 \Rightarrow r = 50\)

\({T}_{50 + 1} = {^{50}{C}_{50}} {\left( x \right)}^{50 - 50} {\left( 10 \right)}^{50}\)

\({T}_{51} = {^{50}{C}_{50}} {\left( 10 \right)}^{50} {x}^{0}\)

ఇప్పుడు,

\({\left( x + \left( -10 \right) \right)}^{50}\) యొక్క సాధారణ పదం-

ఇక్కడ,

\(a = x, b = -10\)

\({T}_{r + 1} = {^{50}{C}_{r}}{\left( x \right)}^{50 - r} {\left( -10 \right)}^{r}\)

\({x}^{2}\) గుణకం కోసం-

\(50 - r = 2 \Rightarrow r = 48\)

\({T}_{48 + 1} = {^{50}{C}_{48}} {\left( x \right)}^{50 - 48} {\left( -10 \right)}^{48}\)

\({T}_{49} = {^{50}{C}_{48}} {\left( 10 \right)}^{48} {x}^{2}\)

\({x}^{0}\) గుణకం కోసం-

\(50 - r = 0 \Rightarrow r = 50\)

\({T}_{50 + 1} = {^{50}{C}_{50}} {\left( x \right)}^{50 - 50} {\left( -10 \right)}^{50}\)

\({T}_{51} = {^{50}{C}_{50}} {\left( 10 \right)}^{50} {x}^{0}\)

ఇప్పుడు ఇచ్చిన విస్తరణ నుండి,

\({a}_{2} = {^{50}{C}_{48}} {\left( 10 \right)}^{48} + {^{50}{C}_{48}} {\left( 10 \right)}^{48} = {^{50}{C}_{48}} \left( {\left( 10 \right)}^{48} + {\left( 10 \right)}^{48} \right)\)

\({a}_{0} = {^{50}{C}_{50}} {\left( 10 \right)}^{50} + {^{50}{C}_{50}} {\left( 10 \right)}^{50} = {^{50}{C}_{50}} \left( {\left( 10 \right)}^{50} + {\left( 10 \right)}^{50} \right)\)

ఇప్పుడు,

\(\cfrac{{a}_{2}}{{a}_{0}} = \cfrac{{^{50}{C}_{48}} \left( {\left( 10 \right)}^{48} + {\left( 10 \right)}^{48} \right)}{{^{50}{C}_{50}} \left( {\left( 10 \right)}^{50} + {\left( 10 \right)}^{50} \right)}\)

మనకు తెలుసు,

\({^{n}{C}_{r}} = \cfrac{n!}{r! \left( n - r \right)!}\)

కాబట్టి,

\(\cfrac{{a}_{2}}{{a}_{0}} = \cfrac{50 \times 49}{2} \times \left( \cfrac{{10}^{48}}{{10}^{50}}\right)\)

\(\Rightarrow \cfrac{{a}_{2}}{{a}_{0}} = \cfrac{49}{4}= 12.25\)

సిద్ధాంతం:

• (1 + x)^r విస్తరణలో (r + 1)వ పదం గుణకం ⁿC_rx^r.
• మనకు తెలుసు \(\rm\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\).

గణన:

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ పదం గుణకం 14Cr-1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r + 1)వ పదం గుణకం ¹⁴C_r

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r + 2)వ పదం గుణకం 14Cr+1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ, (r + 1)వ మరియు (r + 2)వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయని ఇవ్వబడింది.

⇒ 2(14Cr ) = 14Cr-1 + 14Cr+1

సమీకరణాన్ని మళ్ళీ వ్రాయడం.

⇒ \(\rm\frac{^{14}C_{r-1}}{^{14}C_r}+\frac{^{14}C_{r+1}}{^{14}C_r}\) = 2.

మనకు తెలుసు \(\rm\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\)

⇒ \(\rm\frac{r}{14-r+1}+\frac{14-r}{r+1}=2\)

⇒ \(\rm\frac{r^2+r+(15-r)(14-r)}{(15-r)(r+1)}=2\)

⇒ 2r² - 28r + 210 - 2(15 - r)(r + 1) = 0

⇒ 4r² - 56r + 180 = 0

⇒ r² - 14r + 45 = 0

⇒ (r - 5)(r - 9) = 0

⇒ r = 5 లేదా r = 9

r అవసరమైన విలువ 5 లేదా 9.

కాన్సెప్ట్:

సాధారణ సంఖ్య: (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణలో సాధారణ పదం ద్వారా ఇవ్వబడింది

\({T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

మధ్య సంఖ్య: మధ్య పదం అనేది n విలువపై ఆధారపడి (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణ.

• n సమానంగా ఉంటే , (x + y)ⁿ విస్తరణలో మొత్తం పదాల సంఖ్య n +1. కాబట్టి ఒకే ఒక మధ్య సంఖ్య అంటే \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) సంకఖ్య మధ్య సంఖ్య.

\({T_{\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_{\frac{n}{2}}} \times {x^{\frac{n}{2}}} \times {y^{\frac{n}{2}}}\)

• n బేసి అయితే , (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణలో మొత్తం సంఖ్యల సంఖ్య n + 1. కాబట్టి రెండు మధ్య సంఖ్యలు ఉన్నాయి అంటే \({\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\) మరియు \({\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) రెండు మధ్య సంఖ్యలు.

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, మేము \(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^8\) ద్విపద విస్తరణలో మధ్య సంఖ్య యొక్క గుణకాన్ని కనుగొనాలి.

ఇక్కడ n = 8 (n అనేది సరి సంఖ్య)

∴ మధ్య సంఖ్య = \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{8}{2} + 1} \right) = 5^{th}\ term\)

కాబట్టి, మధ్య సంఖ్యలు లేదా 5వ  సంఖ్య ఉంటుంది,

T ₅ = \(C^8_4\times (\frac{x}{y})^4\times (\frac{y}{x})^4=\ ^8C_4\)

ఉపయోగించిన భావన:-

(1+x)ⁿ విస్తరణకు, rవ పదం గుణకం,

T(r)=ⁿCr-1

ఇక్కడ, n ధనాత్మక పూర్ణాంకం.

వివరణ:-

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ, (r + 1)వ మరియు (r + 2)వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయి.

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ పదం గుణకం,

T(r₁)=¹⁴C_r-1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r+1)వ పదం గుణకం,

T(r₂)=¹⁴C_r

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r+2)వ పదం గుణకం,

T(r₃)=¹⁴C_r+1

ఇప్పుడు, అంకశ్రేఢికి, మొదటి మరియు మూడవ పదాల మొత్తం రెండవ పదం యొక్క రెట్టింపుకు సమానం. కాబట్టి,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow 2\left({ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}\right)={ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1}+{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}+1} \\ & \Rightarrow \frac{{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1}}{{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}}+\frac{{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}+1}}{{ }^{14} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}}=2 \\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{r}}{14-\mathrm{r}+1}+\frac{14-\mathrm{r}}{\mathrm{r}+1}=2 \\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{r}^2+\mathrm{r}+(15-\mathrm{r})(14-\mathrm{r})}{(15-\mathrm{r})(\mathrm{r}+1)}=2 \\ & \Rightarrow 2 \mathrm{r}^2-18 \mathrm{r}+210+2(15-\mathrm{r})(\mathrm{r}+1)=0 \end{aligned}\)

సమీకరణాన్ని మరింత పరిష్కరించడం ద్వారా,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow 4 r^2-56 \mathrm{r}+180=0 \\ & \Rightarrow \mathrm{r}^2-14 \mathrm{r}+45=0 \\ & \Rightarrow \mathrm{r}^2-5\mathrm{r}-9r+45=0 \\ & \Rightarrow \mathrm{r}(r-5)-9(r-5)=0 \\ & \Rightarrow \mathrm(r-5)(r-9)=0 \\ & \Rightarrow \mathrm{r}=5,9 \end{aligned}\)

కాబట్టి, r విలువ 5 లేదా 9. సరైన ఎంపిక 2.

ఇచ్చినది:

(x + 11) (x - 11)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(x + y) (x - y) = x2 - y2

గణన:

(x + 11) (x - 11)

సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం

(x + 11) (x - 11) = x2 - 121 

∴ ఎంపిక 2 సరైన సమాధానం.

సిద్ధాంతం:

• (1 + x)^r విస్తరణలో (r + 1)వ పదం గుణకం ⁿC_rx^r.
• మనకు తెలుసు \(\rm\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\).

గణన:

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ పదం గుణకం 14Cr-1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r + 1)వ పదం గుణకం ¹⁴C_r

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r + 2)వ పదం గుణకం 14Cr+1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ, (r + 1)వ మరియు (r + 2)వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయని ఇవ్వబడింది.

⇒ 2(14Cr ) = 14Cr-1 + 14Cr+1

సమీకరణాన్ని మళ్ళీ వ్రాయడం.

⇒ \(\rm\frac{^{14}C_{r-1}}{^{14}C_r}+\frac{^{14}C_{r+1}}{^{14}C_r}\) = 2.

మనకు తెలుసు \(\rm\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\)

⇒ \(\rm\frac{r}{14-r+1}+\frac{14-r}{r+1}=2\)

⇒ \(\rm\frac{r^2+r+(15-r)(14-r)}{(15-r)(r+1)}=2\)

⇒ 2r² - 28r + 210 - 2(15 - r)(r + 1) = 0

⇒ 4r² - 56r + 180 = 0

⇒ r² - 14r + 45 = 0

⇒ (r - 5)(r - 9) = 0

⇒ r = 5 లేదా r = 9

r అవసరమైన విలువ 5 లేదా 9.

భావన:

ద్విపద సిద్ధాంతం

(x + y)n = xn + nC1 xn-1y + nC2 xn-2y2 + .....+ nCn-1 xyn-1 + nCn yn

సాధారణ పదం =  nCr xn-ryr 

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణ,\(\left( {\frac{1}{{60}} - \frac{{{x^8}}}{{81}}} \right)\,.\,{\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\)

ఇచ్చిన సమాసంలో x నుండి స్వతంత్రంగా ఉండే పదం

= \(1\over 60\) × \({\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\) -   \(1\over 81\) × గుణకం x ^-8 in \({\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\)

ఇప్పుడు, \({\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\) లో సాధారణ పదం   6Cr (2x2)6-r(-3/x2)r 

x తో సంబంధం లేని పదానికి, 2(6 - r) + (-2)r = 0 ⇒ r = 3

x ^-8 అనే పదానికి, 2(6 - r) + (-2)r = -8 ⇒ r = 5

⇒ \(\left( {\frac{1}{{60}} - \frac{{{x^8}}}{{81}}} \right)\,.\,{\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\) = \(1\over 60\) ×6 C 3 (2)6-3 (-3)3 - \(1\over 81\) ×6 C5 (2)6-5 (-3)⁵ లో x నుండి స్వతంత్ర పదం

⇒ x నుండి స్వతంత్రమైన పదం\(\left( {\frac{1}{{60}} - \frac{{{x^8}}}{{81}}} \right)\,.\,{\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\)>  = - 72 + 36 = -36

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (4).

కాన్సెప్ట్:

సాధారణ సంఖ్య: (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణలో సాధారణ పదం ద్వారా ఇవ్వబడింది

\({T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

మధ్య సంఖ్య: మధ్య పదం అనేది n విలువపై ఆధారపడి (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణ.

• n సమానంగా ఉంటే , (x + y)ⁿ విస్తరణలో మొత్తం పదాల సంఖ్య n +1. కాబట్టి ఒకే ఒక మధ్య సంఖ్య అంటే \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) సంకఖ్య మధ్య సంఖ్య.

\({T_{\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_{\frac{n}{2}}} \times {x^{\frac{n}{2}}} \times {y^{\frac{n}{2}}}\)

• n బేసి అయితే , (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణలో మొత్తం సంఖ్యల సంఖ్య n + 1. కాబట్టి రెండు మధ్య సంఖ్యలు ఉన్నాయి అంటే \({\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\) మరియు \({\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) రెండు మధ్య సంఖ్యలు.

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, మేము \(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^8\) ద్విపద విస్తరణలో మధ్య సంఖ్య యొక్క గుణకాన్ని కనుగొనాలి.

ఇక్కడ n = 8 (n అనేది సరి సంఖ్య)

∴ మధ్య సంఖ్య = \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{8}{2} + 1} \right) = 5^{th}\ term\)

కాబట్టి, మధ్య సంఖ్యలు లేదా 5వ  సంఖ్య ఉంటుంది,

T ₅ = \(C^8_4\times (\frac{x}{y})^4\times (\frac{y}{x})^4=\ ^8C_4\)

వివరణ:

\(\left(2-x^2-\frac{1}{x^2}\right)^{-5}\)

= - \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}-2\right)^{-5}\)

= - \(\left[(x-\frac1x)^2\right]^{-5}\)

= - \(\left(x-\frac1x\right)^{-10}\)

= - \(\left(\frac{x^2-1}x\right)^{-10}\)

= - \(\left(\frac{x}{x^2-1}\right)^{10}\) = - \(\frac{x^{10}}{(x^2-1)^{10}}\)

కాబట్టి, \(\left(1-x^2\right)^{20}\left(2-x^2-\frac{1}{x^2}\right)^{-5}\)

= - (x² - 1)²⁰\(\frac{x^{10}}{(x^2-1)^{10}}\)

= - x¹⁰(x² - 1)¹⁰

కాబట్టి x¹⁰ గుణకం

= - ((x² - 1)¹⁰ లోని స్థిర పదం)

= - 1

గణన:

ఇచ్చినది, (1 + x2 - x3)8

= \([1 + x^2(1 - x)]^8\)

= \( ^8C_0 +^8C_1 x^2 (1 - x) + ^8C_2 x^4 (1 - x)^2 +\dots\)

x¹⁰ని కలిగి ఉన్న రెండు పదాలు ⁸C₄ x⁸(1 − x)⁴ మరియు ⁸C₅x¹⁰(1 − x)⁵

కాబట్టి, ఇచ్చిన సమాసంలో x¹⁰ గుణకం ⁸C₄[(1 − x)⁴ విస్తరణలో x² గుణకం] + ⁸C₅ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

= 8C4(6) + 8C5

= \(\frac{8!}{4!4!}(6) + \frac{8!}{3!5!}\)

= 70x6 + 54

= 476

∴ x¹⁰ గుణకం 476.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

భావన:

ద్విపద సిద్ధాంతం

(1 + x)n = 1 + nC1 x + nC2 x2 + .....+ nCn-1 xn-1 + nCn xn

(1 - x)n = 1 - nC1 x + nC2 x2 + ..... nCn-1 xn-1 + (-1)n nCn xn

లెక్కింపు:

(1 + x)m (1 - x)n 

⇒ [1 + mx + m(m - 1)/2 x2 +.....+ xm].[1 - nx + n(n - 1)/2 x2 +.....+ xn​]
⇒ (1 + x)m (1 - x)n = [1 + (m - n)x + \({m(m-1)\over 2} +{n(n-1)\over2} -mn\) ]x2 +......{డిగ్రీ నిబంధనలు ≥ 3}

⇒ x = m - n = 3 యొక్క గుణకం -----(i)

మరియు x2 యొక్క గుణకం = \({m(m-1)\over 2} +{n(n-1)\over2} -mn\) = - 6 ----(ii)

⇒ m(m - 1) + n(n - 1) - 2 మిలియన్ = -12

⇒ m2 - m + n2 - n - 2mn = - 12

⇒ (m - n)2 - (m + n) = - 12

(i) నుండి,

⇒ 9 - (m + n) = -12

⇒ m + n = 21 ----(iii)

ఇప్పుడు (i) మరియు (iii) నుండి,

2మీ = 24 ⇒ మీ = 12

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (3).