Linear Programmig Problem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Linear Programmig Problem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

• संभव क्षेत्र के छोर बिंदु ऐसे बिंदु होते हैं जिसके लिए हमें उद्देश्य फलन के मान के जाँच करने की आवश्यकता है। 
• संभव क्षेत्र के इन छोर बिंदुओं के लिए उद्देश्य फलन का अधिकतम मान इष्टतम संभव बिंदु होगा। 
• इस स्थिति में यदि उद्देश्य फलन  Z = mx + ny में संभव क्षेत्र के दो छोर बिंदुओं पर समान अधिकतम मान है और ये दो छोर बिंदुएं प्रतिबंध के समान रेखाखंड पर हैं, तो उन बिंदुओं की संख्या अनंत होगी जिसपर Zmax अधिक होता है। 

गणना:

दिया गया है: उद्देश्य फलन Z = mx + ny में संभव क्षेत्र के दो छोर बिंदुओं पर समान अधिकतम मान है। 

• छायांकित संभव क्षेत्र के साथ बनाये गए संभव क्षेत्र के दिए गए उदाहरण निम्न है,

• संभव क्षेत्र के छोर बिंदु निम्न हैं:

C(15, 15), B(5, 5), M(10, 0) और N(60, 0)

• अतिरिक्त प्रतिबंधों के कारण घटित होने वाले छोर बिंदुओं में कोई परिवर्तन नहीं होता है। 

• x + 3y का अधिकतम मन दो बिंदु C और N पर घटित होगा। 
• अब जाँच कीजिए कि कई हल की संभावना है या नहीं।
• इसके लिए बिंदु C और N को जोड़िए। यदि बिंदु C और N समान रेखाखंड CN पर हैं, इसलिए उस रेखाखंड CN पर सभी बिंदुओं के लिए उद्देश्य फलन का मान अधिकतम 60 होगा।
• चूँकि छोर बिंदु C और N समान रेखाखंड CN पर हैं, इसलिए रेखाखंड CN के प्रत्येक बिंदु पर हमें उद्देश्य फलन का अधिकतम मान प्राप्त होगा।
• अतः सही उत्तर विकल्प 4 है।

हम शीघ्र ही हल अपडेट करेंगे।

गणना:

दिया गया है:

उद्देश्य फलन: Z = 3x + 9y

कोनीय बिंदु: (0, 10), (5, 5), (15, 15), (0, 20)

(0, 10) पर: Z = 3(0) + 9(10) = 90

(5, 5) पर: Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60

(15, 15) पर: Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180

(0, 20) पर: Z = 3(0) + 9(20) = 180

(5, 5) पर न्यूनतम मान 60 है।

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना

मान लीजिए \(z\) लाभ फलन है और \(x\) और \(y\) क्रमशः भोजन \(A\) और \(B\) की उत्पादकता को दर्शाते हैं।

तब

150x + 200y ≥ 4000

2x + y ≥ 40

50x + 30y ≥ 1200

x ≥ 0, y ≥ 0

हम आहार की लागत को कम करना चाहते हैं।

उद्देश्य फलन:  Z = 3x + 4y का न्यूनतम मान 

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

संकल्पना:

• रैखिक प्रोग्रामिंग में वस्तुनिष्ठ फलन और वस्तुनिष्ठ अवरोध रैखिक होते हैं।

∴ विकल्प 2 सही है।

महत्वपूर्ण बिंदु:

किसी भी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में निम्नलिखित गुण होने चाहिए: -

• चरों और अवरोधों के बीच संबंध रैखिक होना चाहिए।
• अवरोधों को गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।
• वस्तुनिष्ठ फलन रैखिक होना चाहिए।

वर्णन:

z = x₁ - x₂ को अधिकतम करने पर

प्रतिबंध x₁ + x₂ ≤ 10

x₁ ≥ 0

x₂ ≥ 0

x₂ ≤ 5

छोर बिंदु निम्न हैं:​ (0, 0) (5, 0), (5, 5), (0, 10)

Z (0, 0) = 0 - 0 = 0

Z (0, 5) = 0 - 5 = -5

Z (5, 5) = 5 - 5 = 0

Z (10, 0) = 10 - 0 = 10

अधिकतम Z = Z (10, 0) = 10

अतः समस्या में एक सर्वोत्कृष्ट हल है।

वर्णन:-

उद्देश्य फलन

• दो या दो से अधिक चरों वाला वह रैखिक फलन जिसे दिए गए प्रतिबंधों के तहत बढ़ाया या कम किया जाना होता है, उसे उद्देश्य फलन कहा जाता है। 
• उद्देश्य फलन में प्रयोग किया जाने वाला चर निर्णय चर कहलाता है। 

व्यवरोध:

• ये किसी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के चरों पर प्रतिबंध होते हैं, जिसे रैखिक व्यवरोध कहा जाता है। 
• उद्देश्य फलन के अंतिम हल को इन व्यवरोधों को संतुष्ट करना चाहिए। 

Additional Information

LPP से संबंधित अन्य पद

रैखिक व्यवरोध

• किसी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के चरों पर रैखिक असमानता या प्रतिबंध रैखिक व्यवरोध कहलाता है। 
• स्थिति x ≥ 0, y ≥ 0 को गैर-ऋणात्मक प्रतिबंध कहा जाता है। 

इष्टतमीकरण समस्या

• वह समस्या जो रैखिक असमानताओं के समूह द्वारा निर्धारित विशिष्ट व्यवरोध के अधीन रैखिक फलन को बढ़ाना या कम करना चाहता है। 

x1 + 2x2 = 6       ___(1)

2x1 + 2x2 = 10       ___(2)

समीकरण (2) से समीकरण (1) घटाने पर:

2x1 - x1 = 4

x1 = 4

x2 = 1

सुसंगत क्षेत्र के कोण बिंदु निम्न हैं:

(0, 0), (0, 3), (4, 1), (5, 0)

Z(0, 0) = 0

Z (0, 3) = -24

Z (4, 1) = 24 – 8 = 16

Z (5, 0) = 30 – 0 × 30 = 30

Z (0, 3) = -24 न्यूनतम मान

संकल्पना:

Z_max = 15x₁ + 20x₂

प्रतिबंध:

12x₁ + 4x₂ ≥ 36       ---(1)

12x₁ – 6x₂ ≤ 24      ---(2)  

x₁, x₂ ≥ 0

समीकरण (1) से: 12x₁ + 4x₂ = 36

x₁ = 0, x₂ = 9 पर

x₂ = 0, x₁ = 3

(0, 9) और (3, 0)

समीकरण (2) से: 12x₁ – 6x₂ = 24

x₁ = 0, x₂ = -4 पर

x₂ = 0, x₁ = 2

(0, -4) और (2, 0)

आलेख पर इन बिंदुओं को बनाने पर। 

व्याख्या:

Z_max = 3x₁ + 2x₂

x₁ ≤ 4               ___________(i)

x₂ ≤ 6               ___________(ii)

3x₁ + 2x₂ ≤ 18 ___________(iii)

और x₁, x₂ ≥ 0 के अधीन है

अब रेखाओं के प्रतिच्छेदन को E, F द्वारा निरूपित किया जाता है

E के लिए, 3x₁ + 2x₂ = 18

और x₂ = 6

इसलिए, 3x₁ + (2 × 6) = 18 ⇒ x₁ = 2 ⇒ E (2,6)

F के लिए, 3x₁ + 2x₂ = 18

और x₁ = 4

⇒ (3 × 4) + 2x₂ = 18 ⇒ x₂ = 3 ⇒ F (4,3)

तो सुसंगत बिंदु (0, 0), (4, 0), (4, 3), (2, 6), (0, 6) हैं 

Z(0, 0) = 0

Z(4, 0) = 12

Z(4, 3) = (3 × 4) + (2 × 3) = 18

Z(2, 6) = (3 × 2) + (2 × 6) = 18

Z(0, 6) = 12

तो उद्देश्य फलन में कई हल होते हैं।

संकल्पना:

• जिस लाभ या लागत फलन को अधिकतम या न्यूनतम किया जाना होता है वस्तुनिष्ठ फलन कहलाता है।
• तो एक वस्तुनिष्ठ फलन के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग का उद्देश्य अधिकतम या न्यूनतम करना है।

∴ विकल्प 1 सही है।

वर्णन:

रैखिक प्रोग्रामिंग (LP)

• औद्योगिक इंजीनियरिंग में रैखिक प्रोग्रामिंग (LP) का उपयोग हमारे सीमित संसाधनों के अनुकूलन के लिए तब किया जाता है जब सामग्री चयन जैसी समस्या के लिए कई वैकल्पिक समाधान संभव होते हैं।
• वास्तविक जीवन की समस्याओं को इसके चरों के बीच संबंध को निर्दिष्ट करके एक रैखिक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।
• रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग दिए गए प्रतिबंधों के साथ किसी समस्या के लिए सबसे इष्टतम समाधान प्राप्त करने के लिए किया जाता है।
• रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए असमानताओं के निर्माण की आवश्यकता होती है और फिर समस्याओं को हल करने के लिए उनका रेखांकन करना पड़ता है।
• रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करने के लिए सबसे बड़े उद्देश्य फलन (अधिकतमकरण) को खोजने के लिए परिभाषित चर और प्रतिबंधों की आवश्यकता होती है।
• कुछ स्थितियों में, इसके बजाय रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग सबसे छोटे संभव उद्देश्य फलन मान (न्यूनतमीकरण) के लिए किया जाता है।
• कुछ रैखिक प्रोग्रामिंग मैन्युअल रूप से की जा सकती है।
• जब चर और गणना बहुत जटिल हो जाती है और अभिकलनात्‍मक सॉफ्टवेयर के उपयोग की आवश्यकता होती है।

व्याख्या:

 Z = px + qy, जहाँ p, q > 0

एकघात प्रतिबंध की प्रणाली द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोने के बिंदु (0, 3), (1, 1) और (3, 0) हैं।

माना सुसंगत क्षेत्र में z का न्यूनतम मान z₀ है।

चूंकि (3, 0) और (1, 1) दोनों पर न्यूनतम प्राप्त होता है।
मान z₀, (3, 0) और (1, 1) दोनों पर प्राप्त होता है।

z0​ = p × 3 + q × 0  ---- (1)

z0 ​= p × 1 + q × ​1 ---- (2)

समीकरण (1) और (2) से हमें प्राप्त होता हैं 

⟹ p × 3 + q × 0 = p × 1 + q × ​1 

⟹ 3 p = p + q

⟹ 2 p = q

⟹ p = q/2

सही विकल्प (2) है।

व्याख्या:

LPP के लिए सुसंगत क्षेत्र के कोने के बिंदु (0, 2), (3, 0), (6,0), (6, 8), और (0,5) हैं।
F = 4x + 6y

F का अधिकतम - F का न्यूनतम = 72 - 12 = 60 

सही विकल्प (1) है।