భాగహారం మరియు శేషం MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Divisibility and Remainder - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇవ్వబడింది:

345తో భాగించినప్పుడు ఒక సంఖ్య N శేషంగా 35ని ఇస్తుంది.

N ని 15తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషాన్ని కనుగొనాలి.

గణన:

ఆ సంఖ్యను ఇలా సూచిద్దాం:

N = 345k + 35

k ఒక పూర్ణాంకం.

15తో భాగించినప్పుడు 345 యొక్క శేషాన్ని కనుగొనండి

345 ÷ 15 = 23 శేషం 0

కాబట్టి, 345k 15తో పూర్తిగా భాగింపబడుతుంది.

15తో భాగించినప్పుడు 35 యొక్క శేషాన్ని కనుగొనండి

35 ÷ 15 = 2 శేషం 5

అందువల్ల, N ని 15తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం 5.

చివరి సమాధానం: 5

ఇవ్వబడింది:

2²³ని 5తో భాగించగా వచ్చే శేషం కనుగొనండి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

5తో భాగించినప్పుడు 2 యొక్క ఏదైనా ఘాతానికి, శేషం ఈ క్రమంలో ఉంటుంది: 2, 4, 3, 1.

గణన:

2 యొక్క ఘాత చక్రం (mod 5): 2¹ ≡ 2 (mod 5) 2² ≡ 4 (mod 5) 2³ ≡ 3 (mod 5) 2⁴ ≡ 1 (mod 5) (ప్రతి 4 ఘాతాలకు చక్రం పునరావృతమవుతుంది)

ఇప్పుడు, 23ని 4తో భాగించగా వచ్చే శేషాన్ని కనుగొనండి: 23ని 4తో భాగిస్తే శేషం 3 వస్తుంది.

కాబట్టి, 2²³ ≡ 2³ ≡ 3 (mod 5).

∴ శేషం 3.

ఇచ్చిన బహుపది \( p(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b \), కు శేష సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి \( a \)} మరియు \( b \). విలువలు కనుగొందాం. \( p(x) \)} ని \( x - 1 \), తో భాగించగా శేషం \( 0 \), కాబట్టి:

\[ p(1) = 1 + 2 + a + b = 0 \implies a + b = -3 \quad \text{(1)} \]

\( p(x) \)} ని \( x - 2 \), తో భాగించగా శేషం \( 1 \), కాబట్టి:

\[ p(2) = 8 + 8 + 2a + b = 1 \implies 2a + b = -15 \quad \text{(2)} \]

సమీకరణాలు (1) మరియు (2) ను సాధించగా, \( a = -12 \)} మరియు \( b = 9 \). కాబట్టి:

\[ a^2 + b^2 = (-12)^2 + (9)^2 = 144 + 81 = 225 \]

అందువల్ల చివరి సమాధానం:

\[ \boxed{225} \]

ఇచ్చినవి:

13x ≡ 1 (mod 15)

x ఒక 4-అంకెల ధనాత్మక పూర్ణాంకం

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ax ≡ b (mod m)

గణన:

13x ≡ 1 (mod 15)

⇒ -2x ≡ 1 (mod 15)

⇒ -2x ≡ 1 + 15 (mod 15)

⇒ -2x ≡ 16 (mod 15)

⇒ x ≡ -8 (mod 15)

⇒ x ≡ -8 + 15 (mod 15)

⇒ x ≡ 7 (mod 15)

కాబట్టి, x ని x = 15k + 7 గా వ్రాయవచ్చు, ఇక్కడ k ఒక పూర్ణాంకం.

నమకు అతి చిన్న ధనాత్మక 4-అంకెల పూర్ణాంకం అవసరం.

x ఒక 4-అంకెల సంఖ్య కావడానికి, x ≥ 1000.

⇒ 15k + 7 ≥ 1000

⇒ 15k ≥ 993

⇒ k ≥ 993 / 15

⇒ k ≥ 66.2

k కి అతి చిన్న పూర్ణాంక విలువ 67.

x = 15k + 7 లో k = 67 ని ప్రతిక్షేపించండి:

x = 15 x 67 + 7

x = 1005 + 7

x = 1012

∴ నాలుగు అంకెలు కలిగిన అతి చిన్న ధనాత్మక పూర్ణాంకం 1012.

ఇవ్వబడింది:

ఒక సంఖ్యను 84తో భాగించగా శేషం 27 వస్తుంది.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక సంఖ్యను ఒక భాజకంతో భాగించినప్పుడు, శేషాన్ని కొత్త భాజకంతో భాగించడం వల్ల వచ్చే ఫలితం శేషం.

గణనలు:

సంఖ్య = 84 x k + 27 (ఇక్కడ k ఒక పూర్ణాంకం)

ఈ సంఖ్యను 6తో భాగిస్తే:

⇒ 27 ÷ 6

⇒ 27 = 6 x 4 + 3

⇒ శేషం = 3

∴ శేషం 3.

ఇచ్చినది:

\((49^{15} - 1) \)

ఉపయోగించిన భావన:

n సరి ధన పూర్ణాంకం అయినప్పుడు aⁿ - bⁿ  అనేది (a + b) ద్వారా భాగించబడుతుంది.

గణన:

\((49^{15} - 1) \)

⇒ \(({(7^2)}^{15} - 1) \)

⇒ \((7^{30} - 1) \)

ఇక్కడ, 30 అనేది ధనాత్మక పూర్ణాంకం.

భావన ప్రకారం,

\((7^{30} - 1) \) (7 + 1) అంటే 8 ద్వారా భాగించబడుతుంది.

∴ 8 అనేది \((49^{15} - 1) \) భాగహారం.

ఇవ్వబడినవి:

676xy 3, 7 & 11 ద్వారా భాగించబడుతుంది

కాన్సెప్ట్:

676xy 3, 7 &11 ద్వారా భాగించబడినప్పుడు, అది 3, 7 &11 యొక్క క.సా.గు ద్వారా కూడా భాగించబడుతుంది.

విభాజ్యము= భాజకము × భాగహారలబ్ధము + శేషం

లెక్కింపు:

క.సా.గు (3, 7, 11) = 231

అతిపెద్ద 5-అంకెల సంఖ్య 67699 తీసుకొని దానిని 231తో భాగించండి.

∵ 67699 = 231 × 293 + 16

⇒ 67699 = 67683 + 16

⇒ 67699 - 16 = 67683 (పూర్తిగా 231తో భాగించబడుతుంది)

∴ 67683 = 676xy (ఇక్కడ x = 8, y = 3)

(3x - 5y) = 3 × 8 - 5 × 3

⇒ 24 - 15 = 9

∴ అవసరమైన ఫలితం = 9

x² + ax + b, x - 5తో భాగించబడినప్పుడు, 34 మిగులుతుంది,

⇒ 52 + 5a + b = 34

⇒ 5a + b = 9      ----(1)

మళ్ళీ,

x² + bx + a, x - 5తో భాగించినప్పుడు, 52 మిగులుతుంది

⇒ 52 + 5b + a = 52

⇒ 5b + a = 27      ----(2)

(1) + (2) నుండి,

⇒ 6a + 6b = 36

⇒ a + b = 6

గణనలు:

సంఖ్యలు 8, 12 మరియు 16, అవి తప్పనిసరిగా 400 & 500 మధ్య సంఖ్యలను భాగించినప్పుడు శేషం 5ని పొందాలి

విభిన్న సంఖ్యల గుణకారాన్ని కనుగొనడానికి, మనం LCMని కనుగొనాలి

8, 12, 16 యొక్క LCM

8 = 2³, 12 = 2² x 3, 16 = 2⁴

LCM = 2⁴ x 3 = 48

సంఖ్య నమూనా = 48k + 5 (శేషం)

400 & 500 మధ్య సంఖ్యలు

అతి చిన్న సంఖ్య = 48 x 9 + 5 = 437

అతిపెద్ద సంఖ్య = 48 x 10 + 5 = 485

కాబట్టి,

సంఖ్యల మొత్తం = 437 + 485

⇒ 922

∴ సరైన ఎంపిక ఎంపిక 1.

ఇచ్చినది:

2³⁸⁴ ను 17 ద్వారా విభజించారు.

లెక్కింపు:

2³⁸⁴ = 2^{(4 × 96)} = 16⁹⁶

16 ను 17 తో విభజించినప్పుడు శేషం -1 అని మనకు తెలుసు

16⁹⁶ ను 17 ద్వారా విభజించినప్పుడు, శేషం र = (-1) ⁹⁶ = 1.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఐదు అంకెల సంఖ్య 750PQ 3, 7 మరియు 11 ద్వారా భాగించబడుతుంది

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్::

క.సా.గు యొక్క పద్ధతి

సాధన:

3, 7 మరియు 11 యొక్క క.సా.గు 231.

అతిపెద్ద 5-అంకెల సంఖ్య 75099 తీసుకొని దానిని 231తో భాగించడం ద్వారా.

మనం 75099ని 231తో భాగిస్తే మనకు 325 గుణకం మరియు 24 శేషం.

అప్పుడు, ఐదు అంకెల సంఖ్య 75099 - 24 = 75075.

సంఖ్య = 75075 మరియు P = 7, Q = 5

ఇప్పుడు,

P + 2Q = 7 + 10 = 17

∴ P + 2Q విలువ 17.

ఇవ్వబడినవి:

ఐదు అంకెల సంఖ్య 247xy 3, 7 మరియు 11 ద్వారా భాగించబడినట్లయితే

లెక్కింపు:

3, 7, 11 యొక్క క.సా.గు 231

ప్రశ్న ప్రకారం

247xy యొక్క అతిపెద్ద సాధ్యం విలువ 24799

మనం 24799ని 231తో భాగిస్తే మనకు 82 మిగిలి ఉంటుంది

సంఖ్య = 24799 – 82

⇒ 24717

ఇప్పుడు x = 1 మరియు y = 7

(2y – 8x) = (2 × 7 – 8 × 1)

⇒ (14 - 8)

⇒ 6

∴ అవసరమైన విలువ 6

సాధన:

(265)4081 + 9 అనేది 266 తో భాగించబడుతుంది

⇒ (266 - 1)⁴⁰⁸¹ + 9 

266 తో భాగించినప్పుడు, 

⇒\( (266 - 1)^{4081}\over 266\) + \(9 \over 266\)

మొదటి భిన్నం నుంచి (- 1)⁴⁰⁸¹ మరియు + రెండవ భిన్నం నుంచి 9 అవుతుంది

మొత్తం శేషం = - 1 + 9 = 8

∴ (265)4081 + 9 ని 266 తో భాగించినప్పుడు శేషం 8.

ఇవ్వబడింది:

xని 6తో భాగిస్తే మనకు 5 మిగిలి ఉంటుంది.

గణన:

సంఖ్య 11గా ఉండనివ్వండి

మనం 11ని 6తో భాగించినప్పుడు మిగిలిన దానిని 5గా పొందుతాము (పరిస్థితి సంతృప్తికరంగా ఉంది).

మనం (x + 5)ని 3తో భాగిస్తే

(11 + 5) ÷ 3

⇒ 16 ÷ 3