Adjoint and Inverse of a Square Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Adjoint and Inverse of a Square Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 13, 2025
Latest Adjoint and Inverse of a Square Matrix MCQ Objective Questions
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 1:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित को ध्यान में रखें :
माना \(\rm A=\begin{bmatrix}3&-3&4\\\ 2&-3&4\\\ 0&-1&1\end{bmatrix}\)
A-1 किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है
⇒ \(adj(A) = \rm \begin{bmatrix}1&-1&0\\\ -2&3&-4\\\ -2&3&-3\end{bmatrix}\)
अब, A-1 = \(\frac{1}{|A|} (Adj(A))\)
= \( \rm \begin{bmatrix}1&-1&0\\\ -2&3&-4\\\ -2&3&-3\end{bmatrix}\)
∴ विकल्प (a) सही है।
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 2:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित को ध्यान में रखें :
माना \(\rm A=\begin{bmatrix}3&-3&4\\\ 2&-3&4\\\ 0&-1&1\end{bmatrix}\)
A(adj A) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
\(\rm A=\begin{bmatrix}3&-3&4\\\ 2&-3&4\\\ 0&-1&1\end{bmatrix} \)
अब, |A| = 3(-3 + 4) -2(-3 + 4) + 0 = 3 - 2 = 1
A(adjA) = |A| I = I
इसलिए, विकल्प (d) सही है।
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 3:
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right]\) है, तो A-1 के सभी अवयवों का योग _______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 3 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
विकर्ण आव्यूह का व्युत्क्रम मूल विकर्ण तत्वों के व्युत्क्रम वाला विकर्ण आव्यूह होता है।
गणना:
दिया गया है:
A = \(\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\)
⇒ A⁻¹ = \(\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}\)
A⁻¹ के सभी अवयवों का योग = \(\frac{1}{2} + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + \frac{1}{3}\)
= \(\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{3} = \frac{3+6+2}{6} = \frac{11}{6}\)
अतः विकल्प 4 सही है।
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 4:
यदि \(A=\left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\ 1 & -4\end{array}\right]\) और \(B=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right]\) है, तो B-1 A-1 किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
चरण 1: आव्यूह A का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए
दिया गया आव्यूह A है:
\(A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix} \)
2x2 आव्यूह \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) का व्युत्क्रम निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
\(A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \)
आव्यूह A के लिए:
a = 2, b = 3, c = 1, d = -4
det(A) = (2)(-4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11
इस प्रकार, आव्यूह A का व्युत्क्रम है:
\(A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \end{bmatrix} \)
चरण 2: आव्यूह B का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।
दिया गया आव्यूह B है:
\(B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \)
आव्यूह B का व्युत्क्रम A के समान सूत्र का उपयोग करके गणना किया जाता है। आव्यूह B के लिए:
a = 1, b = -2, c = -1, d = 3
सारणिक {det}(B) है:
det(B) = (1)(3) - (-2)(-1) = 3 - 2 = 1
इस प्रकार, आव्यूह B का व्युत्क्रम है:
\(B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)
चरण 3: \(B^{-1} A^{-1} \) की गणना कीजिए।
अब, हम \(B^{-1} A^{-1} : \) गुणनफल की गणना करते हैं।
\(B^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \end{bmatrix} \)
आव्यूह गुणनफल का प्रदर्शन:
\(B^{-1} A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \end{bmatrix}\)
गुणनफल आव्यूह के अवयव हैं:
पहली पंक्ति, पहला स्तंभ:
\((3)(\frac{4}{11}) + (2)(\frac{1}{11}) = \frac{12}{11} + \frac{2}{11} = \frac{14}{11} \)
पहली पंक्ति, दूसरा स्तंभ:
\((3)(\frac{3}{11}) + (2)(\frac{-2}{11}) = \frac{9}{11} - \frac{4}{11} = \frac{5}{11} \)
दूसरी पंक्ति, पहला स्तंभ:
\((1)(\frac{4}{11}) + (1)(\frac{1}{11}) = \frac{4}{11} + \frac{1}{11} = \frac{5}{11} \)
दूसरी पंक्ति, दूसरा स्तंभ:
\((1)(\frac{3}{11}) + (1)(\frac{-2}{11}) = \frac{3}{11} - \frac{2}{11} = \frac{1}{11} \)
इस प्रकार, आव्यूह \(B^{-1} A^{-1} \) है:
\(B^{-1} A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{14}{11} & \frac{5}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix} \)
चरण 4: विकल्पों से मिलान कीजिए।
आव्यूह \(B^{-1} A^{-1} \) विकल्प (3) से मेल खाता है:
\({\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 14 & 5 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}} \)
इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प (3) है।
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 5:
यदि A और B एक ही क्रम के दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तो adj (AB) किसके बराबर नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
- adj (A) = |A|A−1
- (AB)−1 = B−1A−1
गणना:
हमारे पास है, adj (A) = |A|A−1 और adj (B) = |B|B−1
∴ adj (AB) = |AB|(AB)−1
= |A||B|(AB)−1
= |A||B|(B−1A−1)
= (|B|B−1)(|A|A−1)
= (adj B)(adj A)
∴ adj (AB), |B||A|A–1B–1 के बराबर नहीं है।
सही उत्तर विकल्प 3 है।
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यदि \(\rm A^{-1}=\begin{bmatrix} 1& 2& 3\\ 2& 4& 3\\ 3& 1& 6\end{bmatrix}=\frac{adj(A)}{k}\) तो k = ?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:
- A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\)
- |A-1| = |A|-1 = \(\rm \frac{1}{|A|}\)
गणना:
\(\rm A^{-1}=\begin{bmatrix} 1& 2& 3\\ 2& 4& 3\\ 3& 1& 6\end{bmatrix}=\frac{adj(A)}{k}\) -----(1)
आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से,
A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\) -----(2)
समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
k = |A|
आव्यूह के व्युत्क्रम के सारणिक के गुणों का उपयोग करके हमारे पास है:
k = |A| = \(\rm \frac{1}{|A^{-1}|}\) -----(3)
हम जानते है,
A.A-1 = I
⇒ |A.A-1| = |I| = 1
⇒ |A| |A-1| = 1
⇒ |A| = 1/ |A-1| ....(4)
अब,
|A-1| = 1(24 - 3) + 2(9 - 12) + 3(2 - 12) = 21 - 6 - 30 = - 15.
|A-1| = -15
इसलिए, समीकरण (3) से
k = \(\rm - \frac1{15}\)
Mistake Pointsध्यान दें, हमारे पास A-1 आव्यूह है, A आव्यूह नहीं। तो k का मान ज्ञात करने के लिए, आपको संबंध |A| = 1/|A-1| का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है
अगर \(\rm A=\begin{bmatrix} x & 2 \\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\) और \(\rm A ^{-1}=\begin{bmatrix} {1\over8} & {-1\over 12} \\\ {-1\over 6}& {4\over 9} \end{bmatrix}\) तो x का मान ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 7 Detailed Solution
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A × A-1 = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है
|A| = \(\rm 1\over {|A^{-1}|}\)
गणना:
दिया हुआ: \(\rm A=\begin{bmatrix} x & 2 \\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\) और \(\rm A ^{-1}=\begin{bmatrix} {1\over8} & {-1\over 12} \\\ {-1\over 6}& {4\over 9} \end{bmatrix}\)
|A-1| = \(\rm {4\over 72} - {1\over 72} = {3\over 72} = {1\over 24}\)
|A| = \(\rm {1 \over {|A^{-1}|}}\) = 24
⇒ 3x - 8 = 24
∴ x = \(\rm 32\over 3\)
यदि A2 - 2A - I = 0 है, तो A का व्युत्क्रम _____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 8 Detailed Solution
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आव्यूह व्युत्क्रम के गुण:
यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तो व्युत्क्रम आव्यूह में निम्नलिखित गुण होने चाहिए:
- (AB) - 1 = B - 1 A - 1
- (A - 1) - 1 = A
- (AT) - 1 = (A - 1)T
- (KA -1 ) = किसी भी K ≠ 0 के लिए \(\rm \frac{1}{k}\;{A^{ - 1}}\)
- (An) - 1 = (A - 1)n
- AA - 1 = A - 1A = I
गणना:
दिया गया है: A2 - 2A - I = 0
⇒ A.A - 2A = I
A-1 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ AAA-1 - 2AA-1 = IA-1
⇒ AI - 2I = A-1 [∵ AA - 1 = A - 1A = I]
∴ A-1 = A - 2
A का व्युत्क्रम A - 2 है
यदि A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो A[adj(A)] =?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 9 Detailed Solution
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एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:
- A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\)
- |A-1| = |A|-1 = \(\rm \frac{1}{|A|}\)
गणना:
आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, \({{\rm{A}}^{ - 1}} = \frac{{{\rm{adj}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\left| {\rm{A}} \right|}}\)
दोनों पक्षों को A से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:
A(A-1) = \(\rm \frac{A[adj(A)]}{|A|}\)
⇒ |A| I = A[adj(A)]
लेकिन यह दिया जाता है कि A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, अर्थात |A| = 0
∴ A[adj(A)] = 0, या A[adj(A)] एक शून्य आव्यूह है।
अगर A एक 3×3 वर्ग आव्यूह है जैसे |A| = 4, तो |A × adj(A)| का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
सारणिक:
- दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह A और B के लिए हमारे पास: det(A × B) = det(A) × det(B) है, जिसे |A × B| = |A| × |B| के रूप में भी लिखा जा सकता है।
- |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।
गणना:
हम जानते हैं कि |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।
अब, |A × adj(A)| = |A × |A|n - 1| = |A|n
दिए गए आव्यूह A की कोटि n = 3 है और |A| = 4
∴ |A × adj(A)| = |A|n = 43 = 64
यदि \(\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{bmatrix}\) एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है तो λ का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
यदि आव्यूह A व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है तो | A | = 0 है।
यदि आव्यूह A गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो | A | ≠ 0 है।
गणना:
दिया गया है, A = \(\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{bmatrix}\) एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है।
चूँकि हम जानते हैं कि, यदि आव्यूह A गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो | A | = 0 है।
⇒ \(\begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{vmatrix}\) = 0
⇒ 1\(\rm (-8\lambda - 10)+3(2\lambda-20)+2(4+32)\) = 0
⇒ \(\rm -8\lambda - 10+6\lambda-60+72 = 0\)
⇒\(\rm -2\lambda +2 = 0\)
⇒\(\rm \lambda = 1\)
अतः यदि \(\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{bmatrix}\) एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है, तो λ का मान 1 है।
एक प्रतीप्य आव्यूह A के लिए यदि A(adj A) \(=\begin{bmatrix} 10 & 0 \\\ 0 & 10 \end{bmatrix}\) है, तो |A| क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
माना कि A एक प्रतीप्य आव्यूह है।
चूँकि हम जानते हैं, AA-1 = I
\( ⇒ {\rm{A}} × \left( {\frac{{{\rm{Adj\;A}}}}{{\det {\rm{A}}}}} \right) = {\rm{I}}\)
⇒ A (Adj A) = det A × I = |A|I
गणना:
दिया गया है: A(adj A) \(=\begin{bmatrix} 10 & 0 \\\ 0 & 10 \end{bmatrix}\)
⇒ A(adj A) \(= 10\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 10\rm I\)
चूँकि हम जानते हैं A (Adj A) = det A × I
∴ det A = |A| = 10
यदि \(\rm A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 5 & 1 & \rm x \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो x का मान किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
अव्युत्क्रमणीय आव्यूह:
- एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह वह आव्यूह है जिसका 'गुणनात्मक व्युत्क्रम' मौजूद नहीं है। अर्थात् A × A-1 ≠ I
- एक आव्यूह को अव्युत्क्रमणीय आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि इसकी सारणिक शून्य होती है। अर्थात् |A| = 0
गणना:
आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय होने के लिए इसकी सारणिक को शून्य होना चाहिए।
\(\rm |A|=\begin{vmatrix}1 & 0 & 2 \\ 5 & 1 & \rm x \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=0\)
⇒ 1(1 × 1 - 1 × x) + 0(1 × x - 1 × 5) + 2(5 × 1 - 1 × 1) = 0
⇒ 1 - x + 0 + 8 = 0
⇒ x = 9
यदि A कोटि 3 का एक तत्समक आव्यूह है, तो इसका/इसके प्रतिलोम (A-1)
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा
यदि A कोटि n का कोई आव्यूह है और इसका व्युत्क्रम मौजूद है तो हम लिख सकते हैं
AA-1 = A-1A = I, जहाँ I = कोटि n का तत्समक आव्यूह
गणना
दिया हुआ: A कोटि 3 का तत्समक आव्यूह है यानी A = I
दोनों पक्षों को A-1 से गुणा करके हमें प्राप्त होता है
⇒ AA-1 = IA-1
⇒ I = A-1 [∵ तत्समक आव्यूह द्वारा गुणा किया जाने वाला आव्यूह स्वयं आव्यूह है यानी AI = A]
⇒ A = A-1आव्यूह A = \(\begin{bmatrix}3 & 1 & 2 \\ 4&2 & 1\\ 2 & a & 1 \end{bmatrix}\) का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है तो 'a' का मान ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एक आव्यूह A पर विचार करें और मानें इसका व्युत्क्रम A-1 है
\(\rm {A^{ - 1}} = \frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right){\rm{\;}}}}{{{\rm{det\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}\)
यहाँ; adj (A) आव्यूह A का अभिसंयुक्त है और det (A) आव्यूह A का सारणिक है।
⇒ यदि det (A) ≠ 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद है।
⇒ यदि det (A) = 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।
गणना:
दिया गया है A = \(\begin{bmatrix}3 & 1 & 2 \\ 4&2 & 1\\ 2 & a & 1 \end{bmatrix}\)
A-1 मौजूद न होने के लिए |A| = 0
|A| = \(\begin{vmatrix}3 & 1 & 2 \\ 4&2 & 1\\ 2 & a & 1 \end{vmatrix}\) = 0
|A| = 3(2 - a) - 1(4 - 2) + 2(4a - 4)
|A| = 6 - 3a - 2 + 8a - 8
|A| = 5a - 4
|A| = 0
5a - 4 = 0
∴ a = \(\frac 4 5\)