রৈখিক অসমতা MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Linear Inequalities - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

সমাধান করার জন্য সমীকরণটি হল: 3(5x + 2) - 4 = 2(1 - 4x)

ব্যবহৃত সূত্র:

সমীকরণের একপাশে চলককে নিয়ে এসে x এর জন্য সমাধান করুন।

গণনা:

প্রথমে উভয় পক্ষ প্রসারিত করুন:

⇒ 3(5x + 2) - 4 = 2(1 - 4x)

⇒ 15x + 6 - 4 = 2 - 8x

সমীকরণটি সরলীকরণ করুন:

⇒ 15x + 2 = 2 - 8x

সদৃশ পদগুলিকে একত্রিত করুন:

⇒ 15x + 8x = 2 - 2

⇒ 23x = 0

উভয় পক্ষকে 23 দিয়ে ভাগ করুন:

⇒ x = 0

x চলকের মান 0.

গণনা:

\(\frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}x + 4\right) \) \(\ge \frac{1}{3}(x - 6)\)

\(\left(\frac{3x}{10}+ 2\right) \ge (\frac{x}{3}- 2)\)

​\(\left(\frac{3x}{10}-\frac{x}{3}\right) \ge (- 2-2)\)​​

\(⇒\frac{9x-10x}{30} ≥ -4\)

\(⇒\frac{-x}{30} ≥ -4\)

⇒ - x ≥ -120

উভয় পক্ষে -1 দিয়ে গুণ করলে, অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে।

​∴ x ≤ 120

প্রদত্ত:

প্রাথমিক অনুপাত = 5 ∶ 6

চূড়ান্ত অনুপাত 17 ∶ 22 এর চেয়ে কম হওয়া উচিত।

গণনা:

ধরি, বিয়োগ করার জন্য প্রয়োজনীয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যাটি হল a

প্রশ্ন অনুসারে,

(5 - a)/(6 - a) < 17/22

⇒ 5 × 22 - 22a < 17 × 6 - 17a 

⇒ 110 - 22a < 102 - 17a

⇒ 110 - 102 < - 17a + 22a

⇒ 8 < 5a

⇒ 8/5 = 1.6 < a

∴ ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যাটি 2 হতে হবে।

প্রদত্ত:

(x/2) - 5 < (x/2) - 4

গণনা:

(x/2) - 5 < (x/2) - 4

উপরের সমীকরণে, x/2 এর মান উভয় পক্ষেই একই। বামপক্ষে 5 বিয়োগ করা হচ্ছে এবং ডানপক্ষে 4 বিয়োগ করা হচ্ছে।

আমরা জানি 5 সর্বদা 4 থেকে বড়, তাই আমরা বলতে পারি যে ডানপক্ষের মান সর্বদা বামপক্ষের মান থেকে বড়।

সুতরাং, উপরের অসমতা x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সঠিক।

কিন্তু বিকল্প অনুযায়ী, বৃহত্তম জোড় মান 8 যা বিকল্পগুলির মধ্যে একটি।

∴ x-এর বৃহত্তম জোড় মান 8

প্রদত্ত:

প্রদত্ত সংখ্যা হল 187 × 183

অনুসৃত সূত্র:

(a + b)(a - b) = a² - b²

গণনা:

ধরা যাক, 187 × 193 এর মান x

x = (190 - 3)(190 +3)

⇒ x = 190² - 3²

⇒ x = 36100 - 9

⇒ x = 36091

∴ x এর মান 36091

প্রদত্ত:

প্রাথমিক অনুপাত = 5 ∶ 6

চূড়ান্ত অনুপাত 17 ∶ 22 এর চেয়ে কম হওয়া উচিত।

গণনা:

ধরি, বিয়োগ করার জন্য প্রয়োজনীয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যাটি হল a

প্রশ্ন অনুসারে,

(5 - a)/(6 - a) < 17/22

⇒ 5 × 22 - 22a < 17 × 6 - 17a 

⇒ 110 - 22a < 102 - 17a

⇒ 110 - 102 < - 17a + 22a

⇒ 8 < 5a

⇒ 8/5 = 1.6 < a

∴ ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যাটি 2 হতে হবে।

প্রদত্ত:

a 2 - b 2 = 88

a - b = 4

অনুসৃত সূত্র :

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

গণনা:

a - b = 4      ----(1)

(a - b)(a + b) = 88

⇒ 4 × (a + b) = 88

⇒ a + b = 88/4

⇒ a + b = 22      ----(2)

সমীকরণ (1) এবং সমীকরণ (2) যুক্ত করে আমরা পাই

⇒ a - b + a + b = 4 + 22

2a = 26

⇒ a = 13

a এর মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই 

13 + b = 22

⇒ b = 9

ab এর মান = 13 × 9

⇒ ab = 117

Ab এর মান 117

a + b = 5 ----(1)

2a - b = 4 ----(2)

(1) এবং (2) সমীকরণ যোগ করে পাই

⇒ a + b + 2a - b = 5 + 4

⇒ 3a = 9

⇒ a = 3

(1) সমীকরণে a = 3 বসিয়ে পাই b = 2

গণনা:

প্রদত্ত: 9a - a2 \(\leq\) 17a + 15

পরিবর্তন করে পাই

-a² + 9a \(\leq\) 17a + 15

চিহ্ন পরিবর্তন করে

a2 - 9a  - 17a - 15

a2 - 9a + 17a + 15  0

a2 + 8a + 15  0

a2 + 5a + 3a + 15  0

a(a+ 5) + 3(a + 5)   0

(a + 3)(a + 5)   0

সুতরাং, -3 এবং -5 সমীকরণের বীজ।

এখন নীচের চিত্রটি দেখুন,

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে -5 এর চেয়ে ছোট সকল সংখ্যা এবং -3 এর চেয়ে বড় সকল সংখ্যা ধনাত্মক ফলাফল দেবে। -5 এবং -3 এর মধ্যবর্তী সংখ্যাগুলি ঋণাত্মক ফলাফল দেবে

তাই, উপরের সমীকরণের জন্য উপরের সকল মান সিদ্ধ হয়।

2x + 5 > 2 + 3x

5 - 2 > 3x - 2x

3 > x .......(1)

2x - 3 ≤ 4x - 5

5 - 3 ≤ 4x - 2x

2 ≤ 2x

1 ≤ x .......(2)

(1) এবং (2) থেকে

1 ≤ x < 3

সুতরাং x = 2

ধারণা:

অসমতায় ক্রিয়াকলাপের নিয়মাবলী:

• যোগ করা: অসমতার প্রতিটি দিকে একই সংখ্যা যোগ করলে অসমতা চিহ্নের দিক পরিবর্তন হয় না।
• বিয়োগ করা: অসমতার প্রতিটি দিক থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ করলে অসমতা চিহ্নের দিক পরিবর্তন হয় না।
• গুণ করা: অসমতার প্রতিটি দিককে ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে অসমতা চিহ্নের দিক পরিবর্তন হয় না।
• গুণ করা: অসমতার প্রতিটি দিককে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে অসমতা চিহ্নের দিক বিপরীত হয়।
• ভাগ করা: অসমতার প্রতিটি দিককে ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে অসমতা চিহ্নের দিক পরিবর্তন হয় না।
• ভাগ করা: অসমতার প্রতিটি দিককে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে অসমতা চিহ্নের দিক বিপরীত হয়।

গণনা:

প্রদত্ত: 2(3x - 4) -2 < 4x - 2 ≥ 2x - 4

প্রথমে অসমতাটি সমাধান করে:

2(3x - 4) -2 < 4x - 2

⇒ 6x - 10 < 4x - 2

⇒ 2x < 8

⇒ x < 4--------(1)

একইভাবে, অসমতা 4x - 2 ≥ 2x - 4 সমাধান করে পাই:

⇒ 2x ≥ - 2

⇒ x ≥ - 1--------(2)

সমীকরণ (1) এবং (2) থেকে আমরা বলতে পারি যে -1 ≤ x < 4

সুতরাং, প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে x-এর সম্ভাব্য মান হল 2

প্রদত্ত:

(x/2) - 5 < (x/2) - 4

গণনা:

(x/2) - 5 < (x/2) - 4

উপরের সমীকরণে, x/2 এর মান উভয় পক্ষেই একই। বামপক্ষে 5 বিয়োগ করা হচ্ছে এবং ডানপক্ষে 4 বিয়োগ করা হচ্ছে।

আমরা জানি 5 সর্বদা 4 থেকে বড়, তাই আমরা বলতে পারি যে ডানপক্ষের মান সর্বদা বামপক্ষের মান থেকে বড়।

সুতরাং, উপরের অসমতা x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সঠিক।

কিন্তু বিকল্প অনুযায়ী, বৃহত্তম জোড় মান 8 যা বিকল্পগুলির মধ্যে একটি।

∴ x-এর বৃহত্তম জোড় মান 8

প্রদত্ত:

প্রদত্ত সংখ্যা হল 187 × 183

অনুসৃত সূত্র:

(a + b)(a - b) = a² - b²

গণনা:

ধরা যাক, 187 × 193 এর মান x

x = (190 - 3)(190 +3)

⇒ x = 190² - 3²

⇒ x = 36100 - 9

⇒ x = 36091

∴ x এর মান 36091

প্রদত্ত:

প্রাথমিক অনুপাত = 5 ∶ 6

চূড়ান্ত অনুপাত 17 ∶ 22 এর চেয়ে কম হওয়া উচিত।

গণনা:

ধরি, বিয়োগ করার জন্য প্রয়োজনীয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যাটি হল a

প্রশ্ন অনুসারে,

(5 - a)/(6 - a) < 17/22

⇒ 5 × 22 - 22a < 17 × 6 - 17a 

⇒ 110 - 22a < 102 - 17a

⇒ 110 - 102 < - 17a + 22a

⇒ 8 < 5a

⇒ 8/5 = 1.6 < a

∴ ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যাটি 2 হতে হবে।

প্রদত্ত:

a 2 - b 2 = 88

a - b = 4

অনুসৃত সূত্র :

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

গণনা:

a - b = 4      ----(1)

(a - b)(a + b) = 88

⇒ 4 × (a + b) = 88

⇒ a + b = 88/4

⇒ a + b = 22      ----(2)

সমীকরণ (1) এবং সমীকরণ (2) যুক্ত করে আমরা পাই

⇒ a - b + a + b = 4 + 22

2a = 26

⇒ a = 13

a এর মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই 

13 + b = 22

⇒ b = 9

ab এর মান = 13 × 9

⇒ ab = 117

Ab এর মান 117