অভেদ MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Identities - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

a + b + c = 7 এবং ab + bc + ca = 1

অনুসৃত সূত্র:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c) [(a + b + c)2 - 3(ab + bc + ca)]

গণনা:

আমরা জানি,

⇒ a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) [(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)]

⇒ 7 [7² - 3 × 1]

⇒ 7 (49 - 3)

⇒ 7 × 46

প্রদত্ত:

\(\dfrac{(2.46 \times 2.46-1.46 \times 1.46)}{(2.46-1.46)}\)

ব্যবহৃত সূত্র:

\((a^2 - b^2) = (a + b)(a - b)\)

গণনা:

⇒ \(\dfrac{(2.46 + 1.46)(2.46 - 1.46)}{(2.46-1.46)}\)

⇒ \(\dfrac{(2.46^2 - 1.46^2)}{(2.46-1.46)}\)

⇒ \((2.46 + 1.46)\)

⇒ 3.92

⇒ \(\dfrac{392}{100}\)

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প (2).

প্রদত্ত:

\((x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x})(x^2+\dfrac{1}{x^2})(x^4+\dfrac{1}{x^4}) \) এর মান হল:

ব্যবহৃত সূত্র:

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)

গণনা:

\((x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x})\) = \((x^2 - \dfrac{1}{x^2})\)

⇒ \((x^2 - \dfrac{1}{x^2})(x^2 + \dfrac{1}{x^2})\) = \((x^4 - \dfrac{1}{x^4})\)

⇒ \((x^4 - \dfrac{1}{x^4})(x^4 + \dfrac{1}{x^4})\) = \((x^8 - \dfrac{1}{x^8})\)

সুতরাং, \(\rm \left(x+\frac{1}{x}\right)\rm \left(x-\frac{1}{x}\right)\rm \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\rm \left(x^4+\frac{1}{x^4}\right) \) = \((x^8 - \dfrac{1}{x^8})\)

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প (2)।

প্রদত্ত:

সরল করার জন্য রাশিটি: 9993 × 10007 

ব্যবহৃত সূত্র:

(a - b)(a + b) = a² - b² বীজগণিতীয় সূত্র ব্যবহার করে

গণনা:

এখানে, a = 10000 এবং b = 7

⇒ 9993 × 10007 = (10000 - 7) × (10000 + 7)

⇒ 9993 × 10007 = 100002 - 72

⇒ 9993 × 10007 = 100000000 - 49

⇒ 9993 × 10007 = 99999951

সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প 1।

প্রদত্ত:

(10001 + 12) (10001 - 12)

ব্যবহৃত সূত্র:

((a + b)(a - b) = a² - b²)

গণনা:

এখানে, a = 10001 এবং b = 12

সূত্র ব্যবহার করে:

((10001 + 12)(10001 - 12) = 10001² - 12²)

⇒ 10001² - 12²

⇒ 100020001 - 144

⇒ 100019857

(10001 + 12)(10001 - 12) এর মান 100019857

প্রদত্ত:

x - 1/x = 3

অনুসৃত ধারণা:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

গণনা:

প্রদত্ত পরিচয় প্রয়োগ করে: 
  
⇒ x³ - (1/x)³ = (x - 1/x)³ + 3(x × 1/x)(x - 1/x)

⇒ x³ - (1/x)³ = (3)³ + 3(1)(3)

⇒ x³ - (1/x)³ = 27 + 9

⇒ x³ - (1/x)³ = 36

∴ x³ - (1/x)³ এর মান হল 36 

প্রদত্ত:

x = √10 + 3

অনুসৃত সূত্র: 

a² - b² = (a + b)(a - b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

গণনা:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{x} = \frac{1}{{√ 10{\rm{\;}} + {\rm{\;}}3}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3}}{{\left( {√ 10 + {\rm{\;}}3} \right)\left( {√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3} \right)}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3 }}{{{{\left( {√ 10 } \right)}^2} - {{\left( {3} \right)}^2}}} \end{array}\)

⇒ 1/x = √10 - 3

\( \Rightarrow x - \;\frac{1}{x} = \;\sqrt 10 + 3\; -\sqrt10 + 3 = 6\)     ----(1)

(1)-এর উভয়পক্ষ বর্গ করে পাই,

\( \Rightarrow (x - \;\frac{1}{x})^2 = \;(6\;)^2\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2 + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 38\)    -----(2)

\(∴ \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}}\;} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = 6 \times (38 + 1)\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ নির্ণেয় মান 234

 Shortcut Trickপ্রদত্ত:

x = √10 + 3

অনুসৃত সূত্র: 

\(\rm If ~x -\frac{1}{x} = a \)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

গণনা:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\) 

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ নির্ণেয় মান 234

প্রদত্ত:

x - (1/x) = (- 6)

অনুসৃত​ সূত্র:

যদি x - (1/x) = P হয়, তাহলে

x + (1/x) = √(P² + 4) 

যদি x + (1/x) = P হয়, তাহলে

x3 + (1/x3) = (P³ - 3P)

x⁵ - (1/x⁵) = {x³ + (1/x³)} × {x² - 1/x²} + {x - (1/x)}

গণনা:

x - (1/x) = (- 6)

x + (1/x) = √{(- 6)2 + 4} = √40 = 2√10

x3 + (1/x3) =  (√40)³ - 3√40

⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10

অতএব,

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

⇒ {74√10 × x + (1/x) × x - (1/x)} + (- 6)

⇒ {74√10 × 2√10  × (-6)} - 6

⇒ 74√10 × { (- 12√10)} - 6

⇒ (- 8880) - 6 = - 8886

∴ নির্ণেয় উত্তর হল  - 8886

দেওয়া :

p – 1/p = √7

সূত্র:

P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3(p – 1/p)

গণনা:

P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3 (p – 1/p)

⇒ p3 – 1/p3 = (√7)3 + 3√7

⇒ p3 – 1/p3 = 7√7 + 3√7

⇒ p3 – 1/p3 = 10√7

Shortcut Trick x - 1/x = a, তারপর x³ - 1/x³ = a³ + 3a

এখানে, a = √7 ( মানটি প্রয়োজনীয় eqⁿ এ রাখুন)

⇒p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7

⇒p3 – 1/p3 = 10√7 ।

তাই; বিকল্প 4) সঠিক।

প্রদত্ত:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 এবং abc = 15

অনুসৃত ধারণা:

a³ + b³ + c³ - 3abc = a + b + c × [(a + b + c)² -3(ab + bc + ca)]

গণনা:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ সঠিক পছন্দ হল বিকল্প 1

প্রদত্ত:

\(a + \frac{1}{a} = 7\)

অনুসৃত সূত্র:

(a + 1/a) = P ; then

(a² + 1/a²) = P² - 2

(a3 + 1/a3) = P³ - 3P

\(a^5 + \frac{1}{a^5} \) = (a² + 1/a²) × (a³ + 1/a³) - (a + 1/a)

গণনা:

a + (1/a) = 7

⇒ (a2 + 1/a2) = (7)2 - 2 = 49 - 2 = 47

⇒ (a3 + 1/a3) = (7)³ - (3 × 7) = 343 - 21 = 322

a⁵ + (1/a⁵) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

⇒ 47 × 322 - 7

⇒ 15134 - 7 = 15127

 ∴ সঠিক উত্তর হল 15127

⇒ x2/3 + x1/3 = 2

⇒ (x2/3 + x1/3)3 = 23

⇒ x2 + x + 3x(x2/3 + x1/3) = 8

⇒ x2 + 7x - 8 = 0

⇒ x2 + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 বা x = 1

যখন a + b + c = 0, তখন (a³ + b³ + c³) = 3abc,

প্রদত্ত:

(a + b + c) = 19

(a2 + b2 + c2) = 155

অনুসৃত সূত্র:

a² + b² + c² - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

গণনা:

a + b + c = 19

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

⇒ (a + b + c)² = (19)²

⇒ a2 + b2 + c2 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 155 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 2 × (ab + bc + ca) = (361 - 155)

⇒ (ab + bc + ca) = 206/2 = 103

অতএব,

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

⇒ 2 × (155 - 103) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

⇒ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 104

∴ সঠিক উত্তর হল 104

প্রদত্ত:

x2 + (1/x2) = 7

অনুসৃত​ সূত্র:

x² + (1/x²) = P

তাহলে, x + (1/x) = √(P + 2)

এবং, x - (1/x) = √(P - 2)

⇒ x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

গণনা:

x2 + (1/x2) = 7

⇒ x + (1/x) = √(7 + 2) = √9

⇒ x + (1/x) = 3

⇒ x - (1/x) = √(7 - 2)

⇒ x - (1/x) = - √5 {0 < x < 1}

x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 3 × (- √5)

∴ সঠিক উত্তর হল - 3√5

Mistake Pointsমনে রাখবেন,

0 < x < 1

অতএব,

1/x > 1

সুতরাং,

x + 1/x > 1

এবং,

x - 1/x < 0 (কারণ, 0 < x < 1, এবং 1/x > 1, সুতরাং x - 1/x < 0)

সুতরাং,

(x - 1/x)(x + 1/x) < 0