Relations and Functions MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Relations and Functions - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

ఇచ్చినవి, f(x + y) = f(x)f(y)

⇒ f(x) = a^x

ఇప్పుడు, f(-3) = 27

⇒ a^-3 = 27

⇒ a = \(\frac{1}{3}\)

అలాగే, g(x + y) = g(x) + g(y)

⇒ g(x) = kx

ఇప్పుడు, g(\(-\frac{2}{5}\)) = 6

⇒ \(-\frac{2}{5}\)k = 6

⇒ k = -15

కాబట్టి, f(-2) - g(-2) - 9

= \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\) - (-15 × 2) - 9

= 9 + 30 - 9

= 30

కాబట్టి, f(-2) - g(-2) - 9 విలువ 30.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

గణన:

ఇచ్చినది, g అనేది f కి విలోమ ప్రమేయం

⇒ g^-1(x) = f(x)

⇒ f(g(x)) = x

x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,

f '(g(x))g'(x) = 1

⇒ g'(x) = \(\frac{1}{f'(g(x))}\)

⇒ g'(x) = 1 + {g(x)}5 [∵ \(f^{′}(x)=\frac{1}{1+x^5}\)]

∴ g'(x) విలువ 1 + {g(x)}⁵.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 4.

గణన:

ఇచ్చినది, f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ప్రశ్న ప్రకారం, f(1) + f(2) = f(3)

దశ 1 : f(3) = 3 అయితే

సాధ్యమయ్యే సందర్భాలు f(1) మరియు f(2) 1 లేదా 2 తీసుకుంటాయి

⇒ సాధ్యమయ్యే మార్గాల సంఖ్య = 2⋅6 = 12

దశ 2 : f(3) = 5 అయితే

సాధ్యమయ్యే సందర్భాలు f(1) మరియు f(2) (2, 3) లేదా (1, 4) తీసుకుంటాయి

మార్గాల సంఖ్య = 2⋅6⋅2 = 24

దశ 3 : f(3) = 2 అయితే

సాధ్యమయ్యే సందర్భాలు f(1) = f(2) = 1

మార్గాల సంఖ్య = 6

దశ 4 : f(3) = 4 అయితే

సాధ్యమయ్యే సందర్భాలు f(1) = f(2) = 2

మార్గాల సంఖ్య = 6

లేదా, f(1) మరియు f(2) 1 మరియు 3 తీసుకుంటాయి

మార్గాల సంఖ్య = 12

దశ 5 : f(3) = 6 అయితే

సాధ్యమయ్యే సందర్భాలు f(1) = f(2) = 3 ⇒ 6 మార్గాలు

లేదా, f(1) మరియు f(2) 1 మరియు 5 తీసుకుంటాయి ⇒ 12 మార్గాలు

లేదా, f(2) మరియు f(1) 2 మరియు 4 తీసుకుంటాయి ⇒ 12 మార్గాలు

⇒ మొత్తం ప్రమేయాల సంఖ్య = 12 + 24 + 6 + 6 + 12 + 6 + 12 + 12

= 90 మార్గాలు

∴ మొత్తం ప్రమేయాల సంఖ్య 90.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

వివరణ -

f^-1(5) = x అనుకుందాం. అప్పుడు,

f(x) = 5 ⇒ 3x - 4 = 5

⇒ x = 3 ⇒ f^-1(5) = 3

కాబట్టి, g^-1(f^-1(5)) = g^-1(3)

g^-1(3) = y అనుకుందాం. అప్పుడు, g(y) = 3

⇒ 3y + 2 = 3

⇒ y = \(\frac{1}{3}\)

కాబట్టి, g^-1(f^-1(5)) = \(\frac{1}{3}\)

అందువల్ల, k = 3.

ఇవ్వబడింది:

log (x + 3) + log (x + 5) = log 35

ఉపయోగించిన సూత్రం:

log a + log b = log (a × b)

 log a = log b, అయితే, a = b

గణన:

లాగరిథం ప్రాపర్టీ log a + log b = log (a × b) ఉపయోగించి:

log [(x + 3)(x + 5)] = log 35

రెండు వైపులా లాగరిథమ్‌లు సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి, వాటి వాదనలు సమానంగా ఉండాలి:

(x + 3)(x + 5) = 35

x2 + 5x + 3x + 15 = 35

x2 + 8x + 15 - 35 = 0

x2 + 8x - 20 = 0

(x + 10)(x - 2) = 0

x + 10 = 0 ⇒ x = -10

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

రుణాత్మక సంఖ్య యొక్క లాగరిథం నిర్వచించబడలేదు.

కాబట్టి, x = 2 ఒక చెల్లుబాటు అయ్యే విలువ.

∴ x విలువ 2.

ఇవ్వబడింది:

f(x) = x ²

లెక్కింపు:

f(x) = x ²

⇒ y = x ² ⇒ x = \(\pm\sqrt y\)

⇒ y < 0 x యొక్క వాస్తవ విలువ లేదు

⇒ y ≥ 0 ⇒ 0 ⇒ 0 ⇒ 0 ⇒ 0 ⇒ 0 ⇒ 0 ≥�� 0 ⇒ 0 ≥ 0 ⇒ 0 ≥ 0 ≥ 0 ⇒ 0 ≥ 0 ≥ 0 ≥ 0 ≥ 0 �

⇒ f = [0, ∞] పరిధి

∴ f యొక్క పరిధి రుణాత్మకం కాని సంఖ్యలుగా ఉంటుంది ( సున్నా కూడా పరిధిలోనే ఉంటుంది కాబట్టి)

భావన:  

ఫంక్షన్ యొక్క కూర్పు: 

(fog) (x) = f[g(x)] 

లెక్కింపు:  

 ఇచ్చినది,f, g : R → Rఅనేది  f(x) = |x| + x మరియు  g(x) = |x| - x ∀ x ∈ R గా నిర్వచించబడిన రెండు ఫంక్షన్లుగా ఉంటే,

ఇచ్చినది, x < 0

(x) = |x| + x and g(x) = |x| - x అయితే,

ఇపుడు, (fog) (x) = f[g(x)]

= |g(x)| + g(x)

= ||x| - x | + |x| - x 

= |x + x| + x + x          (∵ x < 0)

= |2x| + 2x                 

= 2x + 2x

= 4x

భావన:

A సెట్‌పై R బైనరీ రిలేషన్‌గా ఉండనివ్వండి.

1. రిఫ్లెక్సివ్: ప్రతి మూలకం దానికి సంబంధించినది.

• అన్ని x ∈ A, xRx కోసం R రిఫ్లెక్సివ్‌గా ఉంటుంది.

2. సౌష్టవం: ఏదైనా ఒక మూలకం ఏదైనా ఇతర మూలకంతో సంబంధం కలిగి ఉంటే, రెండవ మూలకం మొదటిదానికి సంబంధించినది.

• R అనేది అన్నింటికీ x, y ∈ A, xRy అయితే, yRx అయితే సుష్టంగా ఉంటుంది.

3. ట్రాన్సిటివ్: ఏదైనా ఒక మూలకం రెండవదానికి సంబంధించినది మరియు ఆ రెండవ మూలకం మూడవదానికి సంబంధించినది అయితే, మొదటి మూలకం మూడవదానికి సంబంధించినది.

• R అనేది అన్ని x, y, z ∈ A, xRy మరియు yRz అయితే, xRz అయితే ట్రాన్సిటివ్.

4. A అనేది ఖాళీగా లేనట్లయితే మరియు R రిఫ్లెక్సివ్, సిమెట్రిక్ మరియు ట్రాన్సిటివ్ అయితే R అనేది సమానత్వ సంబంధం.

గణనలు:

ఇవ్వబడింది: x < y అయితే x కంటే కనీసం 5 సంవత్సరాలు పెద్దది

⇒ y ≥ x + 5

రిఫ్లెక్సివ్ కోసం: (x, x) అన్ని x ∈ Xకి ∈R ఉండాలి

ఇప్పుడు, x తన కంటే 5 సంవత్సరాలు పెద్దవాడు కాదు. కాబట్టి సంబంధం రిఫ్లెక్సివ్ కాదు.

సౌష్టవం కోసం: ఒకవేళ (x, y) ∈ R ⇒(y, x) ∈ R

(x, y) ∈ R ⇒ y x కంటే కనీసం 5 సంవత్సరాలు పెద్దది.

(y, x) ∈ R ⇒ x y కంటే కనీసం 5 సంవత్సరాలు పెద్దది. ఇది పై ప్రకటనకు విరుద్ధంగా ఉంది. అందువల్ల సంబంధం సుష్టంగా ఉండదు

ట్రాన్సిటివ్ కోసం: ఒకవేళ (x, y) ∈ R మరియు (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R.

(x, y) ∈ R ⇒ y x కంటే కనీసం 5 సంవత్సరాలు పెద్దది.

(y, z) ∈ R ⇒ z y కంటే కనీసం 5 సంవత్సరాలు పాతది.

అప్పుడు, (x, z) ∈ R ⇒ z అనేది x కంటే కనీసం 5 సంవత్సరాలు పాతది.

కాబట్టి, z అనేది x కంటే కనీసం 10 సంవత్సరాలు పెద్దది. సంబంధం ట్రాన్సిటివ్.

భావన:

ఒకటి -ఒకటి  ఫంక్షన్ / ఇంజెక్టివ్ ఫంక్షన్:
A ఫంక్షన్ f: A → B అనేది వన్-వన్ ఫంక్షన్‌గా చెప్పబడుతుంది, Aలోని వివిధ మూలకాలు వేర్వేరు చిత్రాలను కలిగి ఉంటే లేదా Bలోని విభిన్న మూలకాలతో అనుబంధించబడి ఉంటే, అంటే.

f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2, ∀ x1, x2 ∈ A.

ఫంక్షన్ లోకి:

ఏదైనా ఫంక్షన్ f: A → Bలో కనీసం ఒక మూలకం ఉంటే అది Aలో ప్రీ-ఇమేజ్‌ను కలిగి ఉండకపోతే, f ఫంక్షన్‌లో ఉన్నట్లు చెప్పబడుతుంది.

అనగా f ఫంక్షన్ యొక్క పరిధి f ⊂ ఫంక్షన్ f యొక్క సహ-డొమైన్ అయితే, f అనేది

అనేక-ఒక ఫంక్షన్:

ఏదైనా ఫంక్షన్ f: A → B అనేక-ఒకటిగా చెప్పబడుతుంది, Aలోని రెండు (లేదా రెండు కంటే ఎక్కువ) విభిన్న మూలకాలు Bలో ఒకే ఇమేజ్‌లను కలిగి ఉంటే.

పై ఫంక్షన్ / సర్జెక్టివ్ ఫంక్షన్‌పైకి:

ఏదైనా ఫంక్షన్ f: A → Bలోని ప్రతి మూలకం Aలో కనీసం ఒక ప్రీ-ఇమేజ్‌ని కలిగి ఉన్నట్లయితే, B అని చెప్పబడుతుంది.

అంటే ఫంక్షన్ f = ఫంక్షన్ యొక్క కో-డొమైన్ యొక్క పరిధి అయితే, f అనేది ఆన్‌టు

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: f: R → R అనేది ఒక ఫంక్షన్,\(f\left( x \right) = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,\;if\;x > 0}\\ {0,\;if\;x = 0}\\ { - \;1,\;if\;x < 0} \end{array}} \right.\)

x1 = 1 మరియు x2 = 2 లెట్

ఇప్పుడు మనకు ఉన్న ఫంక్షన్ నిర్వచనం ప్రకారం

⇒ f(x1) = 1 మరియు f(x2) = 1

కాబట్టి, f(x1) = f(x2) కానీ x1 ≠ x2 అని మనం చూడవచ్చు

కాబట్టి, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ చాలా-వన్ ఫంక్షన్.

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క పరిధి {- 1, 0, 1} ⊂ R అని మనం చూడగలం

కాబట్టి, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ ఒక ఫంక్షన్.

అందువల్ల, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ అనేక-ఒకటి మరియు లోకి ఫంక్షన్‌లో ఉంటుంది.

కాన్సెప్ట్:

ఒక నాన్-ఖాళీ సెట్ S పై ఒక ఆపరేషన్ *, మూసివేత లక్షణాన్ని సంతృప్తిపరిచినట్లయితే అది బైనరీ ఆపరేషన్‌గా చెప్పబడుతుంది.

ముగింపు ధర్మము:

S అనేది ఖాళీ లేని సమితి మరియు a, b ∈ S అవుదాం, a * b ∈ S అన్నింటికీ a, b ∈ S అయితే S ఆపరేషన్*కి సంబంధించి మూసివేయబడినట్లు చెప్పబడుతుంది.

సాధన:

ఇచ్చినది: * అనేది దిగువ చూపిన పట్టిక ద్వారా అందించబడిన A = {1, 2, 3, 4, 5}పై బైనరీ ఆపరేషన్:

ఇక్కడ మనం (3 * 3) * (4 * 4) విలువను కనుగొనాలి

⇒ (3 * 3) = 3 మరియు (4 * 4) = 4------------(పైన ఇవ్వబడిన పట్టిక నుండి)

⇒ (3 * 3) * (4 * 4) = 3 * 4 = 1------------(పైన ఇవ్వబడిన పట్టిక నుండి)

ఉపయోగించిన భావన:

ఏదైనా ప్రమేయం f(x) కు, g(f(x) = x అయితే, g అనేది f(x) యొక్క విలోమం అంటారు.

గణన:

f(x) = \(\rm\frac{3x−2}{5}\)

f(x) = y అనుకుందాం

⇒ y = \(\rm\frac{3x−2}{5}\)

⇒ 5y = 3x - 2

⇒ x = \(\frac{5y + 2 }{3}\)

కాబట్టి, f^-1(x) = \(\mathbf{\frac{5x + 2 }{3}}\).

ఇచ్చినది:

Log _x√3 = \(\frac{1}{4}\)

ఉపయోగించిన భావన:

y = logb x 

⇒ by = x

గణన:

Log _x√3 = \(\frac{1}{4}\)

⇒ x^1/4 = √3 [పై భావన ద్వారా]

⇒ (x^1/4)⁴ = (3^1/2)⁴

⇒ x^4/4 = 3^4/2

⇒ x¹ = 3²

⇒ x = 9

∴ x యొక్క అవసరమైన విలువ 9.

కాన్సెప్ట్:

యొక్క పరిధి
f(x)అన్ని ఉంది y-ఒక సంఖ్య ఉన్న విలువల x తో y=f(x)

సాధన: 

ప్రమేయ పరిధిని కనుగొనడానికి \(f(x) = \frac {|x|}{x}, x \neq 0\), మొదట ప్రమేయంను విభజించండి.
\(\rm f(x) = \frac {x}{x} , x>0\)

\(\rm f(x) = \frac {-x}{x} , x<0\)

పరిధి మనకు తెలుసు $f\left(x\right)$ is అన్నీ y-ఒక సంఖ్య ఉన్న విలువలు $x$ with $y=f\left(x\right)$.

ఇప్పుడు పరిధిని కనుగొనడానికి, ప్రమేయం యొక్క పరిమితిని తీసుకోండి.

\(\lim_{x \to\infty } \rm \frac{x}{x} = \lim_{x \to\infty }1 = 1\)

Now, 

\(\lim_{x \to\infty }\rm \frac{-x}{x} = \lim_{x \to\infty }-1 = -1\).

ప్రమేయ  పరిధి \(\rm f(x)=\dfrac{|x|}{x}, \ x \neq 0 \ \) is (1, -1)

కాన్సెప్ట్:

ఏదైనా రెండు ఖాళీ కాని సెట్‌లు A మరియు B కోసం, A నుండి Bకి సంబంధించిన R అనేది కార్తీయలబ్దం AX B యొక్క ఉపసమితి.

ప్రతినివర్తకమైనది :

R ఒక ఖాళీ కానీ సెట్ A పై ఒక సంబంధంగా ఉండనివ్వండి, A యొక్క ప్రతి మూలకం దానికి సంబంధించినదైతే R అనేది ప్రతినివర్తకమైన సంబంధం అని చెప్పబడుతుంది.

ఆ విధంగా, (a, a) ∈ R, ∀ a ∈ A అయితే R ప్రతినివర్తకమైనదిగా ఉంటుంది.

సుష్ఠమైనది:

R అనేది ఒక ఖాళీ కాని సెట్ Aపై ఒక సంబంధంగా ఉండనివ్వండి, అప్పుడు R అనేది (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R ∀ a, b ∈ A అయితే మాత్రమే సుష్ఠమైన సంబంధంగా చెప్పబడుతుంది.

సమపరివృత్తి:

R ఒక ఖాళీ కాని సెట్ Aపై ఒక సంబంధంగా ఉండనివ్వండి, అప్పుడు R సంబంధం (a, b) ∈ R మరియు (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R అయితే మాత్రమే సమపరివృత్తి సంబంధంగా చెప్పబడుతుంది. , ∀ a, b, c ∈ A.

సమపరివృత్తి (తుల్యత):

R అనేది ఒక నాన్-ఖాళీ సెట్ Aపై సంబంధంగా ఉండనివ్వండి, R అనేది ప్రతినివర్తకమైన, సుష్ఠమైన మరియు సమపరివృత్తి అయితే R అనేది సమపరివృత్తి సంబంధంగా చెప్పబడుతుంది.

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: X = {1, 2, 3, 4} మరియు R అనేది R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), ( 2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)}

ప్రతినివర్తకమైనది:

Xపై ఇచ్చిన రిలేషన్ R ప్రతినివర్తకమైనది కాదు ∵ (a, a) ∉ R, ∀ a ∈ X i.e (4, 4) ∉ R.

సుష్ఠమైనది:

Xపై అందించబడిన R అనేది సుష్ఠమైనది ∵ for all (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R ∀ a, b ∈ X. 

సకర్మకమైనది:

సరైన సమాధానం 11101.

Key Points

• దశాంశ సంఖ్య 29= 11101. ద్విబితీయ సంఖ్య.
• దశ 1: ఇచ్చిన దశాంశ సంఖ్య 29 కు 2 ద్వారా వరుసగా మాడ్యులో ఆపరేషన్ చేయండి మరియు ప్రతి ఆపరేషన్ కోసం శేషం (0 లేదా 1) గుర్తించండి.
  • 29 / 2 = 14: శేషం = 1 → LSB
  • 14/ 2 = 7: శేషం = 0
  • 7 / 2 = 3: శేషం = 1
  • 3 / 2 = 1: శేషం = 1
  • 1 / 2 = 0: శేషం = 1 → MSB.
  • LSB(కనీసం ముఖ్యమైన సంఖ్య): చివరి శేషం.
  • MSB(అత్యంత ముఖ్యమైన సంఖ్య): మొదటి శేషం.
• దశ 2: MSB నుండి LSB కు శేషాలను వ్రాయండి, దీని ద్వారా సమానమైన ద్విబితీయ సంఖ్యను పొందవచ్చు.
• 2910= 111012