గుణ శ్రేఢి MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Geometric Progression - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఉపయోగించిన భావన:

n పరిశీలనలను కలిగి ఉన్న శ్రేణి యొక్క రేఖాగణిత మీన్ (GM) విలువల ఉత్పత్తి యొక్క nవ మూలం.

\(\begin{array}{l}G. M = \sqrt[n]{x_{1}× x_{2}× …x_{n}}\end{array}\)

లెక్కింపు:

పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి -

⇒ 8 ⁵ = 32 × 4 × 8 × X × 2

⇒ X = \(\frac{8^{5}}{32\times 4\times 8\times 2}\) = 16

∴ సరైన సమాధానం 16

ఇచ్చినవి:

2 + 22 + 23 + 24 + ..... + 28 = ?

ఉపయోగించిన సూత్రం:

గుణ శ్రేఢి మొత్తం: {a x (r8 - 1)}/(r - 1)

ఇక్కడ,

a = మొదటి పదం, r = సామాన్య నిష్పత్తి, n = పదాల సంఖ్య

గణన:

ఇక్కడ, a = 2, r = 2, మరియు n = 8

S = 2 x {(28 - 1)}/(2 - 1)}

⇒ S = 2 x (256 - 1) / (2 - 1)

⇒ S = 2 x (255) / (1)

⇒ S = 2 x 255

⇒ S = 510

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (1).

ఉపయోగించిన భావన:

n పరిశీలనలను కలిగి ఉన్న శ్రేణి యొక్క రేఖాగణిత మీన్ (GM) విలువల ఉత్పత్తి యొక్క nవ మూలం.

\(\begin{array}{l}G. M = \sqrt[n]{x_{1}× x_{2}× …x_{n}}\end{array}\)

లెక్కింపు:

పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి -

⇒ 8 ⁵ = 32 × 4 × 8 × X × 2

⇒ X = \(\frac{8^{5}}{32\times 4\times 8\times 2}\) = 16

∴ సరైన సమాధానం 16

సాధారణ అక్షరాలతో, ar = 1 మరియు S = \(\frac{a}{1-r}\) కాబట్టి \(S=\frac{1}{r-r^2}=-\frac{1}{\left(r-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}\) .

హారం యొక్క గరిష్ట విలువ - \(\frac{1}{4}\) కాబట్టి S యొక్క కనిష్ట విలువ 4.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

టర్మ్ ల సంఖ్యను కనుగొనడానికి GP సూత్రం

an = a1(r)n - 1 

r = a2/a1

ఇక్కడ, a_n = nవ పదం

a₁ = మొదటి టర్మ్, a₂ = రెండవ టర్మ్, r = సమవ్యత్యాసము  

n = టర్మ్ ల్లల సంఖ్య

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, మన దగ్గర 4,20,100 .............62500 ఉన్నాయి

ఈ సంఖ్యలు GPలో ఉన్నాయి

ఇక్కడ, a1 = 4 , a2 = 20 , an = 62500

⇒ r (సమవ్యత్యాసం) = 20/4 = 5

⇒ an = a1(r)n-1

⇒ 62500 = 4(5)n-1 

⇒ 15625 = (5)n-1

⇒ 56 = 5n-1 

⇒ 6 = n -1 

⇒ n = 7 

కాబట్టి, రాశుల సంఖ్య 7.

ఇచ్చినది:

మొదటి పదం ‘a’ = 16 మరియు సాధారణ నిష్పత్తి ‘r’ = 2 తో అంక శ్రేడి.

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

ఈ రకమైన ప్రశ్నలో, ఇక్కడ ‘r’> 1, అప్పుడు G.P యొక్క n పదాల మొత్తం = Sn \( = \frac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}\)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

\({S_n} = \frac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}\)

n = 10

సాధన:

ఇచ్చిన సిరీస్‌ను పరిశీలిస్తే

16, 32, 64, 128, ......

\({S_{10}} = \frac{{16\left( {{2^{10}} - 1} \right)}}{{2 - 1}}\)

⇒ S10 = 16 × 1023 = 16368

ఇచ్చిన్బ్ది:

శ్రేణి 4, 12, 36, 108

ఉపయోగించిన భావన:

రేఖాగణిత పురోగతిలో

a _n = a ₁ {r ^{(n - 1)} }

ఇక్కడ,

a _n = nవ పదం

a ₁ = 1వ పదం

r = సాధారణ నిష్పత్తి

n = పదం సంఖ్య

గణన:

ఇచ్చిన ప్రశ్న ప్రకారం:

a ₁ = 4

a ₂ = 12

కాబట్టి,a1 : a2 = 4 : 12 యొక్క సాధారణ నిష్పత్తి

⇒ 1 : 3

కాబట్టి,

a ₆ = 4 × 3 ^{(6 - 1)}

⇒ a ₆ = 4 × 3 ⁵

⇒ a ₆ = 4 × 243

⇒ a ₆ = 972

కాబట్టి, శ్రేణి యొక్క 6 ^వ పదం = 972

∴ ఈ సిరీస్ యొక్క 6 ^వ పదం 972.

ఇచ్చిన:

(20 + 22 + 24 +........+28) × 3

వాడిన ఫార్ములా:

ఇది ఒక రేఖాగణిత పురోగతి.

a = మొదటి పదం, r = సాధారణ నిష్పత్తి

జ్యామితీయ పురోగమనం మొత్తం = [a(r ⁿ - 1)/(r - 1)]

లెక్కింపు:

a = 1

r = (22/20) = 4/1 = 4

⇒ శ్రేణి మొత్తం = [1 × (4⁵ - 1)/(4 - 1)] × 3

⇒ శ్రేణి మొత్తం = [1 × (210 - 1)/(3)] × 3

⇒ శ్రేణి మొత్తం = [1 × (1024 - 1)]

⇒ శ్రేణి మొత్తం = [1 × (1023)]

⇒ శ్రేణి మొత్తం = 1023

∴ సిరీస్ మొత్తం 1023.

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి

(20 + 22 + 24 +........+28) × 3

⇒ (1 + 4 + 16 + 64 + 256) × 3

⇒ 341 × 3 = 1023

∴ సిరీస్ మొత్తం 1023.

భావన:

రేఖాగణిత సగటు: సంఖ్యల సమితి యొక్క విలువల గుణకారాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా కేంద్ర ధోరణిని సూచించే విలువ.

ఫార్ములా: GM = (సమితిలోని అన్ని సంఖ్యల గుణకారం) ^{1 / n}

ఇక్కడ, సమితిలో n = మొత్తం సంఖ్యలు

ఉదాహరణ: 2, 3, 4, 5

GM = (2 × 3 × 4 × 5) ^1/4 = (120) ^1/4

లెక్కింపు:

భావన:

• ఉమ్మడి నిష్పత్తి = r = \(\frac{{{{\rm{a}}_2}}}{{{{\rm{a}}_1}}} = \frac{{{{\rm{a}}_3}}}{{{{\rm{a}}_2}}} = \ldots = \frac{{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{a}}_{{\rm{n}} - 1}}}}\)
• గుణశ్రేణి యొక్క nవ  పదం an = arn−1
• గుణశ్రేణి యొక్క n పదాల మొత్తం = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); where r >1
• గుణశ్రేణి యొక్క n పదాల మొత్తం = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {1 - {\rm{\;}}{{\rm{r}}^{\rm{n}}}} \right)}}{{1 - {\rm{\;r}}}}\); where r <1
• అంతులేని గుణశ్రేణి యొక్క మొత్తం = \({{\rm{s}}_\infty } = {\rm{\;}}\frac{{\rm{a}}}{{1{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{\rm{\;}}\) ; |r| < 1

గణన:

ఇచ్చిన శ్రేణి 5, 10, 20, ...

ఇక్కడ, a = 5, r = 2

n సంఖ్యల మొత్తం = sn = 1275

మనకు తెలుసు, గుణశ్రేణి యొక్క n పదాల మొత్తం  = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); ఇక్కడ r >1

sn = \(\frac{{{\rm{5\;}}\left( {{{\rm{2}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{2}} - {\rm{\;}}1}}\)

1275 = 5 × (2n - 1)

⇒ 255 = (2n - 1)

⇒ 2n = 256

⇒ 2n = 28

⇒ n = 8

కాబట్టి, సరైన సమాధానం 8.

సూత్రం:

a మరియు b యొక్క రేఖాగణిత సగటు = √ab

ఇవ్వబడినది:

a = 9, b = 81, x = రేఖాగణిత సగటు

లెక్కింపు:

x = √729

⇒ x = 27

ఇవ్వబడినది:

7, 7 2 , 7 3 , _________ 7ⁿ

ఉపయోగించిన భావన:

రెండు సంఖ్యలు a & b యొక్క గుణోత్తర మాధ్యము = √ab

గణన:

గుణోత్తర మాధ్యము = n√(a1.an)

⇒  n√(7, 72 , .....7n) యొక్క గుణోత్తర మాధ్యము

​⇒ n√7n(n + 1)/2

​⇒ (7n(n + 1)/2)1/n

​⇒ \(7^\frac{n +1}{2}\)

∴ కావలసిన సమాధానం \(7^\frac{n +1}{2}\)

ఇచ్చిన

రేఖాగణిత సగటు = 8

హార్మోనిక్ సగటు = 6.4

ఫార్ములా ఉపయోగించబడింది

రేఖాగణిత సగటు = √ab

హార్మోనిక్ సగటు = 2ab/(a + b)

లెక్కింపు

రెండు సంఖ్యలు x మరియు y గా ఉండనివ్వండి

√xy = 8

⇒ xy = 64 ---(i)

మనకు తెలిసింది, 2xy/(x + y) = 6.4

⇒ x + y = 20 ---(ii)

(i) మరియు (ii) నుండి

⇒ 64/y + y = 20

⇒ y² - 20y + 64 = 0

⇒ y = 4, -16

కాబట్టి, x = 16 మరియు y = 4

∴ అవసరమైన సమాధానం 4, 16

ఇవ్వబడినది:

\(\frac{5}{13} + \frac{55}{13^2} + \frac{555}{13^3} +\)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

అనంతమైన GP మొత్తం = a/(1 – r)

గణన:

S = \(\frac{5}{13} + \frac{55}{13^2} + \frac{555}{13^3} +\) .....(1)

ఇప్పుడు, రెండు వైపులా 1/13 ద్వారా గుణించగా,

⇒ 1/13s = 5/132 + 55/133 ....(2)

(1) నుండి (2) ని తీసివేయడం ద్వారా, 

⇒ s – 1/13s = [5/13 + 55/132 + 555/133 + ....] – [5/132 + 55/133 +....]

⇒ 12s/13 = 5/13 + [55/132 – 5/132] + (555/133 – 55/133) + .....

⇒ 12s/13 = 5/13 + 50/132 + 500/133 + ....

ఇక్కడ RHS అనంతమైన GP ఇందులో మొదటి పదం a = 5/13 మరియు సామాన్య నిష్పత్తి (r) = 10/13 

కాబట్టి,

⇒ 12s/13 = 5/13/(1 – 10/13)

⇒ 12s/13 = 5/13/(13 – 10)/13

⇒ 12s/13 = (5/13)/(3/13)

⇒ 12s/13 = (5/13 × 13/3)

⇒ 12s/13 = 5/3

⇒ s = (13 × 5)/(12 × 3)

⇒ s = 65/36

∴ అవసరమైన విలువ 65/36

ఇచ్చిన:

GPలోని 4 సంఖ్యల మొత్తం, మొదటి సంఖ్య 16 మరియు సాధారణ నిష్పత్తి 6.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

రూపం యొక్క పురోగతి a, ar, ar², ar³, ......... రేఖాగణిత పురోగతి అంటారు (ఇక్కడ, a అనేది మొదటి పదం మరియు r అనేది సాధారణ నిష్పత్తి)

GP యొక్క n నిబంధనల మొత్తం, Sn = \(\dfrac{a(r^n-1)}{(r-1)}\) , ఇక్కడ r > 1

లెక్కలు:

ఇప్పుడు, a = 16, r = 6, n = 4

Sn = \(\dfrac{16 × (6^4 - 1)}{(6 - 1)}\)

⇒ \(\dfrac{16 × (1296 - 1)}{(6 - 1)}\)

⇒ \(\dfrac{16 × 1296}{5}\) = 16 × 259 = 4144

Sn = 4144

∴ సమాధానం 4144