माना कि X कोटि 3 x 3 का एक आव्यूह है, Y कोटि 2 x 3 का एक आव्यूह है और Z कोटि 3 x 2 का एक आव्यूह है। निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?

I. (ZY)X परिभाषित है और कोटि 3 का एक वर्ग आव्यूह है।

II. Y(XZ) परिभाषित है और कोटि 2 का एक वर्ग आव्यूह है।

III. X(YZ) परिभाषित नहीं है।

नीचे दिए गए कोड का उपयोग करके उत्तर चुनें।

अवधारणा:

आव्यूह गुणन:

• आव्यूह गुणन केवल तभी परिभाषित होता है जब पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो।
• दो आव्यूहों \( A_{m \times n} \) और \( B_{n \times p} \) के लिए, उनका गुणनफल \( AB \) एक आव्यूह \( C_{m \times p} \) में परिणाम देगा।
• सामान्य तौर पर, \( X \) और \( Y \) का गुणनफल तभी परिभाषित होता है जब \( X \) में स्तंभों की संख्या \( Y \) में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो।
   

गणना:

हमारे पास निम्नलिखित आव्यूह संक्रियाएँ हैं:

\( A_{m \times n} B_{n \times p} = (AB)_{m \times p} \)

अब, आव्यूह गुणन पर विचार करें:

\([Z_{3 \times 2} . Y_{2\times3}].X_{3 \times 3}] = [ZYX]_{3 \times 3}\)

\( Y_{2 \times 3} [X_{3 \times 3} Z_{3 \times 2}] = [YXZ]_{2 \times 2} \)

अंत में, हम देखते हैं कि:

\( X_{3 \times 3} [Y_{2 \times 3} Z_{3 \times 2}] = X_{3 \times 3} [YZ]_{2 \times 2} \)

निष्कर्ष:

\(\text{No. of columns in X} \neq \text{No. of rows in (YZ)}\)

इसलिए, X(YZ) परिभाषित नहीं है।

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।