Types of Matrices MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Types of Matrices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है, AB = O

माना कि A = \(\left[\begin{array}{lll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\)

B = \(\left[\begin{array}{lll} p & q \\ r & s \end{array}\right]\)

अब AB = \(\left[\begin{array}{lll} a & b \\ c & d \end{array}\right] \left[\begin{array}{lll} p & q \\ r & s \end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}{lll} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\)

दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ ap + br = 0...(1)

⇒ aq + bs = 0...(2)

⇒ cp + dr = 0...(3)

⇒ cq + ds = 0...(4)

समीकरणों (i) और (iii) से, हमें प्राप्त होता है:

⇒ (ad - bc)p = 0 और (ad - bc)r = 0

समीकरणों (ii) और (iv) से, हमें प्राप्त होता है:

⇒ (ad - bc) q = 0 और (ad - bc)s = 0

अब, यदि A व्युत्क्रमणीय है। 

ad - bc ≠ 0

इसलिए, p = q = r = s = 0

तब, B शून्य आव्यूह है।

∴ विकल्प (c) सही है।

अवधारणा -

(i) एक विकर्ण आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जहां मुख्य विकर्ण के बाहर के सभी अवयव शून्य हैं। मुख्य विकर्ण अवयवों का समुच्चय है जहां पंक्ति सूचकांक स्तंभ सूचकांक के बराबर है।

दूसरे शब्दों में, एक विकर्ण आव्यूह एक ऐसा आव्यूह है जिसमें विकर्ण के बाहर के सभी अवयव शून्य होते हैं।

(ii) इकाई आव्यूह \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \) है 

व्याख्या 

हमारे पास 3 x 3 विकर्ण आव्यूह है:

\(\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \)

इस आव्यूह में, मुख्य विकर्ण से बाहर के सभी अवयव (अर्थात, गैर-विकर्ण आव्यूह) शून्य हैं। और विकर्ण आव्यूह शून्य नहीं होते हैं।

अतः विकल्प (4) सत्य है।

दिया गया है:

समान कोटि के दो आव्यूह A और B दिए गए हैं।

प्रयुक्त अवधारणा:

A' = A है, तो A एक सममित आव्यूह होगा,

A' = - A है, तो A एक विषम-सममित आव्यूह होगा।

हल:

हमारे पास है, 

(AB' - BA'), यदि हम (AB' - BA')' की गणना करते हैं।

⇒ (AB' - BA')' = (AB')' - (BA')'

⇒ (AB' - BA')' = (B')' A' - (A')' B'  {(AB)' = B'A'}

⇒ (AB' - BA')" = B A' - A B'    {(A')' = A}

⇒ (AB' - BA')' = - (AB' - BA')

अतः (AB' - BA') विषम-सममित आव्यूह है।

\(\therefore\) विकल्प 5 सही है।

अवधारणा:

पहचान आव्यूह के गुण:

यदि A, n × n कोटि का वर्ग आव्यूह है

• AI = IA = A
• In = I        (जहाँ n ∈ N)

गणना:

दिया हुआ है कि

A2 = I

अब, A3 + (A + I)2 - 9A - I2 - A2

= A2. A + A2 + I2 + 2AI - 9A - I2 - A2

= I. A + I + I + 2AI - 9A - I - I       [∵ A2 = I और AI = IA = A]

= AI + 2AI - 9A 

= 3AI - 9A

= 3A - 9A

= - 6A

संकल्पना:

• प्रारंभिक आव्यूह: एक प्रारंभिक आव्यूह वह आव्यूह होता है जो एकल प्रारंभिक पंक्ति संचालन द्वारा तत्समक आव्यूह से अलग होती है। 
• एक प्रारंभिक आव्यूह में प्रत्येक विकर्ण तत्व 1 होता है। 

गणना:

विकल्प b की जाँच करने पर,

माना कि E = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\)

R₁ → R₁ – 5R₂ को लागू करने पर 

\( \Rightarrow {\rm{E\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right] = \;{{\rm{I}}_{3{\rm{\;}} \times 3}}\)

हम देख सकते हैं कि विकल्प B को एक प्रारंभिक संचालन द्वारा तत्समक आव्यूह में परिवर्तित किया गया है। 

अतः विकल्प B सही है। 

लघु विधि:

हम जानते हैं कि प्रारंभिक आव्यूह में प्रत्येक विकर्ण तत्व 1 है। 

केवल B में विकर्ण तत्व 1 है। (परिभाषा से)

अतः विकल्प B सही है। 

अवधारणा:

एक वर्ग आव्यूह A = [aij]n × n को सममित कहा जाता है यदि  AT = A

A T (परिवर्त) पंक्तियों को स्तम्भ और स्तम्भ को पंक्तियों में बदलकर प्राप्त किया जाता है

गणना:

माना A = \(\rm \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

 AT = \(\rm \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)   = A

A एक सममित आव्यूह है

अवधारणा:

तत्समक आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जिसके विकर्ण के सभी अवयव 1 होते हैं तथा शेष अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं, तत्समक आव्यूह   कहलाता है। 

इस प्रकार, वर्ग आव्यूह  A = [\(a_{ij}\)], यदि \(a_{ij}=\left\{\begin{matrix}1,if \hspace{3mm} i= j \\ 0,if \hspace{3mm} i\neq j \end{matrix}\right.\)

उ.दा., \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, In = Iij]nneeeIⁿ_{\(I^n = I\)}

गणना:

यहाँ,  A² =I

साथ ही A और i क्रमविनिमेय हैं, इसलिए हम (a+ b)n के प्रसार का उपयोग करके (A + I)n का प्रसार कर सकते हैं।

∴ (A – I)3 + (A + I)3 – 7A

= A³ - 3A² + 3A - I³ + A³ + 3A² + 3A + I² - 7A

= 2A³ + 6A - 7A

= 2A² ⋅A + 6A - 7A

= 2I ⋅A + 6A - 7A

= 2A + 6A - 7A

= 8A - 7A

= A

संकल्पना:

सममित आव्यूह:

किसी वास्तविक वर्ग आव्यूह A = (aij) को सममित आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि aij = aji, ∀ i और j होता है या अन्य शब्दों में हम कह सकते हैं कि यदि A एक वास्तविक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है जिससे A = At है, तो A को सममित आव्यूह कहा जाता है। 

विषम-सममित आव्यूह:

कोई वास्तविक वर्ग आव्यूह A = (aij) को विषम-सममित आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि aij = - aji, ∀ i और j होता है या अन्य शब्दों में हम कह सकते हैं कि A एक वास्तविक वर्ग आव्यूह इस प्रकार होता है जिससे A = - At होता है, तो A को विषम-सममित आव्यूह कहा जाता है।

आव्यूह के परावर्त के गुण :

• यदि A कोटि m × n का आव्यूह है तो (At)t = A
• यदि k ∈ R एक अदिश है और A कोटि m × n का एक आव्यूह है तो (k × A)t = k × At
• यदि A और B एक ही कोटि m × n के आव्यूह हैं तो (A ± B)t = At ± Bt और (AB)t = Bt × At।

गणना :

दिया गया: A विषम सममित आव्यूह है

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A विषम सममित आव्यूह है तो A = - At

⇒ (A2)t = (At)2

∵ A विषम सममित आव्यूह है

⇒ (A2)t = (- A)2 = A2

तो, A² एक सममित आव्यूह है।

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

संकल्पना:

1. सममित आव्यूह: वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है यदि आव्यूह A का परिवर्त स्वयं आव्यूह A के बराबर है ⇔ A^T = A या A’ = A

2. विषमतलीय- सममित या प्रतिसममित: वर्गाकार आव्यूह A को विषमतलीय- सममित कहा जाता है यदि आव्यूह A का परिवर्त आव्यूह A के ऋणात्मक के बराबर होता है ⇔ A^T = −A

3. हर्मिटी आव्यूह: हर्मिटी आव्यूह एक सम्मिश्र वर्गाकार आव्यूह है जो इसके स्वयं के संयुग्म परिवर्त के बराबर है। ⇔ \({{\bf{A}}^{\bf{T}}} = \;{\bf{\bar A}}\)

4. विषमतलीय- हर्मिटी: \({{\bf{A}}^{\bf{T}}} = - {\bf{\bar A}}\)

5. माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है। 

• z का संयुग्म =  = x – iy

गणना:

माना कि A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 4 + i}\\ {4 + i}&0 \end{array}} \right]\)

अब, आव्यूह A का परिवर्त

 A^T = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{4 + i}\\ { - 4 + i}&0 \end{array}} \right]\)

⇒ A^T ≠ A

∴ दिया गया आव्यूह सममित नहीं है। 

A^T = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{4 + i}\\ { - 4 + i}&0 \end{array}} \right] \ne - {\rm{A}}\)

∴ दिया गया आव्यूह विषमतलीय- सममित नहीं है। 

अब, आव्यूह A का संयुग्म 

\({\rm{\bar A}} = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\overline { - 4 + i} }\\ {\overline {4 + i} }&0 \end{array}} \right] = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 4 - i}\\ {4 - i}&0 \end{array}} \right] = \; - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{4 + i}\\ { - \;4 + i}&0 \end{array}} \right]\)
 

\( \Rightarrow {\rm{\bar A}} = - \;{{\rm{A}}^{\rm{T}}}\)

∴ दिया गया आव्यूह विषमतलीय- हर्मिटी आव्यूह है। 

संकल्पना:

माना कि एक आव्यूह A विषम-सममित आव्यूह है, तो A^T = −A
और A सममित आव्यूह है, तो A^T = A है। 

गणना:

चूँकि, A विषम-सममित है। 
A^T = −A
चूँकि, A सममित है। 
A^T = A
⇒ −A = A
⇒2A = O
⇒A = O

इसलिए, A एक शून्य आव्यूह है। 

अतः विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना:

अव्युत्क्रमणीय आव्यूह: कोटि n के किसी भी वर्ग आव्यूह को अव्युत्क्रमणीय कहा जाता है यदि |A| = 0।

अनैच्छिक आव्यूह: कोटि n के किसी भी वर्ग आव्यूह को अनैच्छिक आव्यूह कहा जाता है यदि A² = I, जहां I कोटि n का तत्समक आव्यूह है।

शून्यंभावी आव्यूह: कोटि n के किसी भी वर्ग आव्यूह को शून्यंभावी आव्यूह कहा जाता है अगर वहां न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक m मौजूद हो जैसे कि Am = O, जहां O कोटि n का शून्य आव्यूह है।

वर्गसम ​आव्यूह: कोटि n के किसी भी वर्ग आव्यूह को वर्गसम कहा जाता है यदि A2 = A।

गणना:

दिया हुआ: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right],\)

\(\Rightarrow \;{A^2} = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right] \times \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right] \\= \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = I\)

अवधारणा:

• सममित आव्यूहों के लिए, A = A' और B = B'
• विषम-सममित आव्यूहों के लिए, A = - A'
• (A ± B)' = A' ± B'
• (AB)' = B'A'

गणना:

दिया हुआ: A और B सममित आव्यूह हैं

जैसा कि हम जानते हैं कि सममित आव्यूहों के लिए हमारे पास A = A' और B = B' है

(AB - BA)' = (AB)' - (BA)' --------(∵ (A ± B)' = A' ± B')

⇒ (AB - BA)' = B'A' - A'B' --------(∵ (AB)' = B'A')

⇒ (AB - BA)' = BA - AB ----------(∵ A = A' और B = B')

⇒ (AB - BA)' = - (AB - BA)

इसलिए विकल्प 3 सही है।

व्याख्या:

यहां हमें 4 प्रविष्टियां भरनी हैं इसका मतलब है कि हम 2 × 2 आव्यूह, 4 × 1 और 1 × 4 आव्यूह बना सकते हैं

2 × 2 आव्यूह में, चार स्थान होते हैं

और प्रत्येक स्थान पर (1, 2) को भरने के दो तरीके हैं 

तो, प्रविष्टियों को भरने के तरीकों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

4 × 1 आव्यूह में, चार स्थान होते हैं

और प्रत्येक स्थान पर (1, 2) को भरने के दो तरीके हैं 

तो, प्रविष्टियों को भरने के तरीकों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

इसी प्रकार 1 × 4 आव्यूह के मामले में कुल तरीकों की संख्या = 16.

∴ आव्यूहों की कुल संख्या 48 होगी।