Quadratic Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Quadratic Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

• द्विघात समीकरण: ax² + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण जहाँ a, b और c वास्तविक स्थिरांक हैं, और a ≠ 0.
• विविक्तकर (D): इसका उपयोग मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
  D = b² - 4ac
• यदि D > 0: मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
• यदि D = 0: मूल वास्तविक और समान हैं।
• यदि D < 0: मूल सम्मिश्र (काल्पनिक) हैं।
• दोनों मूलों के धनात्मक होने के लिए: मूलों का योग > 0 और मूलों का गुणनफल > 0
• दोनों मूलों के ऋणात्मक होने के लिए: मूलों का योग < 0 और मूलों का गुणनफल > 0

मूलों का योग और गुणनफल:

• मूलों का योग = -b/a
• मूलों का गुणनफल = c/a

गणना:

दिया गया है: समीकरण 2x² + kx + 8 = 0 है

यहाँ, a = 2, b = k, c = 8

विविक्तकर D = k² - 4x2x8 = k² - 64

(a) दोनों मूल धनात्मक हैं:

⇒ मूलों का योग = -k/2 > 0 ⇒ k < 0

⇒ गुणनफल = 8/2 = 4 > 0 (हमेशा धनात्मक)

⇒ दोनों मूलों के धनात्मक होने के लिए

⇒ k < 0 और D > 0 ⇒ k² - 64 > 0 ⇒ k ∈ (-∞, -8) ∪ (8, ∞)

(b) मूल वास्तविक और समान हैं:

⇒ D = 0

⇒ k² - 64 = 0

⇒ k = ±8

(c) मूल काल्पनिक हैं:

⇒ D < 0

⇒ k² - 64 < 0

⇒ k² < 64

(d) दोनों मूल ऋणात्मक हैं:

⇒ मूलों का योग = -k/2 < 0 ⇒ k > 0

⇒ गुणनफल = 4 > 0 (हमेशा धनात्मक)

⇒ दोनों मूलों के ऋणात्मक होने के लिए

⇒ k > 0 और D = 0

⇒ k = 8 एक मान्य मिलान है जब दोनों मूल समान और ऋणात्मक हैं।

∴ सही मिलान हैं: (a) → (iii) , (b) → (ii) , (c) → (iv) , ​(d) → (v)

व्याख्या:

दिया गया है:

(x - 1)2 + (x - 3)2 + (x - 5)2 = 0

⇒ x² - 2x + 1 + x² - 6x + 9 + x² - 10x + 25 = 0

⇒ 3x² - 18x + 35 = 0

अब, विविक्तकर D = (-18)² - 4 x 3 x 35

= -96 < 0

इस प्रकार, दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

∴ विकल्प (a) सही है

व्याख्या:

दिया गया है:

tanα और tanβ, 7x² - 6x + 1 = 0 के मूल हैं

इसलिए,

⇒ tanα + tanβ = 6/7...(1)

⇒ tanα.tanβ = 1/7...(2)

⇒ tan(α+β) = \(\frac{tanα + tanβ}{1- tanα . tanβ} = \frac{\frac{6}{7}}{1- \frac{1}{7}} = 1\)

⇒ α +β = 45°

⇒ 2α +2β = 90°

इसका अर्थ है कि त्रिभुज का तीसरा कोण 90° है।

इसलिए, त्रिभुज समकोण है।

चूँकि

⇒tanα - tanβ = \(\sqrt{(tanα + tanβ)^2 - 4tanα .tanβ} = \frac{2\sqrt2}{7}\)

साथ ही

⇒ tan(α -β) = \(\frac{tanα - tanβ}{1+ tanα .tanβ}\) = \(\frac{1}{2\sqrt2}\)

⇒ tan2(α -β) = \(\frac{2tan(α -β)}{1- tan^2(α-β)}\)

= \(\frac{4\sqrt7}{7}\)

इस प्रकार 2α≠2β

∴ विकल्प (c) सही है।

गणना:

दिया गया है,

n समीकरण x2 + px + m = 0 ​का मूल है $x^2 + px + m = 0$

⇒ \(n^2 + pn + m = 0\) ..... (1)

साथ ही, m समीकरण x2 + px + n = 0 का मूल है

⇒ \(m^2 +pm+ n =0\) ..... (2)

अब समीकरण (1) - समीकरण (2), हमें प्राप्त होता है

⇒ \((n^2 – m^2) + p(n – m) – (n – m) = 0\)

⇒ \((n – m) [(n + m) + p – 1] = 0\)

⇒ \(n + m + p – 1 = 0\) ..... ( n ≠ m)

⇒ n + m + p = 1

∴ विकल्प (c) सही है।

(a - 5)² - 8(15 - 3a) < 0

a² + 14a + 25 - 120 < 0

a² + 14a - 95 < 0

(a + 19)(a - 5) < 0

a ∈ (-19, 5)

इसलिए -19 < x < 5

इसलिए \(\rm \displaystyle \sum_{x \in X} x^{2}=\left(1^{2}+2^{2}+\ldots+4^{2}\right)+\left(1^{2}+2^{2}+\ldots+18^{2}\right)\)

\(=\frac{4 \times 5 \times 9}{6}+\frac{18 \times 19 \times 37}{6}\)

= 30 + 2109

= 2139

अवधारणा:

दो भिन्न वास्तविक हलों के लिए, D > 0,

जहाँ D = b2 - 4ac

गणना:

⇒ k2 - 4k > 0

⇒ k(k - 4) > 0

⇒ (k - 0) (k - 4) > 0

स्थिति: I    k > 0 और k - 4 और 0

यहाँ से, हम प्राप्त करेंगे

k > 4

स्थिति: II  k < 0 और k < 4

यहाँ से, हम प्राप्त करेंगे

k < 0

अतः हल k < 0 या k > 4 होगा।

प्रयुक्त अवधारणा:

द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिए, 

α + β = -b/a और αβ = c/a

गणना:

दिया गया समीकरण (5 + √2) x2 - (4 + √5) x + (8 + 2√5) = 0 है

ax2 + bx + c = 0 द्वारा इस समीकरण की तुलना करने पर , हम प्राप्त करते हैं

a = (5 + √2), b =  - (4 + √5) और c = (8 + 2√5)

अब, αβ = (8 + 2√5)/(5 + √2) और α + β = (4 + √5)/(5 + √2)

अब, हमें 2αβ/(α + β) का मान ज्ञात करना है 

⇒ 2[(8 + 2√5)/(5 + √2)] / [(4 + √5)/(5 + √2)]

⇒ 2 [(8 + 2√5) (4 - √5)] / [(4 + √5)/(4 - √5)]

⇒ 2(32 + 8√5 - 8√5 - 10)/11

⇒ 44/11 = 4

∴ 2αβ/ (α + β) का आवश्यक मान 4 है।

संकल्पना:

यदि α और β द्विघात समीकरण Ax2 + Bx + C = 0 के दो मूल हैं, तो α + β = \(\rm -\dfrac{B}{A}\) और αβ = \(\rm \dfrac{C}{A}\) है।

​

गणना:

माना कि α और β द्विघातीय समीकरण ax2 + bx + c = 0 के दो मूल हैं, तो α + β = \(\rm -\dfrac{b}{a}\) और αβ = \(\rm \dfrac{c}{a}\) है।

दिया गया है कि α = -β है।

∴ -β + β = \(\rm -\dfrac{b}{a}\)

⇒ \(\rm -\dfrac{b}{a}\) = 0

⇒ b = 0.

संकल्पना:

माना कि द्विघाती समीकरण का मानक रूप, ax² + bx + c =0 लेते हैं। 

माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं। 

एक द्विघाती समीकरण के मूलों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({\rm{α }} + {\rm{β }} = - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} = - \frac{{{\rm{coefficient\;of\;x}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\) 

मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({\rm{α β }} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{constant\;term}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\)

गणना:

दिया गया है: α और β समीकरण x² - q(1 + x) - r = 0 के मूल हैं। 

⇒ x² - q - qx - r = 0

⇒ x² - qx - (q + r) = 0

मूलों का योग =  α + β = q

मूलों का गुणनफल = αβ = - (q + r) = -q - r

निम्न का मान ज्ञात करने के लिए: (1 + α)(1 + β) 

(1 + α)(1 + β) = 1 + α + β + αβ 

= 1 + q - q - r 

= 1 - r

संकल्पना:

डिग्री एक दिए गए बहुपद में चर का उच्चतम घांत होता है। 

गणना:

यहाँ,

\(\rm\frac {1}{x-3} = \frac {1}{x + 2} - \frac 1 2\\ \Rightarrow \rm\frac {1}{x-3}= \frac{2-x-2}{2 x+4} \\ \Rightarrow\frac{-x}{2 x+4}=\frac{1}{x-3} \\ \Rightarrow\frac{1}{x-3}+\frac{x}{2 x+4}=0 \\ \Rightarrow\frac{2 x+4+x^{2}-3 x}{(x-3)(2 x+4)}=0 \\ \Rightarrow x^{2}-x+4=0 \)

∴ डिग्री = 2

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

एक द्विघात समीकरण के मानक रूप ax2 + bx + c =0 पर विचार करते हैं।

माना कि α और β उपरोक्त द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।

एक द्विघात समीकरण के मूलों का योग निम्न है: \({\rm{α }} + {\rm{β }} = - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} = - \frac{{{\rm{coefficient\;of\;x}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\) 

मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा दिया गया है: \({\rm{α β }} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{constant\;term}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\)

गणना:

दिया हुआ: α, β समीकरण x2 + px + q = 0 के मूल हैं

मूलों का योग = α + β = -p

मूलों का गुणनफल = αβ = q

हम जानते हैं कि (a + b)² = a² + b² + 2ab

तो (α + β)² = α² + β² + 2αβ

⇒ (-p)² = α² + β² + 2q

∴ α² + β² = p² - 2q

अवधारणा:

यदि p(x) एक फलन है और (x - a), p(x) का गुणनखंड है तो, p(a) = 0

गणना:

x + 4, 3x² + kx + 8 का गुणनखंड है, इसलिए x = -4 इस समीकरन का हल होगा

⇒ 3(-4)2 + k(-4) + 8 = 0

⇒ 4k = 48 + 8

⇒ k = 14

संकल्पना:

माना कि द्विघाती समीकरण का मानक रूप, ax² + bx + c =0 लेते हैं।

माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं। 

एक द्विघाती समीकरण के मूलों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\({\rm{α }} + {\rm{β }} = - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} = - \frac{{{\rm{coefficient\;of\;x}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\) 

मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\({\rm{α β }} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{constant\;term}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\)

गणना:

दिया गया है: ax² + bx + c = 0 के मूलों के बीच का अंतर 1 है। 

माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं। 

मूलों का योग = α + β = \( - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} \)

मूलों का गुणनफल = α β = \(\frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}\)

अब,

α - β = 1

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ (α - β)² = 1²

⇒ (α + β)² - 4α β = 1

⇒ \(\rm (\frac{-b}{a})^{2} - \frac{4c}{a} = 1\)

⇒ b² - 4ac = a²

⇒ b² = a² + 4ac

∴ b² = a(a + 4c)

दिए गए समीकरण से, a = 1, b = k, c = k

पुनरावृत्त मूल के लिए, b² – 4ac = 0

⇒ k² – 4k = 0

⇒ k(k – 4) = 0

∴ k = 4 या k = 0

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

माना कि एक द्विघाती समीकरण: ax2 + bx + c = 0.

माना कि, α और β मूल हैं। 

• मूलों का योग = α + β = -b/a
• मूलों का गुणनफल = α × β = c/a

गणना:

दिया गया द्विघाती समीकरण: 3x2 + 57x - 5 = 0

माना कि α और β मूल हैं, तो 

α + β = -57/3,  αβ = -5/3

अब,\(\frac{α ^3+β ^3}{α ^{-3}+β ^{-3}}\)= \(\frac{α ^3+β ^3}{\frac {1}{α ^{3}}+\frac{1}{β ^{3}}}\)

= \(\frac{α ^3+β ^3}{\frac {(α ^3+β ^3)}{α^3 β^3 }}\)

= (α β)³

= (-5/3)³

= -125/27

अतः विकल्प (4) सही है।