Adjoint and Inverse of a Square Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Adjoint and Inverse of a Square Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है

⇒ \(adj(A) = \rm \begin{bmatrix}1&-1&0\\\ -2&3&-4\\\ -2&3&-3\end{bmatrix}\)

अब, A^-1 = \(\frac{1}{|A|} (Adj(A))\)

= \( \rm \begin{bmatrix}1&-1&0\\\ -2&3&-4\\\ -2&3&-3\end{bmatrix}\)

∴ विकल्प (a) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

\(\rm A=\begin{bmatrix}3&-3&4\\\ 2&-3&4\\\ 0&-1&1\end{bmatrix} \)

अब, |A| = 3(-3 + 4) -2(-3 + 4) + 0 = 3 - 2 = 1

A(adjA) = |A| I = I

इसलिए, विकल्प (d) सही है।

प्रयुक्त अवधारणा:

विकर्ण आव्यूह का व्युत्क्रम मूल विकर्ण तत्वों के व्युत्क्रम वाला विकर्ण आव्यूह होता है।

गणना:

दिया गया है:

A = \(\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\)

⇒ A⁻¹ = \(\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}\)

A⁻¹ के सभी अवयवों का योग = \(\frac{1}{2} + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + \frac{1}{3}\)

= \(\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{3} = \frac{3+6+2}{6} = \frac{11}{6}\)

अतः विकल्प 4 सही है। 

व्याख्या:

चरण 1: आव्यूह A का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए

दिया गया आव्यूह A है:

\(A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix} \)

2x2 आव्यूह \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) का व्युत्क्रम निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

\(A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \)

आव्यूह A के लिए:

a = 2, b = 3, c = 1, d = -4

det(A) = (2)(-4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11

इस प्रकार, आव्यूह A का व्युत्क्रम है:

\(A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \end{bmatrix} \)

चरण 2: आव्यूह B का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए। 

दिया गया आव्यूह B है:

\(B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \)

आव्यूह B का व्युत्क्रम A के समान सूत्र का उपयोग करके गणना किया जाता है। आव्यूह B के लिए:

a = 1, b = -2, c = -1, d = 3

सारणिक {det}(B) है:

det(B) = (1)(3) - (-2)(-1) = 3 - 2 = 1

इस प्रकार, आव्यूह B का व्युत्क्रम है:

\(B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)

चरण 3: \(B^{-1} A^{-1} \) की गणना कीजिए। 

अब, हम \(B^{-1} A^{-1} : \) गुणनफल की गणना करते हैं।

\(B^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \end{bmatrix} \)

आव्यूह गुणनफल का प्रदर्शन:

\(B^{-1} A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \end{bmatrix}\)

गुणनफल आव्यूह के अवयव हैं:

पहली पंक्ति, पहला स्तंभ:

\((3)(\frac{4}{11}) + (2)(\frac{1}{11}) = \frac{12}{11} + \frac{2}{11} = \frac{14}{11} \)

पहली पंक्ति, दूसरा स्तंभ:

\((3)(\frac{3}{11}) + (2)(\frac{-2}{11}) = \frac{9}{11} - \frac{4}{11} = \frac{5}{11} \)

दूसरी पंक्ति, पहला स्तंभ:

\((1)(\frac{4}{11}) + (1)(\frac{1}{11}) = \frac{4}{11} + \frac{1}{11} = \frac{5}{11} \)

दूसरी पंक्ति, दूसरा स्तंभ:

\((1)(\frac{3}{11}) + (1)(\frac{-2}{11}) = \frac{3}{11} - \frac{2}{11} = \frac{1}{11} \)

इस प्रकार, आव्यूह \(B^{-1} A^{-1} \) है:

\(B^{-1} A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{14}{11} & \frac{5}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix} \)

चरण 4: विकल्पों से मिलान कीजिए। 

आव्यूह \(B^{-1} A^{-1} \) विकल्प (3) से मेल खाता है:

\({\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 14 & 5 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}} \)

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प (3) है।

अवधारणा:

• adj (A) = |A|A−1 
• (AB)−1 = B−1A−1

गणना:

हमारे पास है, adj (A) = |A|A−1 और adj (B) = |B|B−1 

∴ adj (AB) = |AB|(AB)−1 

= |A||B|(AB)−1

= |A||B|(B−1A−1)

= (|B|B−1)(|A|A−1)

= (adj B)(adj A)

∴ adj (AB), |B||A|A–1B–1 के बराबर नहीं है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

• A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\)
• |A-1| = |A|-1 = \(\rm \frac{1}{|A|}\)

गणना:

\(\rm A^{-1}=\begin{bmatrix} 1& 2& 3\\ 2& 4& 3\\ 3& 1& 6\end{bmatrix}=\frac{adj(A)}{k}\)         -----(1)

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, 

A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\)              -----(2)

समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

k = |A|  

आव्यूह के व्युत्क्रम के सारणिक के गुणों का उपयोग करके हमारे पास है:

k = |A| = \(\rm \frac{1}{|A^{-1}|}\)         -----(3)

हम जानते है, 

A.A-1 = I

⇒ |A.A-1| = |I| = 1

⇒ |A| |A-1| = 1

⇒ |A| = 1/ |A-1|       ....(4)

अब,

|A-1| = 1(24 - 3) + 2(9 - 12) + 3(2 - 12) = 21 - 6 - 30 = - 15.

|A-1| = -15

इसलिए, समीकरण (3) से

k = \(\rm - \frac1{15}\)

Mistake Pointsध्यान दें, हमारे पास A-1 आव्यूह है, A आव्यूह नहीं। तो k का मान ज्ञात करने के लिए, आपको संबंध |A| = 1/|A-1| का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है

अवधारणा:

A × A-1 = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है

|A| = \(\rm 1\over {|A^{-1}|}\)

गणना:

दिया हुआ: \(\rm A=\begin{bmatrix} x & 2 \\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\) और \(\rm A ^{-1}=\begin{bmatrix} {1\over8} & {-1\over 12} \\\ {-1\over 6}& {4\over 9} \end{bmatrix}\)

|A^-1| = \(\rm {4\over 72} - {1\over 72} = {3\over 72} = {1\over 24}\)

|A| = \(\rm {1 \over {|A^{-1}|}}\) = 24

⇒ 3x - 8 = 24

∴ x = \(\rm 32\over 3\)

अवधारणा:

आव्यूह व्युत्क्रम के गुण:

यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तो व्युत्क्रम आव्यूह में निम्नलिखित गुण होने चाहिए:

• (AB) - 1 = B - 1 A - 1
• (A - 1) - 1 = A
• (AT) - 1 = (A - 1)T
• (KA -1 ) =  किसी भी K ≠ 0 के लिए \(\rm \frac{1}{k}\;{A^{ - 1}}\) 
• (An) - 1 = (A - 1)n
• AA - 1 = A - 1A = I

गणना:

दिया गया है: A2 - 2A - I = 0

⇒ A.A - 2A = I

A-1 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ AAA-1 - 2AA-1 = IA-1

⇒ AI - 2I = A-1             [∵ AA - 1 = A - 1A = I]

∴ A-1 = A - 2

A का व्युत्क्रम A - 2 है

अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

• A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\) 
• |A-1| = |A|-1 = \(\rm \frac{1}{|A|}\) 

गणना:

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, \({{\rm{A}}^{ - 1}} = \frac{{{\rm{adj}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\left| {\rm{A}} \right|}}\)

दोनों पक्षों को A से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:

A(A-1) = \(\rm \frac{A[adj(A)]}{|A|}\)

⇒ |A| I = A[adj(A)]

लेकिन यह दिया जाता है कि A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, अर्थात |A| = 0

∴ A[adj(A)] = 0, या A[adj(A)] एक शून्य आव्यूह है।

संकल्पना:

यदि आव्यूह A व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है तो | A | = 0 है। 

यदि आव्यूह A गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो | A | ≠ 0 है। 

गणना:

दिया गया है, A = \(\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{bmatrix}\) एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि आव्यूह A गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो | A | = 0 है। 

⇒ \(\begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{vmatrix}\) = 0

⇒ 1\(\rm (-8\lambda - 10)+3(2\lambda-20)+2(4+32)\) = 0

⇒ \(\rm -8\lambda - 10+6\lambda-60+72 = 0\)

⇒\(\rm -2\lambda +2 = 0\)

⇒\(\rm \lambda = 1\)

अतः यदि \(\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{bmatrix}\) एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है, तो λ का मान 1 है। 

अवधारणा:

सारणिक:

• दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह A और B के लिए हमारे पास: det(A × B) = det(A) × det(B) है, जिसे |A × B| = |A| × |B| के रूप में भी लिखा जा सकता है। 
• |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।

गणना:

हम जानते हैं कि |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।

अब, |A × adj(A)| = |A × |A|n - 1| = |A|n

दिए गए आव्यूह A की कोटि n = 3 है और |A| = 4

∴ |A × adj(A)| = |A|n = 43 = 64

संकल्पना:

माना कि A एक प्रतीप्य आव्यूह है। 

चूँकि हम जानते हैं, AA^-1 = I

\( ⇒ {\rm{A}} × \left( {\frac{{{\rm{Adj\;A}}}}{{\det {\rm{A}}}}} \right) = {\rm{I}}\)

⇒ A (Adj A) = det A × I = |A|I

गणना:

दिया गया है: A(adj A) \(=\begin{bmatrix} 10 & 0 \\\ 0 & 10 \end{bmatrix}\)

⇒ A(adj A) \(= 10\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 10\rm I\)

चूँकि हम जानते हैं A (Adj A) = det A × I

∴ det A = |A| = 10

संकल्पना:

अव्युत्क्रमणीय आव्यूह:

• एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह वह आव्यूह है जिसका 'गुणनात्मक व्युत्क्रम' मौजूद नहीं है। अर्थात् A × A^-1 ≠ I
• एक आव्यूह को अव्युत्क्रमणीय आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि इसकी सारणिक शून्य होती है। अर्थात् |A| = 0

​

गणना:

आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय होने के लिए इसकी सारणिक को शून्य होना चाहिए। 

\(\rm |A|=\begin{vmatrix}1 & 0 & 2 \\ 5 & 1 & \rm x \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=0\)

⇒ 1(1 × 1 - 1 × x) + 0(1 × x - 1 × 5) + 2(5 × 1 - 1 × 1) = 0

⇒ 1 - x + 0 + 8 = 0

⇒ x = 9

संकल्पना:

एक आव्यूह A पर विचार करें और मानें इसका व्युत्क्रम A^-1 है

\(\rm {A^{ - 1}} = \frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right){\rm{\;}}}}{{{\rm{det\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}\)

यहाँ; adj (A) आव्यूह A का अभिसंयुक्त है और det (A) आव्यूह A का सारणिक है।

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद है।

⇒ यदि det (A) = 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।

गणना:

दिया गया है A = \(\begin{bmatrix}3 & 1 & 2 \\ 4&2 & 1\\ 2 & a & 1 \end{bmatrix}\)

A-1 मौजूद न होने के लिए |A| = 0

|A| = \(\begin{vmatrix}3 & 1 & 2 \\ 4&2 & 1\\ 2 & a & 1 \end{vmatrix}\) = 0

|A| = 3(2 - a) - 1(4 - 2) + 2(4a - 4)

|A| = 6 - 3a - 2 + 8a - 8

|A| = 5a - 4

|A| = 0

5a - 4 = 0

∴ a = \(\frac 4 5\)

धारणा

यदि A कोटि n का कोई आव्यूह है और इसका व्युत्क्रम मौजूद है तो हम लिख सकते हैं

AA^-1 = A^-1A = I, जहाँ I = कोटि n का तत्समक आव्यूह

गणना

दिया हुआ: A कोटि 3 का तत्समक आव्यूह है यानी A = I

दोनों पक्षों को A^-1 से गुणा करके हमें प्राप्त होता है

⇒ AA^-1 = IA^-1

⇒ I = A^-1 [∵ तत्समक आव्यूह द्वारा गुणा किया जाने वाला आव्यूह स्वयं आव्यूह  है यानी AI = A]