गुणोत्तर श्रेणी MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Geometric Progression - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

तीसरा पद पहले पद से 9 अधिक है।

दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक है।​

अवधारणा:

GP का nवाँ पद जिसका प्रथम पद और सार्व अनुपात 'a' और 'r' हैं, उसे  T_n = ar^n-1 के रूप में दिया गया है। 

गणना:

मान लीजिए कि a पहला पद है और r, गुणोत्तर श्रेढ़ी का सार्व अनुपात है।

a₁ = a, a₂ = ar, a₃ = ar², a₄ = ar³

प्रश्नानुसार,

a₃ = a₁ + 9

⇒ ar² = a + 9 ....(1)

अब, a₂ = a₄ + 8

⇒ ar = ar³ + 18 ....(2)

समीकरण (1) और (2) से,

⇒ a(r² - 1) = 9 ....(3)

⇒ ar(1 - r²) = 18 ...(4)

(4) और (3) को भाग देने पर हमें प्राप्त होगा,

⇒ \(\frac{ar(1-r^2)}{{a(r^2-1)}}\) = \(\frac{18}{{9}}\)

⇒ -r = 2

⇒ r = -2

r का मान समीकरण (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होगा,

⇒ 4a = a + 9

⇒ 3a = 9

⇒ a = 3

इसलिए, गुणोत्तर श्रेढ़ी का पहला पद a₁ = a = 3

∴ इसका अभीष्ट मान 3 है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

n प्रेक्षणों वाली श्रेणी का गुणोत्तर माध्य (G.M) मानों के गुणनफल का nवां मूल है।

\(\begin{array}{l}G. M = \sqrt[n]{x_{1}× x_{2}× …x_{n}}\end{array}\)

गणना:

उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करने पर-

⇒ 8⁵ = 32 × 4 × 8 × X × 2

⇒ X =  \(\frac{8^{5}}{32\times 4\times 8\times 2}\) = 16

∴ सही उत्तर 16 है।

दिया गया है:

दो धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों का गुणोत्तर माध्य 10 है।

प्रयुक्त सूत्र:

गुणोत्तर माध्य = √(a² x b²)

जहाँ a और b धनात्मक पूर्णांक हैं।

गणना:

√(a² x b²) = 10

⇒ (a² x b²) = 100

⇒ a x b = 10

योग (a + b) को न्यूनतम करने के लिए, 10 के गुणनखंड चुनें:

a = 2, b = 5

⇒ a + b = 2 + 5 = 7

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

गुणोत्तर श्रेणी (GP) का पाँचवाँ पद = 27

GP का आठवाँ पद = 729

प्रयुक्त सूत्र:

GP का सामान्य पद: T_n = a × r^n-1

जहाँ, a = प्रथम पद, r = सार्व अनुपात, n = पद संख्या

गणना:

पाँचवाँ पद: T₅ = a × r⁴ = 27

आठवाँ पद: T₈ = a × r⁷ = 729

दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:

⇒ (a × r⁷) / (a × r⁴) = 729 / 27

⇒ r³ = 27

⇒ r = 3

T₅ में r = 3 प्रतिस्थापित करने पर:

⇒ a × 3⁴ = 27

⇒ a × 81 = 27

⇒ a = 27 / 81 = 1/3

T₁₁ = (1/3) × 3¹⁰

⇒ T₁₁ = (1/3) × 59049

⇒ T₁₁ = 19683

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

एक गुणोत्तर श्रेणी (GP) के पहले 13 पदों का योग = उसी GP के पहले 11 पदों का योग

GP के पहले 15 पदों का योग = 1200

प्रयुक्त सूत्र:

एक GP के n पदों का योग: S_n = a(1 - rⁿ) / (1 - r)

21वाँ पद ज्ञात करने के लिए: T₂₁ = a × r²⁰

गणना:

⇒ S₁₃ = S₁₁

⇒ a(1 - r¹³) / (1 - r) = a(1 - r¹¹) / (1 - r)

⇒ 1 - r¹³ = 1 - r¹¹

⇒ r¹³ = r¹¹

⇒ r² = 1

⇒ r = ±1

⇒ r = -1 (चूँकि समान योग के लिए r = 1 मान्य नहीं है)

अब S₁₅ = 1200 का उपयोग करते हुए

⇒ a(1 - (-1)¹⁵) / (1 - (-1)) = 1200

⇒ a(1 + 1) / 2 = 1200

⇒ 2a / 2 = 1200

⇒ a = 1200

T₂₁ = a × r²⁰

⇒ T₂₁ = 1200 × (-1)²⁰

⇒ T₂₁ = 1200 × 1

⇒ T₂₁ = 1200

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

प्रयुक्त सूत्र:

गुणोत्तर श्रेढ़ी का योग (Sn) = {a × (rn - 1)}/(r - 1)

जहाँ, a = प्रथम पद; r = सार्व अनुपात; n = पदों की संख्या

गणना:

3 +32 + 33 +...+ 38

यहाँ, a = 3 ; r = 3 ; n = 8

श्रेढ़ी का योग (S8) = {a × (r8 - 1)}/(r - 1)

⇒ {3 × (38 - 1)}/(3 - 1)

⇒ (3 × 6560)/2 = 3280 × 3 

⇒ 9840

∴ सही उत्तर 9840 है।

दिया गया है:

पहला पद ‘a’ = 16 और सार्व अनुपात ‘r’ = 2 के साथ एक गुणोत्तर श्रेढ़ी।

उपयोग की गयी संकल्पना:

इस प्रकार के प्रश्न में, जहां ‘r’ > 1 है, तो गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग = S_n \( = \frac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}\)

उपयोग किया गया सूत्र:

\({S_n} = \frac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}\)

n = 10

गणना:

दी गया श्रृंखला पर विचार करने पर

16, 32, 64, 128, ......

\({S_{10}} = \frac{{16\left( {{2^{10}} - 1} \right)}}{{2 - 1}}\)

⇒ S₁₀ = 16 × 1023 = 16368

दिया गया है:

गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) का प्रथम पद = 15

गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) का सर्वानुपात = 4

प्रयुक्त सूत्र:

\(S_n=a_1\times \dfrac{(r^n-1)}{(r-1)}\)

गणना:

\(S_4=15\times \dfrac{(4^4-1)}{(4-1)}\) \(= \dfrac{15\times 255}{3} = 1275\)

∴ उत्तर 1275 है।

अवधारणा:

यदि a, ar, ar², ar³,....., ar^n-1 गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, तो गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवाँ पद निम्न द्वारा दिया जाता है। 

T_n = ar^n-1

दिया गया है:

प्रथम पद (a) = 125

सार्व अनुपात (r) = 2/5

पद (n) = 4वाँ 

गणना:

⇒ Tn = arn-1

⇒ T4 = 125 × (2/5)4-1

⇒ T4 = 125 × (2/5)3

⇒ T4 = 125 × (8/125)

⇒ T4 = 8

अतः गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) का चौथा पद '8' है।

दिया गया है:

शृंखला 4, 12, 36, 108 है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

गुणोत्तर श्रेढ़ी में

an = a1{r(n - 1)}

यहाँ,

an = nवाँ पद

a₁ = पहला पद

r = सार्व-अनुपात

n = पद की संख्या

गणना:

प्रश्न के अनुसार:

a1 = 4

a2 = 12

अतः,a1 : a2 का उभयनिष्ठ अनुपात = 4 : 12

⇒ 1 : 3

इसलिए,

a6 = 4 × 3(6 - 1)

⇒ a6 = 4 × 35

⇒ a6 = 4 × 243

⇒ a6 = 972

अत: शृंखला ​का छठा पद = 972

∴ इस शृंखला ​का छठा पद 972 है।

दिया गया है:

(1/2¹) + (1/2²) + (1/2³) + ……… + (1/2¹⁰) = 1/k

प्रयुक्त सूत्र:

गुणोत्तर श्रेणी का योग = a(1 – rⁿ)/(1 – r)

गणना:

(1/2¹) + (1/2²) + (1/2³) + ……… + (1/2¹⁰) = 1/k

उपरोक्त गुणोत्तर श्रेणी का बायां पक्ष और उभयनिष्ठ अनुपात = ½

∴ दी गई श्रृंखला का योग = [1(1 – rⁿ)/(1- r)]

⇒ ½ × [(1 – (½)¹⁰]/ (1-1/2)

⇒ ½ × [1 – 1/1024]/ (1/2)

⇒ 1023/1024 = 1/k

∴ k = 1024/1023

यह सही उत्तर है।

दिया गया है​:

(20 + 22 + 24 +........+28) × 3

प्रयुक्त सूत्र:

यह एक ज्यामितीय प्रगति है।

a = पहला पद, r = उभय-निष्ठ अनुपात

ज्यामितीय प्रगति का योग = [a(rⁿ - 1)/(r - 1)]

गणना:

a = 1

r = (22/20) = 4/1 = 4

⇒ श्रृंखला का योग = [1 × (4⁵ - 1)/(4 - 1)]  × 3

⇒ श्रृंखला का योग = [1 × (210 - 1)/(3)]  × 3

⇒ श्रृंखला का योग = [1 × (1024 - 1)]  

⇒ श्रृंखला का योग = [1 × (1023)]  

⇒ श्रृंखला का योग = 1023

∴ श्रृंखला का योग 1023 है।

Alternate Method

(20 + 22 + 24 +........+28) × 3

⇒ (1 + 4 + 16 + 64 + 256) × 3

⇒ 341 × 3 = 1023

∴ श्रृंखला का योग 1023 है।

अवधारणा: 

ज्यामितीय माध्य: वह मान जो संख्याओं के सम्मुच्य के मानों के गुणनफल का उपयोग करके केंद्रीय प्रवृत्ति को इंगित करता है।

सूत्र: GM = (सम्मुच्य में सभी संख्याओं का गुणनफल)1/n

जहां, n = सम्मुच्य में कुल संख्या

उदाहरण : 2, 3, 4, 5

GM = (2 × 3 × 4 × 5)1/4 = (120)1/4

गणना:

G = G1 × G2 × G3 ……………….. × Gr

अवधारणा:

• सार्व अनुपात = r = \(\frac{{{{\rm{a}}_2}}}{{{{\rm{a}}_1}}} = \frac{{{{\rm{a}}_3}}}{{{{\rm{a}}_2}}} = \ldots = \frac{{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{a}}_{{\rm{n}} - 1}}}}\)
• ज्यामितीय श्रेणी का nवां पद an = arn−1 है। 
• ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); जहाँ r >1
• ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {1 - {\rm{\;}}{{\rm{r}}^{\rm{n}}}} \right)}}{{1 - {\rm{\;r}}}}\); जहाँ r <1
• अनंत ज्यामितीय श्रेणी का योग = \({{\rm{s}}_\infty } = {\rm{\;}}\frac{{\rm{a}}}{{1{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{\rm{\;}}\) ; |r| < 1

गणना:

दी गई श्रृंखला 5, 10, 20, ... है।  

यहाँ, a = 5, r = 2

n संख्याओं का योग = sn = 1275

ज्ञात करना है: n, जैसे हम जानते हैं कि, ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); जहाँ r >1

∴ sn = \(\frac{{{\rm{5\;}}\left( {{{\rm{2}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{2}} - {\rm{\;}}1}}\)

1275 = 5 × (2n - 1)

⇒ 255 = (2n - 1)

⇒ 2n = 256

⇒ 2n = 28

∴ n = 8

सूत्र:

a और b का गुणोत्तरमाध्य = √ab

दिया हुआ:

a = 9, b = 81, x = गुणोत्तरमाध्य

गणना:

x = √729

⇒ x = 27