यदि \(A = \begin{bmatrix} 2 \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ -2\cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix},\) है तो A(adj A) किसके बराबर है?

जहाँ I तत्समक आव्यूह है।

संकल्पना:

सारणिक \(\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\)का प्रसार

Δ = a11 a22 a33 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a31 a22  द्वारा दिया गया है।

A(adj A) = ∣ A ∣ I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है।

गणना:

दिया है:

 \(A = \begin{bmatrix} 2 \sin θ & \cos θ & 0 \\ -2\cos θ & \sin θ & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \)  और I तत्समक आव्यूह है।

⇒ \(\mid A\mid = \begin{vmatrix} 2 \sin θ & \cos θ & 0 \\ -2\cos θ & \sin θ & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\)

C₃ को लेकर प्रसार करने पर, हमें प्राप्त होता है,

⇒ ∣ A ∣ =  1{(2 sinθ ×  sinθ) + 2 cos²θ}

⇒ ∣ A ∣ =  1(2 sin²θ + 2 cos2θ)

⇒ ∣ A ∣ =  2(sin2θ + cos2θ)

⇒ ∣ A ∣ =  2          [∵ sin2θ + cos2θ = 1]

⇒ A(adj A) = ∣ A ∣ I

∣ A ∣ = 2 का मान रखने पर,

⇒ A(adj A) =  2I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है।

∴ A(adj A) =  2I