Geometric Progression MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Geometric Progression - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

Shortcut Trick
ശ്രേണി ഇതാണ്: √3 + 3 + 3√3 + 9 + 9√3 + ..........:

അടുത്ത പദം = √3 × മുമ്പത്തെ പദം എന്ന രീതിയിൽ ശ്രേണി ഒരു ക്രമം പിന്തുടരുന്നു.

അഞ്ചാമത്തെ പദം  = 9√3

ആറാം പദം = 9√3 × √3 = 9 × 3 = 27.

∴ ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ 1 ആണ്.

Alternate Method 

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ശ്രേണി ഇതാണ്: √3 + 3 + 3√3 + 9 + 9√3 + ..........:

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം :

ശ്രേണിയുടെ തരം തിരിച്ചറിയാൻ (സമാന്തര ശ്രേണി അല്ലെങ്കിൽ ഗുണോത്തര ശ്രേണി ),

ഒരു ഗുണോത്തര ശ്രേണിക്ക്  (GP), n- ാം പദം (a_n) നൽകുന്നത്: a _n = a × r ^n-1

ഇവിടെ a എന്നത് ആദ്യത്തെ പദമാണ്, r എന്നത് പൊതു അനുപാതമാണ്, n എന്നത് പദ സംഖ്യയുമാണ്.

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

അനുപാതം (r) = \(\frac{3}{√{3}} = \frac{3√{3}}{√{3}√{3}} = \frac{3√{3}}{3} = √{3}\)

അനുപാതം (r) = \(\frac{3√{3}}{3} = √{3}\)

അനുപാതം (r) = \(\frac{9}{3√{3}} = \frac{9√{3}}{3√{3}√{3}} = \frac{9√{3}}{9} = √{3}\)

പൊതു അനുപാതം (r) \(√{3}\) ആണ്, അതിനാൽ ശ്രേണി ഒരു ഗുണോത്തര ശ്രേണിയാണ്.

ആദ്യ പദം (a) = \(√{3}\)

നമ്മൾ ആറാമത്തെ പദം (n = 6) കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരു GP യുടെ ഒമ്പതാമത്തെ പദത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം  ഉപയോഗിച്ച്:

a ₆ = a × r ^6-1

a ₆ = \(√{3} × (√{3})^{5}\)

a ₆ = \(√{3} × (√{3} × √{3} × √{3} × √{3} × √{3})\)

a ₆ = \(√{3} × (3 × 3 × √{3})\)

a ₆ = \(√{3} × 9√{3}\)

a ₆ = 9 × ( \(√{3} × √{3}\) )

a6 = 9 × 3

a6 = 27

ശ്രേണിയിലെ ആറാമത്തെ പദം 27 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഗുണോത്തര ശ്രേണിയിലുള്ള അഞ്ച് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം= 32

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

ഗുണോത്തര ശ്രേണിയിലുള്ള അഞ്ച് സംഖ്യകൾ ar ² , ar, a, a/r, a/r ² എന്നിവയായിരിക്കട്ടെ.

⇒ ar2  × ar ×  a ×  a/r ×  a/r2 = 32

⇒ a5 = 32

⇒ a5 = 25 

കൃതികൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ പാദങ്ങളെ  തുല്യമാക്കുന്നു

a = 2

a എന്നത് ഗുണോത്തര ശ്രേണിയുടെ മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യയാണ്.

∴ മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ 2 ആണ്

നൽകിയത്:

ഒരു GP യുടെ ആദ്യത്തെ 8 പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 6560 ആണ്.

പൊതു അനുപാതം 3 ആണ്

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

an = a × r(n - 1)

\(Sum = a{\rm{\;}} \times {\rm{\;}}\frac{{{r^n} - 1}}{{r - 1}} = a{\rm{}} \times {\rm{}}\frac{{1 - {r^n}}}{{1 - r}}\)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

n = 8, r = 3, S ₈ = 6560

ഇപ്പോൾ S8 = a × [(38 - 1)/(3 - 1)]

⇒ a × [(38 - 1)/(3 - 1) ] = 6560

⇒ a = 2

ഇനി, രണ്ടാമത്തെ പദം = a × r = 2 × 3 = 6.

അതിനാൽ ശരിയായ ഉത്തരം 6 ആണ്.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം 

Tn = ar(n-1)

Sn = a(rn – 1) /(r – 1)

ഇവിടെ, a = ആദ്യ പദം, r = പൊതു അനുപാതം, n = പദങ്ങളുടെ എണ്ണം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

⇒ T7 = ar(7-1) = ar6     ---- (1)

⇒ T1 = ar(1-1) = a      ----(2)

∴ ar6/a = 64

⇒ r6 = 64

⇒ r = 2

T6 = a(r) (6-1)

⇒ ar5 = 1

⇒ a(2) 5 = 1

⇒ 32a = 1

⇒ a = 1/32

∴ GP 1/32, 1/16, 1/8, 1 ----- ആയിരിക്കും

ആദ്യത്തെ ആറ് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക

S6 = (1/32) × [(2) (6) – 1]/(2 – 1)

⇒ S6 = 1/32 × (26 – 1)

∴ S6 = 63/32

സൂത്രവാക്യം:

a, b എന്നിവയുടെ GM = √ab

നൽകിയത്:

a = 9, b = 81, x = ഗുണോത്തരമാധ്യം

കണക്കുകൂട്ടൽ:

x = √729

⇒ x = 27

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

S∞ = 10 × ആദ്യ പദം 

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം :

അനന്തപദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക = a/(1 – r)

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

ആദ്യത്തെ പദം a ഉം പൊതു അനുപാതം r ഉം ആണെന്ന് കരുതുക.

⇒ a/( 1 – r) = 10a

⇒ 1 = 10(1 – r)

⇒ 10r = 9

⇒ r = 9/10

⇒ r = 0.9

ചോദ്യം അനുസരിച്ച്

അഞ്ചാമത്തെ പദം ar⁴ ആയിരിക്കും, ഇത് 1.4641 ന് തുല്യമാണ്.

⇒ a × (0.9)4 = 1.4641

⇒ a = 1.4641/0.6561

∴ a = 2.2

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഗുണോത്തര ശ്രേണിയിലുള്ള അഞ്ച് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം= 32

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

ഗുണോത്തര ശ്രേണിയിലുള്ള അഞ്ച് സംഖ്യകൾ ar ² , ar, a, a/r, a/r ² എന്നിവയായിരിക്കട്ടെ.

⇒ ar2  × ar ×  a ×  a/r ×  a/r2 = 32

⇒ a5 = 32

⇒ a5 = 25 

കൃതികൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ പാദങ്ങളെ  തുല്യമാക്കുന്നു

a = 2

a എന്നത് ഗുണോത്തര ശ്രേണിയുടെ മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യയാണ്.

∴ മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ 2 ആണ്

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം 

Tn = ar(n-1)

Sn = a(rn – 1) /(r – 1)

ഇവിടെ, a = ആദ്യ പദം, r = പൊതു അനുപാതം, n = പദങ്ങളുടെ എണ്ണം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

⇒ T7 = ar(7-1) = ar6     ---- (1)

⇒ T1 = ar(1-1) = a      ----(2)

∴ ar6/a = 64

⇒ r6 = 64

⇒ r = 2

T6 = a(r) (6-1)

⇒ ar5 = 1

⇒ a(2) 5 = 1

⇒ 32a = 1

⇒ a = 1/32

∴ GP 1/32, 1/16, 1/8, 1 ----- ആയിരിക്കും

ആദ്യത്തെ ആറ് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക

S6 = (1/32) × [(2) (6) – 1]/(2 – 1)

⇒ S6 = 1/32 × (26 – 1)

∴ S6 = 63/32

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

S4 : S8 = 1 : 17

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം :

Sn = a(rn – 1) /(r – 1)

ഇവിടെ, a = ആദ്യ പദം , r = പൊതു അനുപാതം, n = പദങ്ങളുടെ എണ്ണം 

S4 = a(r4 – 1) /(r – 1)     ---- (1)

S8 = a(r8 – 1) /(r – 1)     ---- (2)

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

S4: S8 = (r4 – 1) : (r8 – 1)

⇒ (r4 – 1)/(r8 – 1) = 1/17

⇒ (r4 – 1)/[ (r4 + 1) (r4 – 1) ] = 1/17

⇒ 1/(r4 + 1) = 1/17

⇒ (r4 + 1) = 17

⇒ r4 = 16

∴ r = 2

നൽകിയത്:

ഒരു GP യുടെ ആദ്യത്തെ 8 പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 6560 ആണ്.

പൊതു അനുപാതം 3 ആണ്

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

an = a × r(n - 1)

\(Sum = a{\rm{\;}} \times {\rm{\;}}\frac{{{r^n} - 1}}{{r - 1}} = a{\rm{}} \times {\rm{}}\frac{{1 - {r^n}}}{{1 - r}}\)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

n = 8, r = 3, S ₈ = 6560

ഇപ്പോൾ S8 = a × [(38 - 1)/(3 - 1)]

⇒ a × [(38 - 1)/(3 - 1) ] = 6560

⇒ a = 2

ഇനി, രണ്ടാമത്തെ പദം = a × r = 2 × 3 = 6.

അതിനാൽ ശരിയായ ഉത്തരം 6 ആണ്.

സൂത്രവാക്യം:

a, b എന്നിവയുടെ GM = √ab

നൽകിയത്:

a = 9, b = 81, x = ഗുണോത്തരമാധ്യം

കണക്കുകൂട്ടൽ:

x = √729

⇒ x = 27

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

S∞ = 10 × ആദ്യ പദം 

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം :

അനന്തപദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക = a/(1 – r)

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

ആദ്യത്തെ പദം a ഉം പൊതു അനുപാതം r ഉം ആണെന്ന് കരുതുക.

⇒ a/( 1 – r) = 10a

⇒ 1 = 10(1 – r)

⇒ 10r = 9

⇒ r = 9/10

⇒ r = 0.9

ചോദ്യം അനുസരിച്ച്

അഞ്ചാമത്തെ പദം ar⁴ ആയിരിക്കും, ഇത് 1.4641 ന് തുല്യമാണ്.

⇒ a × (0.9)4 = 1.4641

⇒ a = 1.4641/0.6561

∴ a = 2.2

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഗുണോത്തര ശ്രേണിയിലുള്ള അഞ്ച് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം= 32

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

ഗുണോത്തര ശ്രേണിയിലുള്ള അഞ്ച് സംഖ്യകൾ ar ² , ar, a, a/r, a/r ² എന്നിവയായിരിക്കട്ടെ.

⇒ ar2  × ar ×  a ×  a/r ×  a/r2 = 32

⇒ a5 = 32

⇒ a5 = 25 

കൃതികൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ പാദങ്ങളെ  തുല്യമാക്കുന്നു

a = 2

a എന്നത് ഗുണോത്തര ശ്രേണിയുടെ മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യയാണ്.

∴ മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ 2 ആണ്

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം 

Tn = ar(n-1)

Sn = a(rn – 1) /(r – 1)

ഇവിടെ, a = ആദ്യ പദം, r = പൊതു അനുപാതം, n = പദങ്ങളുടെ എണ്ണം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

⇒ T7 = ar(7-1) = ar6     ---- (1)

⇒ T1 = ar(1-1) = a      ----(2)

∴ ar6/a = 64

⇒ r6 = 64

⇒ r = 2

T6 = a(r) (6-1)

⇒ ar5 = 1

⇒ a(2) 5 = 1

⇒ 32a = 1

⇒ a = 1/32

∴ GP 1/32, 1/16, 1/8, 1 ----- ആയിരിക്കും

ആദ്യത്തെ ആറ് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക

S6 = (1/32) × [(2) (6) – 1]/(2 – 1)

⇒ S6 = 1/32 × (26 – 1)

∴ S6 = 63/32