समांतर श्रेणी MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Arithmetic Progression - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

दो समांतर श्रेणियों का सार्व अंतर समान है। इनमें से एक श्रेणी का पहला पद -1 है और दूसरी श्रेणी का पहला पद -8 है।

अवधारणा:

किसी दी गयी समांतर श्रेणी, पहला पद 'a' है और सार्व अंतर 'd' है

a_n = a + (n - 1)d

हल:

प्रश्न के अनुसार दोनों समांतर श्रेणी (AP) का सार्व अंतर समान है,

मान लीजिए सार्व अंतर 'd' है।

प्रथम समांतर श्रेणी के लिए,

पहला पद -1 है और सार्व अंतर 'd' है

चौथा पद होगा,

m₄ = -1 + (4 - 1)d = -1 + 3d

द्वितीय समांतर श्रेणी के लिए,

पहला पद -8 है और सार्व अंतर 'd' है

चौथा पद होगा,

n4 = -8 + (4 - 1)d = -8 + 3d

चौथे पद के बीच का अंतर इस प्रकार है,

m₄ - n₄ = -1 + 3d - ( -8 + 3d )

m4 - n4 = 7

अतः, सही विकल्प 3 है।

दिया गया है:

समांतर श्रेणी 13, 19, 25, ...

प्रयुक्त सूत्र:

किसी समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग: \(S_n = \dfrac{n}{2} \times (2a + (n-1)d)\)

जहाँ:

S_n = n पदों का योग

n = पदों की संख्या

a = प्रथम पद

d = सार्व अंतर

गणना:

श्रेणी 13, 19, 25, ...:

a = 13, d = 6, n = 30

S₃₀ = \(\dfrac{30}{2} \times (2 \times 13 + (30-1) \times 6)\)

⇒ S₃₀ = \(\dfrac{30}{2} \times (26 + 174)\)

⇒ S₃₀ = \(\dfrac{30}{2} \times 200\)

⇒ S₃₀ = 15 × 200

⇒ S₃₀ = 3000

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

श्रेणी: 3, 8, 13, 18, ...

वह पद ज्ञात कीजिए जहाँ मान 78 है। 

प्रयुक्त सूत्र:

समांतर श्रेणी का nवाँ पद: a_n = a + (n-1)d

जहाँ, a = प्रथम पद = 3 और d = सार्व अंतर = 8 - 3 = 5

गणना:

78 = 3 + (n - 1) x 5

⇒ 78 - 3 = (n - 1) x 5

⇒ 75 = (n - 1) x 5

⇒ n - 1 = 75 ÷ 5

⇒ n - 1 = 15

⇒ n = 15 + 1

⇒ n = 16

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

प्रथम पद (a) = 144

अंतिम पद (l) = 300

सार्व अंतर (d) = 3

प्रयुक्त सूत्र:

l = a + (n - 1) × d

गणना:

300 = 144 + (n - 1) × 3

⇒ 300 - 144 = (n - 1) × 3

⇒ 156 = (n - 1) × 3

⇒ n - 1 = 156 ÷ 3 = 52

⇒ n = 52 + 1 = 53

इसलिए, समांतर श्रेणी में पदों की संख्या 53 है।

दिया गया है:

एक समांतर श्रेणी के प्रथम 6 पदों का योग 0 है और इसका चौथा पद 2 है। यदि इसके प्रथम n पदों का योग 1440 है।

प्रयुक्त सूत्र:

एक समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग: \(S_n = \dfrac{n}{2} (2a + (n-1)d) \)

समांतर श्रेणी का nवाँ पद: \(a_n = a + (n-1)d \)

गणना:

दिया गया है कि प्रथम 6 पदों का योग:

\(\dfrac{6}{2} (2a + 5d) = 0 \)

⇒ \(3(2a + 5d) = 0\)

⇒ \(2a + 5d = 0\)

दिया गया है कि चौथा पद:

\(a + 3d = 2 \)

इन दो समीकरणों को हल करने पर:

\(2a + 5d = 0\) से

⇒ \(a = -\dfrac{5d}{2}\)

\(a + 3d = 2\) में प्रतिस्थापित करने पर

⇒ \(-\dfrac{5d}{2} + 3d = 2\) ⇒ d = 4

d का मान \(a = -\dfrac{5d}{2}\) में प्रतिस्थापित करने पर

⇒ \(a = -\dfrac{5 \times 4}{2}\) ⇒ \(a = -10\)

दिया गया है कि प्रथम n पदों का योग 1440 है:

\(1440 = \dfrac{n}{2}(2a + (n-1)d)\)

⇒ \(2880 = n(-20 + 4n - 4)\)

⇒ \(4n^2 - 24n - 2880 = 0 \)

⇒ \(n^2 - 6n - 720 = 0\)

⇒ \(n^2 - 30n + 24n - 720 = 0\)

⇒ n(n - 30) + 24(n - 30) = 0

⇒ (n - 30) (n + 24) = 0

⇒ n = 30 या -24

चूँकि n धनात्मक होना चाहिए:

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

13 + 23 + …….. + 93

सूत्र:

S_n = n/2 [a + l]

T_n = a + (n – 1)d

n = पदों की संख्या

a = प्रथम पद

d = सार्व अंतर

l = अंतिम पद

गणना:

a = 13

d = 23 – 13 = 10

T_n = [a + (n – 1)d]

⇒ 93 = 13 + (n – 1) × 10

⇒ (n – 1) × 10 = 93 – 13

⇒ (n – 1) = 80/10

⇒ n = 8 + 1

⇒ n = 9

S₉ = 9/2 × [13 + 93]

= 9/2 × 106

= 9 × 53

= 477

प्रयुक्त सूत्र:

a_n = a + (n – 1)d

यहाँ, a → पहला पद, n → कुल संख्या, d → सार्व अंतर, an → nवां पद

गणना:

6 से विभाज्य होने वाली तीन अंकों की पहली संख्या, (a) = 102 

6 से विभाज्य होने वाली तीन अंकों की अंतिम संख्या, (an) = 996

सार्व अंतर, (d) = 6  (चूंकि संख्याएँ 6 से विभाज्य हैं)

अब, an = a + (n – 1)d

⇒ 996 = 102 + (n – 1) × 6 

⇒ 996 – 102 = (n – 1) × 6

⇒ 894 = (n – 1) × 6

⇒ 149 = (n – 1)

⇒ n = 150

∴ 6 से विभाज्य होने वाली तीन अंकों की कुल संख्याएँ 150 हैं।

दिया गया प्रतिबंध: 

300 और 1000 के बीच की संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं।

अवधारणा:

समान्तर श्रेणी

an = a + (n - 1)d 

गणना:

7 (300 - 1000) से विभाज्य होने वाली पहली संख्या = 301 

इसी प्रकार: 301, 308, 315, 322...........994 

उपरोक्त श्रृंखला एक समान्तर श्रेणी बनाती है,

जहाँ a = 301, सार्व अंतर d = 308 - 301 = 7 तथा अंतिम पद (an) = 994

⇒ an = a + (n - 1)d

⇒ 994 = 301 + (n - 1)7 

⇒ (994 - 301)/7 = n - 1 

⇒ 693/7 + 1 = n 

⇒ 99 + 1 = n 

⇒ n = 100 

∴ यहाँ 300 और 1000 के बीच 100 संख्याएँ हैं जो 7 से विभाज्य हैं।

दिया गया है:

प्रथम पद 'a' = 5, सार्व अंतर 'd' = 4

पदों की संख्या 'n' = 20

अवधारणा:

समांतर श्रेढ़ी:

• समांतर श्रेढ़ी संख्याओं की एक सूची है जिसमें प्रत्येक पद पहले पद को छोड़कर पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
• निश्चित संख्या को सार्व अंतर 'd' कहते हैं।
• यह धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

प्रयुक्त सूत्र:

समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद 

Tn = a + (n - 1)d

समांतर श्रेढ़ी के n पदों का योग इसके द्वारा दिया जाता है

\(S = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)

\(S = \dfrac{n}{2}( a + l)\)

जहाँ,

a = समांतर श्रेढ़ी का पहला पद, d = सार्व अंतर, l = अंतिम पद

गणना:

हम जानते हैं कि समांतर श्रेढ़ी के n पदों का योग इसके द्वारा दिया जाता है

\(S = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)

\(⇒ S = \dfrac{20}{2}[2× 5 + (20-1)× 4]\)

⇒ S = 10(10 + 76)

⇒ S = 860

अत:, दी गई समांतर श्रेढ़ी के 20 पदों का योग 860 होगा।

हम जानते हैं कि समांतर श्रेढ़ी का n^वाँ पद निम्न द्वारा दिया जाता है

Tn = a + (n - 1)d

यदि l, समांतर श्रेढ़ी का 20वाँ पद (अंतिम पद) है, तब

l = 5 + (20 - 1) × 4 = 81

इसलिए समांतर श्रेढ़ी का योग

\(S = \dfrac{n}{2}( a + l)\)

\(⇒ S = \dfrac{20}{2}(5 + 81)\)

⇒ S = 860

दिया गया है,

2, 7, 12, ____________

प्रयुक्त संकल्पना

Tn = a + (n - 1)d

जहाँ a = पहला पद, n = पदों की संख्या और d = सार्वंतर

गणना

दी गई श्रेढ़ी में,

a = 2

d = 7 - 2 = 5

T₁₀ = 2 + (10 - 1) 5

T₁₀ = 2 + 45

T₁₀ = 47

दसवां पद = 47

दिया गया है:

k के मान के लिए 2, 3 + k और 6 समांतर श्रेढ़ी में हैं। 

अवधारणा:

समांतर श्रेढ़ी के अनुसार, a2 - a1 = a3 - a2 

जहाँ a1, a2, a3  समांतर श्रेणी में प्रथम, द्वितीय और तृतीय पद हैं। 

गणना:

यहाँ a1 = 2, a2 = k + 3, a3 = 6 समांतर श्रेढ़ी की क्रमागत संख्याएँ हैं।

समांतर श्रेढ़ी के अनुसार, a₂ - a₁ = a₃ - a₂ 

(k + 3) – 2 = 6 – (k + 3)

⇒ k + 3 - 8 + k + 3 = 0

⇒ 2k = 2

हल करने पर, हमें प्राप्त होता है k = 1

दिया गया है:

एक समान्तर श्रेढ़ी (AP) दी गई है, 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... 80 पदों तक

प्रयुक्त सूत्र:

समान्तर श्रेढ़ी के nवें पद का योग

Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}

जहाँ,

'n' पदों की संख्या है, 'a' प्रथम पद है, 'd' सार्व अंतर है। 

गणना:

प्रश्न के अनुसार, हमें प्राप्त है

Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}      ----(1) 

जहाँ, a = 3, n = 80, d = 7 - 3 = 4

इन मानों को (1) मेंरखने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ S80 = (80/2){2 × 3 + (80 - 1) × 4}

⇒ S80 = 40(6 + 79 × 4)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ समान्तर श्रेढ़ी के 80 पदों का योग 12,880 है।

Alternate Method

nवां पद = a + (n - 1)d

यहाँ n = 80, a = 3 और d = 4

80वाँ पद = 3 + (80 - 1)4

80वाँ पद = 3 + 316

80वाँ पद = 319

अब, एक समान्तर श्रेढ़ी के nवें पदों का योग

Sn = (n/2) × (प्रथम पद + अंतिम पद)

⇒ S80 = (80/2) × (3 + 319)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ एक समान्तर श्रेढ़ी के 80 पदों का योग 12,880 है।

गणना:

माना कि a, b, c… और आगे भी इसी प्रकार हमारी शृंखला है।

जैसा की हम जानते है सार्व अंतर = b - a, c - b

समांतर श्रेढ़ी में सार्व अंतर समान है।

b - a = c - b

गणना:

b – a = c – b

⇒ b + b = c + a

⇒ 2b = c + a

⇒ 2b = a + c

∴ a, b, c समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तब 2b = a + c

Alternate Method

माना संख्या 1, 2, 3 है जो समान्तर श्रेढ़ी में हैं।

केवल एक विकल्प समीकरण को संतुष्ट करता है

2(2 ) 1 + 3 = इसलिए 2b = a + c सही विकल्प है।

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर सदैव समान होता है तो उन संख्याओं के अनुक्रम को समान्तर श्रेणी कहा जाता है ।

गणना:

विकल्प 1 में, हमारे पास है

पहले और दूसरे पद के बीच का अंतर = 1 - 1 = 0

और, दूसरे और तीसरे पद के बीच का अंतर = 2 - 1 = 1

यहाँ, किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है। 

इसलिए, विकल्प 1 समान्तर श्रेणी में नहीं है। 

विकल्प 2 में, हमारे पास है

पहले और दूसरे पद के बीच का अंतर = 0.33 - 0.3 = 0.03

और, दूसरे और तीसरे पद के बीच का अंतर = 0.333 - 0.33 = 0.003

यहाँ, किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है। 

इसलिए, विकल्प 2 समान्तर श्रेणी में नहीं है। 

अब, विकल्प 3 में, हमारे पास है

पहले और दूसरे पद के बीच का अंतर = 2 - √2 

⇒ 2 - 1.414

⇒ 0.586

और, दूसरे और तीसरे पद के बीच का अंतर = 2√2 - 2

⇒ 2(1.414 - 1)

⇒ 2 × 0.414

⇒ 0.825

यहाँ, किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है। 

इसलिए, विकल्प 3 समान्तर श्रेणी में नहीं है। 

विकल्प 4 में, हमारे पास है

पहले और दूसरे पद के बीच का अंतर = (3 + √2) - 3

⇒ √2

और, दूसरे और तीसरे पद के बीच का अंतर = (3 + 2√2) - (3 + √2) 

⇒ √2

और, तीसरे और चौथे पद के बीच का अंतर = (3 + 3√2) - (3 + 2√2) 

⇒ √2

∴ विकल्प 4 समान्तर श्रेणी में है। 

Mistake Points

इस प्रश्न में सभी विकल्पों का अध्ययन कीजिए और प्रत्येक पद की जांच कीजिए। केवल पहले तीन विकल्पों की जाँच मत कीजिए। 

दिया गया है:

एक अनुक्रम 255, 264, 273, ...

प्रयुक्त सूत्र:

समान्तर श्रेणी में योग, Sn = \(\dfrac{n}{2}\times [2a+(n-1)d]\) 

गणना:

n = 155 , a = 255 , d = 264 - 255 = 9

Sn = \(\dfrac{n}{2}\times [2a+(n-1)d]\)

Sn = \(\dfrac{155}{2}\times [2\times 255 + (155 - 1)9]\)

⇒\(\dfrac{155}{2}\times [510+1386]\)

⇒ 155 x 948 = 146940

∴ उत्तर 146940 है।