Diagonal of a Square Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Diagonal of a Square Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

दिया गया है,

|A – xI| = 0

मूल -1 और 3 है,

⇒ मूलों का योग = tr(A) = 2

⇒ मूलों का गुणनफल = |A| = –3

मान लीजिए, A = \(\left[\begin{array}{ll} \mathrm{a} & \mathrm{b} \\ \mathrm{c} & \mathrm{d} \end{array}\right]\)

हमारे पास a + d = 2 और ad – bc = –3 है

A2 = \(\left[\begin{array}{ll} \mathrm{a} & \mathrm{b} \\ \mathrm{c} & \mathrm{d} \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{ll} \mathrm{a} & \mathrm{b} \\ \mathrm{c} & \mathrm{d} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} \mathrm{a}^2+\mathrm{bc} & \mathrm{ab}+\mathrm{bd} \\ \mathrm{ac}+\mathrm{cd} & \mathrm{bc}+\mathrm{d}^2 \end{array}\right]\)

हमें a² + bc + bc + d² ज्ञात करना है,

⇒ a2 + 2bc + d2

⇒ (a + d)2 - 2ad + 2bc

⇒ 4 - 2(ad - bc)

⇒ 4 - 2(-3)

⇒ 4 + 6

⇒ 10

आव्यूह A2 के विकर्ण अवयवों का योग 10 है। 

गणना

\(x \sin \theta=y \sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)=z \sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right) ≠ 0\)

⇒ x, y, z ≠ 0

इसके अलावा,

\(\sin \theta+\sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right)=0 \forall \theta \in \mathrm{R}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}+\frac{1}{\mathrm{z}}=0\)

⇒ xy + yz + zx = 0

(i) अनुरेख (R) = x + y + z

यदि x + y + z = 0 और x y + yz + zx = 0

⇒ x = y = z = 0

कथन (i) असत्य है

(ii) Adj(Adj(R)) = |R| R

⇒ अनुरेख (Adj(Adj(R)))

⇒ xyz (x + y + z) ≠ 0

कथन (ii) भी असत्य है

इसलिए विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

विकर्ण आव्यूह: कोई वर्ग आव्यूह जिसमें प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं, को विकर्ण आव्यूह कहा जाता है।

अर्थात् यदि j के बराबर i न होने के लिए aij = 0 है, तो A = [aij]n × n एक विकर्ण आव्यूह है।

गणना:

दिया हुआ: 

\(\left( i \right) = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ 0&4&0\\ 0&0&{ - 5} \end{array}} \right],\left( {{\rm{ii}}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&0\\ 0&4&0\\ 0&0&{ - 5} \end{array}} \right],\left( {{\rm{iii}}} \right) = \left[ 6 \right],\left( {{\rm{iv}}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&{1}\\ 0&4&2\\ 0&0&{ 5} \end{array}} \right]\)

जैसा कि हम जानते हैं कि एक वर्ग आव्यूह जिसके विकर्ण अवयवों के अतिरिक्त सभी अवयव शून्य हैं, को विकर्ण आव्यूह कहा जाता है।

\(A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times m}}\)विकर्ण आव्यूह है यदि aij = 0 जब i≠j

तो, केवल (i) और (iii) विकर्ण आव्यूह हैं।

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है

संकल्पना:

शून्य आव्यूह:

एक शून्य आव्यूह वह आव्यूह है जिसमें सभी प्रविष्‍टियाँ शून्य हैं। 

यह पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित एक आयताकार सारणी, संख्याओं, चिन्हों या समीकरणों की तालिका है। 

इकाई आव्यूह: इकाई आव्यूह वह आव्यूह है जिसकी विकर्ण प्रविष्‍टियाँ 1 होती है अर्थात् सभी विकर्ण तत्व समान होते हैं और शेष प्रविष्‍टियाँ शून्य होती है। 

Observations:

एक शून्य आव्यूह वह आव्यूह है जिसमें सभी प्रविष्‍टियाँ शून्य हैं। यह एक वर्ग आव्यूह हो भी हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। 

एक आव्यूह में सारणिक होती है ना कि संख्यात्मक मान। यह पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित एक आयताकार सारणी, संख्याओं, चिन्हों या समीकरणों की तालिका होती है। 

इकाई आव्यूह: इकाई आव्यूह वह आव्यूह है जिसकी विकर्ण प्रविष्‍टियाँ 1 होती है अर्थात् सभी विकर्ण तत्व समान होते हैं और शेष प्रविष्‍टियाँ शून्य होती है। 

अतः एक इकाई आव्यूह विकर्ण आव्यूह है।

संकल्पना:

संयुग्मी परिवर्त: 

\(A^*\ = \ (\bar a_{ji})\) B को आव्यूह A का संयुग्मी परिवर्त कहा जाता है, जहाँ

\(A^*\ = \bar{A}^t\ = \bar{A^t}\)

हर्मिटी आव्यूह: सम्मिश्र प्रविष्टियों वाले एक वर्ग आव्यूह A को हर्मिटी आव्यूह कहा जाता है यदि A* = A

हर्मिटी आव्यूह के गुण:

• हर्मिटी आव्यूह के मुख्य विकर्ण के सभी तत्व वास्तविक संख्याएँ हैं।
• हर्मिटी आव्यूह के गैर-विकर्ण अवयव सम्मिश्र संख्याएँ हैं।
• किन्हीं दो हर्मिटी आव्यूहों का योग और गुणनफल हर्मिटी होता है।
• यदि व्युत्क्रम A विद्यमान है, तो हर्मिटी आव्यूह का व्युत्क्रम एक हर्मिटी है।
• हर्मिटी आव्यूह का सारणिक वास्तविक है।

ऐकिक आव्यूह: यदि AA* = A*A = I हो, तो A को ऐकिक आव्यूह कहा जाता है

वर्णक्रमीय प्रमेय: वर्णक्रमीय प्रमेय कहता है कि यदि A, A के परिवर्त के बराबर है, तो A विकर्णीय है।

एक ऐकिक आव्यूह U इस प्रकार विद्यमान है कि U-1MU एक विकर्ण आव्यूह है।

विकर्ण आव्यूह: कोई भी आव्यूह जिसके मुख्य विकर्ण से सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं, विकर्ण आव्यूह कहलाता है।

केली-हैमिल्टन प्रमेय: यह है कि यदि p(λ) एक वर्ग आव्यूह A का विशेष बहुपद है, जो p(λ) = det (λI - A) से प्राप्त होता है, तो बहुपद में λ के लिए A को प्रतिस्थापित करने पर शून्य आव्यूह प्राप्त होता है।

इस प्रकार, प्रमेय को लागू करके, आव्यूह A अपनी स्वयं के विशेष बहुपद, p(A) = 0 को संतुष्ट करता है

गणना:

विकल्प 1: हर्मिटी आव्यूह के गुण से, यह कथन सही है।

विकल्प 2: वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार यह कथन भी सत्य है।

विकल्प 3: आइए एक हर्मिटी आव्यूह पर विचार कीजिए

\(A\ =\ \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\)

\(A^2\ =\ \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\ =\ \left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\)           ---(1)

\(A^3\ = \ A^2A\ =\ \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1& 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\ =\ \left[ \begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\ =\ A\)

विकल्प 4: समीकरण (1) से देख सकते हैं कि,

हालाँकि A2 = I है, यह आवश्यक नहीं है कि A = I हो

अतः, यह कथन सत्य नहीं है।

संकल्पना:

विकर्ण आव्यूह:

कोई वर्ग आव्यूह जिसमें प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं, को विकर्ण आव्यूह कहा जाता है। 

अर्थात् यदि i ≠ j के लिए aij = 0 है, तो A = [aij]n × n एक विकर्ण आव्यूह है। 

सूचना: यदि A = diag [a11, a22, a33, ....., ann कोटि n वाली एक विकर्ण आव्यूह है, तो \(A = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right]\) है। 

तत्समक आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख विकर्ण तत्व 1 के बराबर होते हैं, को तत्समक आव्यूह कहा जाता है। इसे इकाई आव्यूह के रूप में भी जाना जाता है जबकि कोटि n वाले एक तत्समक आव्यूह को I या In द्वारा दर्शाया जाता है।

अदिश आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख तत्व बराबर होते हैं, को अदिश आव्यूह कहा जाता है। 

गणना:

कथन 1: प्रत्येक तत्समक आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह है। 

चूँकि हम जानते हैं कि एक वर्ग आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख विकर्ण तत्व 1 के बराबर होते हैं और शेष तत्व शून्य होते हैं, को तत्समक आव्यूह कहा जाता है। 

हम यह भी जानते हैं कि, एक वर्ग आव्यूह जिसमें प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं, को विकर्ण आव्यूह कहा जाता है। 

इसलिए, सभी तत्समक आव्यूह विकर्ण आव्यूह होते हैं। 

इसलिए, कथन 1 सत्य है। 

कथन 2: प्रत्येक विकर्ण आव्यूह एक अदिश आव्यूह है। 

माना कि \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3 \end{array}} \right]\) है। 

चूँकि हम देख सकते हैं कि, आव्यूह A के लिए प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं। 

⇒ A एक विकर्ण आव्यूह है। 

हम यह भी देख सकते हैं कि आव्यूह A के सभी प्रमुख विकर्ण तत्व विशिष्ट हैं, अर्थात् समान नहीं हैं। 

इसलिए, A एक अदिश आव्यूह है। 

अतः कथन 2 असत्य है। 

संकल्पना:

विकर्ण आव्यूह: कोई वर्ग आव्यूह जिसमें प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं, को विकर्ण आव्यूह कहा जाता है।

अर्थात् यदि j के बराबर i न होने के लिए aij = 0 है, तो A = [aij]n × n एक विकर्ण आव्यूह है।

गणना:

दिया हुआ: 

\(\left( i \right) = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ 0&4&0\\ 0&0&{ - 5} \end{array}} \right],\left( {{\rm{ii}}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&0\\ 0&4&0\\ 0&0&{ - 5} \end{array}} \right],\left( {{\rm{iii}}} \right) = \left[ 6 \right],\left( {{\rm{iv}}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&{1}\\ 0&4&2\\ 0&0&{ 5} \end{array}} \right]\)

जैसा कि हम जानते हैं कि एक वर्ग आव्यूह जिसके विकर्ण अवयवों के अतिरिक्त सभी अवयव शून्य हैं, को विकर्ण आव्यूह कहा जाता है।

\(A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times m}}\)विकर्ण आव्यूह है यदि aij = 0 जब i≠j

तो, केवल (i) और (iii) विकर्ण आव्यूह हैं।

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है

संकल्पना:

शून्य आव्यूह:

एक शून्य आव्यूह वह आव्यूह है जिसमें सभी प्रविष्‍टियाँ शून्य हैं। 

यह पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित एक आयताकार सारणी, संख्याओं, चिन्हों या समीकरणों की तालिका है। 

इकाई आव्यूह: इकाई आव्यूह वह आव्यूह है जिसकी विकर्ण प्रविष्‍टियाँ 1 होती है अर्थात् सभी विकर्ण तत्व समान होते हैं और शेष प्रविष्‍टियाँ शून्य होती है। 

Observations:

एक शून्य आव्यूह वह आव्यूह है जिसमें सभी प्रविष्‍टियाँ शून्य हैं। यह एक वर्ग आव्यूह हो भी हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। 

एक आव्यूह में सारणिक होती है ना कि संख्यात्मक मान। यह पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित एक आयताकार सारणी, संख्याओं, चिन्हों या समीकरणों की तालिका होती है। 

इकाई आव्यूह: इकाई आव्यूह वह आव्यूह है जिसकी विकर्ण प्रविष्‍टियाँ 1 होती है अर्थात् सभी विकर्ण तत्व समान होते हैं और शेष प्रविष्‍टियाँ शून्य होती है। 

अतः एक इकाई आव्यूह विकर्ण आव्यूह है।

संकल्पना:

विकर्ण आव्यूह:

कोई वर्ग आव्यूह जिसमें प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं, उसे विकर्ण आव्यूह कहा जाता है। 

अर्थात् यदि i ≠ j के लिए aij = 0 है, तो A = [aij]n × n एक विकर्ण आव्यूह है। 

सूचना: यदि A = diag [a11, a22, a33, ....., ann कोटि n वाली एक विकर्ण आव्यूह है, तो \(A = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right]\) है। 

तत्समक आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख विकर्ण तत्व 1 के बराबर होते हैं, उसे तत्समक आव्यूह कहा जाता है। इसे इकाई आव्यूह के रूप में भी जाना जाता है जबकि कोटि n वाले एक तत्समक आव्यूह को I या I_n द्वारा दर्शाया जाता है।

अदिश आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख तत्व बराबर होते हैं, उसे अदिश आव्यूह कहा जाता है। 

गणना:

दिया गया है: A = diag [3, 3, 3] और B = diag [1, 1, 1] 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि A = diag [a11, a22, a33, ....., ann] कोटि n वाली एक विकर्ण आव्यूह है, तो \(A = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right]\)  है। 

∵ A = diag [3, 3, 3] और B = diag [1, 1, 1]

\(\Rightarrow A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&3 \end{array}} \right]\;and\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\)

इसलिए, हम कह सकते हैं कि A कोटि 3 वाली एक अदिश आव्यूह है और B कोटि 3 वाली एक तत्समक आव्यूह है। 

अतः विकल्प B सही उत्तर है। 

संकल्पना:

विकर्ण आव्यूह:

कोई वर्ग आव्यूह जिसमें प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं, उसे विकर्ण आव्यूह कहा जाता है। 

अर्थात् यदि i ≠ j के लिए aij = 0 है, तो A = [aij]n × n एक विकर्ण आव्यूह है। 

सूचना: यदि A = diag [a₁₁, a₂₂, a₃₃, ....., a_nn] कोटि n वाली एक विकर्ण आव्यूह है, तो \(A = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right]\)  है। 

अदिश आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख तत्व बराबर होते हैं, उसे अदिश आव्यूह कहा जाता है। 

माना कि A और b समान कोटि m × n वाले कोई दो भी आव्यूह हैं, तो उनका योग A ± B = [aij ± bij]m × n है, जहाँ A = [aij]m × n और B = [bij]m × n है। 

गणना:

दिया गया है: A = diag [3, - 5, 7] और B = diag [- 1, 2, 4]

यहाँ, हमें 2A + 3B का मान ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि A = diag [a11, a22, a33, ....., ann]  कोटि n वाली एक विकर्ण आव्यूह है, तो \(A = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right]\)   है। 

∵ A = diag [3, - 5, 7] और B = diag [- 1, 2, 4]

\(\Rightarrow A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ 0&{ - \;5}&0\\ 0&0&7 \end{array}} \right]\;and\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \;1}&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&4 \end{array}} \right]\)

\(\Rightarrow 2A + 3B = 2 \cdot \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ 0&{ - \;5}&0\\ 0&0&7 \end{array}} \right] + 3 \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \;1}&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&4 \end{array}} \right]\)

\(= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ 0&{ - 4}&0\\ 0&0&{26} \end{array}} \right]\)

अतः \(2A + 3B= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ 0&{ - 4}&0\\ 0&0&{26} \end{array}} \right]\)

संकल्पना:

शून्य आव्यूह या रिक्त आव्यूह:

कोई आव्यूह जिसमें सभी तत्व शून्य होते हैं, उसे शून्य आव्यूह कहा जाता है। इसे शून्य आव्यूह के रूप में भी जाना जाता है और इसे O द्वारा दर्शाया जाता है। 

अर्थात् \(O = \;{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &0 \end{array}} \right]_{m \times \;n}}\)

विकर्ण आव्यूह:

कोई वर्ग आव्यूह जिसमें प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं, उसे विकर्ण आव्यूह कहा जाता है। 

अर्थात् यदि i ≠ j के लिए aij = 0 है, तो A = [aij]n × n एक विकर्ण आव्यूह है। 

सूचना: यदि A = diag [a11, a22, a33, ....., ann कोटि n वाली एक विकर्ण आव्यूह है, तो \(A = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right]\) है। 

तत्समक आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख विकर्ण तत्व 1 के बराबर होते हैं, उसे तत्समक आव्यूह कहा जाता है। इसे इकाई आव्यूह के रूप में भी जाना जाता है जबकि कोटि n वाले एक तत्समक आव्यूह को I या In द्वारा दर्शाया जाता है।

अदिश आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख तत्व बराबर होते हैं, उसे अदिश आव्यूह कहा जाता है। 

गणना:

कथन 1: कोटि n वाला प्रत्येक शून्य आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह है। 

चूँकि हम जानते हैं कि कोटि n वाली एक शून्य आव्यूह निम्न द्वारा ज्ञात की जाती है: \(O = \;{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &0 \end{array}} \right]_{n \times \;n}}\)

∵ आव्यूह O के सभी प्रमुख विकर्ण तत्व शून्य होते हैं जो एक विकर्ण आव्यूह की परिभाषा का उल्लंघन करते हैं। 

चूँकि विकर्ण आव्यूह के लिए प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं। 

इसलिए, कथन 1 असत्य है। 

कथन 2: कोटि n वाला प्रत्येक शून्य आव्यूह एक अदिश आव्यूह है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, प्रत्येक अदिश आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह है और कथन 1 से हम जानते हैं कि कोटि n वाली कोई शून्य आव्यूह विकर्ण आव्यूह नहीं होती है। 

अतः कथन 2 भी असत्य है।

संकल्पना:

विकर्ण आव्यूह:

कोई वर्ग आव्यूह जिसमें प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं, उसे विकर्ण आव्यूह कहा जाता है। 

अर्थात् यदि i ≠ j के लिए aij = 0 है, तो A = [aij]n × n एक विकर्ण आव्यूह है। 

सूचना: यदि A = diag [a₁₁, a₂₂, a₃₃, ....., a_nn] कोटि n वाली एक विकर्ण आव्यूह है, तो \(A = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right]\)  है। 

अदिश आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख तत्व बराबर होते हैं, उसे अदिश आव्यूह कहा जाता है। 

माना कि A और b समान कोटि m × n वाले कोई दो भी आव्यूह हैं, तो उनका योग A ± B = [aij ± bij]m × n है, जहाँ A = [aij]m × n और B = [bij]m × n है। 

गणना:

दिया गया है: A = diag [3, - 5, 7] और B = diag [- 1, 2, 4]

यहाँ, हमें 2A + 3B का मान ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि A = diag [a11, a22, a33, ....., ann]  कोटि n वाली एक विकर्ण आव्यूह है, तो \(A = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right]\)   है। 

∵ A = diag [3, - 5, 7] और B = diag [- 1, 2, 4]

\(\Rightarrow A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ 0&{ - \;5}&0\\ 0&0&7 \end{array}} \right]\;and\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \;1}&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&4 \end{array}} \right]\)

\(\Rightarrow 2A + 3B = 2 \cdot \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ 0&{ - \;5}&0\\ 0&0&7 \end{array}} \right] + 3 \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \;1}&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&4 \end{array}} \right]\)

\(= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ 0&{ - 4}&0\\ 0&0&{26} \end{array}} \right]\)

अतः \(2A + 3B= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ 0&{ - 4}&0\\ 0&0&{26} \end{array}} \right]\)

संकल्पना:

संयुग्मी परिवर्त: 

\(A^*\ = \ (\bar a_{ji})\) B को आव्यूह A का संयुग्मी परिवर्त कहा जाता है, जहाँ

\(A^*\ = \bar{A}^t\ = \bar{A^t}\)

हर्मिटी आव्यूह: सम्मिश्र प्रविष्टियों वाले एक वर्ग आव्यूह A को हर्मिटी आव्यूह कहा जाता है यदि A* = A

हर्मिटी आव्यूह के गुण:

• हर्मिटी आव्यूह के मुख्य विकर्ण के सभी तत्व वास्तविक संख्याएँ हैं।
• हर्मिटी आव्यूह के गैर-विकर्ण अवयव सम्मिश्र संख्याएँ हैं।
• किन्हीं दो हर्मिटी आव्यूहों का योग और गुणनफल हर्मिटी होता है।
• यदि व्युत्क्रम A विद्यमान है, तो हर्मिटी आव्यूह का व्युत्क्रम एक हर्मिटी है।
• हर्मिटी आव्यूह का सारणिक वास्तविक है।

ऐकिक आव्यूह: यदि AA* = A*A = I हो, तो A को ऐकिक आव्यूह कहा जाता है

वर्णक्रमीय प्रमेय: वर्णक्रमीय प्रमेय कहता है कि यदि A, A के परिवर्त के बराबर है, तो A विकर्णीय है।

एक ऐकिक आव्यूह U इस प्रकार विद्यमान है कि U-1MU एक विकर्ण आव्यूह है।

विकर्ण आव्यूह: कोई भी आव्यूह जिसके मुख्य विकर्ण से सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं, विकर्ण आव्यूह कहलाता है।

केली-हैमिल्टन प्रमेय: यह है कि यदि p(λ) एक वर्ग आव्यूह A का विशेष बहुपद है, जो p(λ) = det (λI - A) से प्राप्त होता है, तो बहुपद में λ के लिए A को प्रतिस्थापित करने पर शून्य आव्यूह प्राप्त होता है।

इस प्रकार, प्रमेय को लागू करके, आव्यूह A अपनी स्वयं के विशेष बहुपद, p(A) = 0 को संतुष्ट करता है

गणना:

विकल्प 1: हर्मिटी आव्यूह के गुण से, यह कथन सही है।

विकल्प 2: वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार यह कथन भी सत्य है।

विकल्प 3: आइए एक हर्मिटी आव्यूह पर विचार कीजिए

\(A\ =\ \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\)

\(A^2\ =\ \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\ =\ \left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\)           ---(1)

\(A^3\ = \ A^2A\ =\ \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1& 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\ =\ \left[ \begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\ =\ A\)

विकल्प 4: समीकरण (1) से देख सकते हैं कि,

हालाँकि A2 = I है, यह आवश्यक नहीं है कि A = I हो

अतः, यह कथन सत्य नहीं है।

संकल्पना:

विकर्ण आव्यूह:

कोई वर्ग आव्यूह जिसमें प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं, उसे विकर्ण आव्यूह कहा जाता है। 

अर्थात् यदि i ≠ j के लिए aij = 0 है, तो A = [aij]n × n एक विकर्ण आव्यूह है। 

सूचना: यदि A = diag [a11, a22, a33, ....., ann कोटि n वाली एक विकर्ण आव्यूह है, तो \(A = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right]\) है। 

तत्समक आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख विकर्ण तत्व 1 के बराबर होते हैं, उसे तत्समक आव्यूह कहा जाता है। इसे इकाई आव्यूह के रूप में भी जाना जाता है जबकि कोटि n वाले एक तत्समक आव्यूह को I या In द्वारा दर्शाया जाता है।

अदिश आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख तत्व बराबर होते हैं, उसे अदिश आव्यूह कहा जाता है। 

गणना:

कथन 1: प्रत्येक तत्समक आव्यूह एक अदिश आव्यूह है। 

चूँकि हम जानते हैं कि एक वर्ग आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख विकर्ण तत्व 1 के बराबर होते हैं और शेष तत्व शून्य होते हैं, उसे तत्समक आव्यूह कहा जाता है। 

∵ एक तत्समक आव्यूह के सभी प्रमुख विकर्ण तत्व समान होते हैं। 

इसलिए, सभी तत्समक आव्यूह अदिश आव्यूह होते हैं। 

इसलिए, कथन 1 सत्य है। 

कथन 2: प्रत्येक अदिश आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, कोई विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख विकर्ण तत्व बराबर होते हैं, उसे अदिश आव्यूह कहा जाता है। 

अतः कथन 2 भी सत्य है।

संकल्पना:

विकर्ण आव्यूह:

कोई वर्ग आव्यूह जिसमें प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं, को विकर्ण आव्यूह कहा जाता है। 

अर्थात् यदि i ≠ j के लिए aij = 0 है, तो A = [aij]n × n एक विकर्ण आव्यूह है। 

सूचना: यदि A = diag [a11, a22, a33, ....., ann कोटि n वाली एक विकर्ण आव्यूह है, तो \(A = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right]\) है। 

तत्समक आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख विकर्ण तत्व 1 के बराबर होते हैं, को तत्समक आव्यूह कहा जाता है। इसे इकाई आव्यूह के रूप में भी जाना जाता है जबकि कोटि n वाले एक तत्समक आव्यूह को I या In द्वारा दर्शाया जाता है।

अदिश आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख तत्व बराबर होते हैं, को अदिश आव्यूह कहा जाता है। 

गणना:

कथन 1: प्रत्येक तत्समक आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह है। 

चूँकि हम जानते हैं कि एक वर्ग आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख विकर्ण तत्व 1 के बराबर होते हैं और शेष तत्व शून्य होते हैं, को तत्समक आव्यूह कहा जाता है। 

हम यह भी जानते हैं कि, एक वर्ग आव्यूह जिसमें प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं, को विकर्ण आव्यूह कहा जाता है। 

इसलिए, सभी तत्समक आव्यूह विकर्ण आव्यूह होते हैं। 

इसलिए, कथन 1 सत्य है। 

कथन 2: प्रत्येक विकर्ण आव्यूह एक अदिश आव्यूह है। 

माना कि \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3 \end{array}} \right]\) है। 

चूँकि हम देख सकते हैं कि, आव्यूह A के लिए प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं। 

⇒ A एक विकर्ण आव्यूह है। 

हम यह भी देख सकते हैं कि आव्यूह A के सभी प्रमुख विकर्ण तत्व विशिष्ट हैं, अर्थात् समान नहीं हैं। 

इसलिए, A एक अदिश आव्यूह है। 

अतः कथन 2 असत्य है।