Arithmetic Progression MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Arithmetic Progression - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

100 നും 300 നും ഇടയിൽ 7 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ എണ്ണം നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം :

100 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 100 നെക്കാൾ വലിയ 7 ന്റെ ആദ്യ ഗുണിതം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, അടുത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ എടുക്കുക.

300 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ച് പൂർണ്ണസംഖ്യ ഭാഗം എടുത്താൽ 300 ൽ താഴെയുള്ള 7 ന്റെ അവസാന ഗുണിതം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

ഒരു ശ്രേണിയിലെ ഗുണിതങ്ങളുടെ എണ്ണം നൽകുന്നത്: [(അവസാന ഗുണിതം - ആദ്യ ഗുണിതം) / 7] + 1

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

100-നേക്കാൾ വലുതായ 7-ന്റെ ആദ്യ ഗുണിതം:

100 ÷ 7 = 14, ശിഷ്ടം  2.

അപ്പോൾ, 100 നേക്കാൾ വലുതായ 7 ന്റെ ആദ്യ ഗുണിതം 7 × (14 + 1) = 7 × 15 = 105 ആണ്.

7 ന്റെ അവസാന ഗുണിതം 300 ൽ താഴെ:

300 ÷ 7 = 42, ശിഷ്ടം 6.

അപ്പോൾ, 300-ൽ താഴെയുള്ള 7 ന്റെ അവസാന ഗുണിതം 7 × 42 = 294 ആണ്.

105 നും 294 നും ഇടയിലുള്ള 7 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ എണ്ണം (ഉൾപ്പെടെ):

ഗുണിതങ്ങളുടെ എണ്ണം = [(അവസാന ഗുണിതം - ആദ്യ ഗുണിതം) / 7] + 1

ഗുണിതങ്ങളുടെ എണ്ണം = [(294 - 105) / 7] + 1

ഗുണിതങ്ങളുടെ എണ്ണം = [189 / 7] + 1

ഗുണിതങ്ങളുടെ എണ്ണം = 27 + 1

ഗുണിതങ്ങളുടെ എണ്ണം = 28

100 നും 300 നും ഇടയിൽ 7 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായ 28 സംഖ്യകളുണ്ട്.

തന്നിരിക്കുന്നത്:

13 + 23 + …….. + 93

സൂത്രവാക്യം:

Sn = n/2 [a + l]

Tn = a + (n – 1)d

n = പദങ്ങളുടെ എണ്ണം 

a = ആദ്യ പദം 

d = പൊതു വ്യത്യാസം 

l = അവസാന പദം 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

a = 13

d = 23 – 13 = 10

Tn = [a + (n – 1)d]

⇒ 93 = 13 + (n – 1) × 10

⇒ (n – 1) × 10 = 93 – 13

⇒ (n – 1) = 80/10

⇒ n = 8 + 1

⇒ n = 9

S9 = 9/2 × [13 + 93]

= 9/2 × 106

= 9 × 53

= 477

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

n^th = a + (n – 1)d

ഇവിടെ, a → ആദ്യ പദം, n → ആകെ എണ്ണം, d → പൊതുവായ വ്യത്യാസം, n^th → n^th പദം 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ആദ്യത്തെ മൂന്നക്ക സംഖ്യ (a) = 102

6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന, അവസാന മൂന്നക്ക സംഖ്യ (n^th) = 996

പൊതുവായ വ്യത്യാസം, (d) = 6

ഇപ്പോൾ, nth = a + (n – 1)d

⇒ 996 = 102 + (n – 1) × 6 

⇒ 996 – 102 = (n – 1) × 6

⇒ 894 = (n – 1) × 6

⇒ 149 = (n – 1)

⇒ n = 150

∴ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ആകെ മൂന്നക്ക സംഖ്യകൾ 150 ആണ്

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

21 മുതൽ 199 വരെയുള്ള ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 11 നിരീക്ഷണങ്ങളോട് ചേർത്തിരിക്കുന്നു, അവയുടെ മാധ്യ മൂല്യം n ആണ്.

പുതിയ കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ മാധ്യം = 99.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

(1) A.P-യിലെ n സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക.

S = \(\frac{n(a+l)}{2}\)

ഇവിടെ, 

a, ആദ്യ പദത്തിന്റെ മൂല്യമാണ്

l, അന്തിമ പദത്തിന്റെ മൂല്യമാണ്

n, എന്നത് പദങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്

S എന്നത്, A.P-യിലെ n സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്

(2) സമാന്തരശ്രേണിയിലെ അന്തിമ പദത്തിന്റെ മൂല്യം.

l = a + (n - 1)d

ഇവിടെ,

a, ആദ്യ പദത്തിന്റെ മൂല്യമാണ്

d, രണ്ട് പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള പൊതുവായ വ്യത്യാസമാണ്

n, എന്നത് പദങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്

l, അന്തിമ പദത്തിന്റെ മൂല്യമാണ്

കണക്കുകൂട്ടൽ:

n എന്നത് 21 നും 199 നും ഇടയിലുള്ള ഇരട്ട പദങ്ങളുടെ സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ.

ആദ്യത്തെ ഇരട്ട സംഖ്യയുടെ മൂല്യം (21 മുതൽ 199 വരെ), a = 22

അവസാന ഇരട്ട സംഖ്യയുടെ മൂല്യം (21 മുതൽ 199 വരെ), l = 198

രണ്ട് ഇരട്ട സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള പൊതുവായ വ്യത്യാസത്തിന്റെ മൂല്യം, d = 2

ഇപ്പോൾ,

⇒ 198 = 22 + (n - 1) × 2

⇒ 198 = 22 + (n - 1)2

⇒ 176 = (n - 1)2

⇒ (n - 1) = 88

⇒ n = 89

ഇപ്പോൾ,

21 മുതൽ 199 വരെയുള്ള എല്ലാ ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെയും ആകെത്തുക S ആകട്ടെ.

⇒ S = \(\frac{89(22 + 198)}{2}\)

⇒ S = 9790

ഇപ്പോൾ,

11 നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ശരാശരി = n

എല്ലാ 11 നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക = 11n

ചോദ്യം അനുസരിച്ച്,

⇒ \(\frac{9790+11n}{89+11}\) = 99

⇒ \(\frac{9790+11n}{100}\) = 99

⇒ 9790 + 11n = 9900

⇒ 11n = 110

⇒ n = 10

∴ ആവശ്യമായ ഉത്തരം 10 ആണ്.

Additional Informationആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും പദം അറിയുമ്പോൾ, സംഖ്യകളുടെ ശരാശരി കണ്ടെത്താൻ സൂത്രവാക്യം  ഉപയോഗിക്കുന്നു.

A = \(\frac{a+l}{2}\)

ഇവിടെ,

a, സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ പദമാണ്

l, സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ അന്തിമ പദമാണ്

A, a മുതൽ l വരെയുള്ള സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ശരാശരിയാണ്.

ശ്രദ്ധിക്കുക: മുകളിലെ സൂത്രവാക്യം സമാന്തര ശ്രേണിക്ക് മാത്രമേ ബാധകമാകൂ.

തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾക്ക് പൂജ്യമല്ലാത്ത സ്ഥിരാങ്കമായി പൊതുവായ ഒരു വ്യത്യാസമുണ്ടെങ്കിൽ, ആ ശ്രേണിയെ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണി എന്ന് വിളിക്കാം.

നൽകിയിരിക്കുന്നത് 

2, 7, 12, ____________

ഉപയോഗിച്ച ആശയം 

Tn = a + (n - 1)d

ഇവിടെ a = ആദ്യ പദം, n = പദങ്ങളുടെ എണ്ണം d = വ്യത്യാസം 

കണക്കുകൂട്ടൽ 

നൽകിയിരിക്കുന്ന ശ്രേണിയിൽ 

a = 2

d = 7 - 2 = 5

T₁₀ = 2 + (10 - 1) 5

T₁₀ = 2 + 45

T₁₀ = 47

പത്താമത്തെ പദം = 47

നൽകിയിരിക്കുന്നത്

K യുടെ മൂല്യത്തിന്; 2, 3 + k, 6 എന്നിവ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ ആയിരിക്കണം.

ആശയം:

സമാന്തര ശ്രേണി അനുസരിച്ച്, a2 - a1 = a3 - a2 

ഇവിടെ, a1 ,a2 ,a3 എന്നിവ ഏതെങ്കിലും സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും പദങ്ങൾ ആണ്.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

a1 = 2, a2 = k + 3, a3 = 6 എന്നിവ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ തുടർച്ചയായ മൂന്ന് പദങ്ങളാണ്.

സമാന്തര ശ്രേണി അനുസരിച്ച്,  a2 - a1 = a3 - a2 

(k + 3) - 2 = 6 - (k + 3)

⇒ k + 3 - 8 + k + 3 = 0

⇒ 2k = 2

പരിഹരിച്ച ശേഷം, നമുക്ക് k = 1 എന്ന് ലഭിക്കും.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഒരു സമാന്തര ശ്രേണി നൽകിയിരിക്കുന്നു 
3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... 80 ആം പദം വരെയാണിത്.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

ഒരു AP-യുടെ n-ആം പദത്തിന്റെ ആകെത്തുക

S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}

ഇവിടെ,

'n' എന്നത് പദങ്ങളുടെ എണ്ണം, 'a' എന്നത് ആദ്യ പദം, 'd' എന്നത് പൊതുവായ വ്യത്യാസവുമാണ്.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ചോദ്യം അനുസരിച്ച്, നമുക്കുള്ളത് 

Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}      ----(1) 

ഇവിടെ, a = 3, n = 80, d = 7 - 3 = 4

ഈ മൂല്യങ്ങൾ (1) ൽ കൊടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് 

⇒ S80 = (80/2){2 × 3 + (80 - 1) × 4}

⇒ S80 = 40(6 + 79 × 4)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ ഒരു AP-യുടെ 80-ാമത്തെ പദത്തിന്റെ ആകെത്തുക 12,880 ആണ്.

Alternate Method

n^th പദം  = a + (n - 1)d

ഇവിടെ n = 80, a = 3, d = 4

⇒ 80 ആം പദം = 3 + (80 - 1)4

⇒ 80 ആം പദം = 3 + 316

⇒ 80 ആം പദം = 319

ഇപ്പോൾ, ഒരു AP-യുടെ nth പദത്തിന്റെ ആകെത്തുക

⇒ S_n = (n/2) × (1 മത്തെ പദം + അന്തിമ പദം)

⇒ S80 = (80/2) × (3 + 319)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ ഒരു AP-യുടെ 80-ാമത്തെ പദത്തിന്റെ ആകെത്തുക 12,880 ആണ്.

ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്ന ആശയം:

a, b, c… എന്നിങ്ങനെ ആവട്ടെ നമ്മുടെ സമാന്തര ശ്രേണി 

പൊതുവ്യത്യാസം നമുക്കറിയാം = b - a, c - b.

സമാന്തരശ്രേണിയിലെ പൊതുവ്യത്യാസം സമമായിരിക്കും

b - a = c - b

കണക്കുകൂട്ടൽ:

b – a = c – b

⇒ b + b = c + a

⇒ 2b = c + a

⇒ 2b = a + c

∴ a, b, c എന്നിവ സമാന്തര ശ്രേണിയിലാണ്. അപ്പോൾ 2b = a + c.

AP യിലുള്ള സംഖ്യ 1, 2, 3 ആയിരിക്കട്ടെ

ഒരു ഓപ്ഷൻ മാത്രമേ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ളൂ

2 (2) 1 + 3 = അതിനാൽ 2b = a + c ശരിയായ ഓപ്ഷനാണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 11-ാം പദം ആദ്യ പദത്തിനേക്കാൾ 90 കുറവാണ്. രണ്ടാമത്തെ പദം 99 ആണ്.

സൂത്രവാക്യം:

ഒരു AP യുടെ nth പദം, T_n = a + (n - 1)d, ഇവിടെ ‘a’ എന്നത് ആദ്യ പദം, ‘n’ എന്നത് പദങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണം, ‘d’ എന്നത് പൊതുവായ വ്യത്യാസം ആണ്.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ആദ്യത്തെ പദം 'a' ആയിരിക്കട്ടെ, പൊതുവായ വ്യത്യാസം 'd' ആയിരിക്കട്ടെ.

T₂ = a + d = 99              ----(1)

ചോദ്യത്തിനനുസരിച്ച് 

T₁ - T₁₁ = 90

⇒ a - (a + 10d) = 90

⇒ - 10d = 90

d = - 9

 (1) ആം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്,

a + (- 9) = 99

⇒ a = 108

മൂന്നാം പദം T₃ = a + 2d

⇒ 108 + 2 × - 9 = 108 - 18 = 90

∴ ആവശ്യമായ ഉത്തരം 90 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

a25 - a12 = - 52

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

AP യുടെ nth പദം = a + (n - 1)d

a = ആദ്യ പദം 

d = പൊതുവായ വ്യത്യാസം 

n = പദങ്ങളുടെ എണ്ണം 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ആദ്യ പദം a യും പൊതുവായ വ്യത്യാസം d യും ആണ്

⇒ a₂₅ = a + (25 - 1)d

⇒ a25 = a + 24d

സമാനമായി,

⇒ a₁₂ = a + (12 - 1)d

⇒ a₁₂ = a + 11d

ചോദ്യത്തിനനുസരിച്ച്,

⇒ (a + 24d) - (a + 11d) = - 52

⇒ 13d = - 52

⇒ d = - 4

∴ AP യുടെ പൊതുവായ വ്യത്യാസം - 4 ആയിരിക്കും.

നൽകിയത്:

ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ പദം 23 ഉം ആദ്യത്തെ 10 പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 725 ഉം ആണ്.

ആശയം:

'n' പദങ്ങളുടെ n- ാം പദവും ആകെത്തുകയും കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സമാന്തര ശ്രേണീ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ n- ^ാം പദം = [a + (n - 1) × d]

ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 'n' പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക = n / 2 × [2a + (n - 1) × d]

ഇവിടെ

a = ആദ്യ പദം, d = പൊതു വ്യത്യാസം, n = പദങ്ങളുടെ എണ്ണം

കണക്കുകൂട്ടൽ:

സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്:

10 / 2 × [2 × 23 + (10 - 1) × d] = 725

⇒ 5 × [46 + 9d] = 725

⇒ 9d = 99

⇒ d = 11

ഇപ്പോൾ,

നാലാമത്തെ പദം = 23 + (4 - 1) × 11

⇒ 23 + 33

⇒ 56 ⇒ 56