గుణకాలు మరియు కారణాంకాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Multiples and Factors - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇవ్వబడింది:

పరిపూర్ణ వర్గముగా చేయవలసిన సంఖ్య = 1212

ఉపయోగించిన సూత్రం:

పరిపూర్ణ వర్గం కాని సంఖ్య n కి, దానిని పరిపూర్ణ వర్గంగా మార్చడానికి జోడించాల్సిన అతి చిన్న సహజ సంఖ్య, తదుపరి పరిపూర్ణ వర్గం కంటే పెద్దది మరియు n మధ్య వ్యత్యాసం.

లెక్కింపు:

1212 కంటే పెద్దదైన తదుపరి పరిపూర్ణ వర్గాన్ని కనుగొనండి.

√1212 ≈ 34.8 √1212 ≈ 34.8 √1212 ≈ 34.8 √1212 ≈ 34.8 ≈ 12

34.8 తర్వాత వచ్చే పూర్ణాంకం 35.

తదుపరి పరిపూర్ణ చతురస్రం = 35²

35² = 1225

జోడించాల్సిన అతి చిన్న సహజ సంఖ్య = 1225 - 1212

అతి చిన్న సహజ సంఖ్య = 13

1212 ను పరిపూర్ణ వర్గంగా మార్చడానికి దానికి జోడించాల్సిన అతి చిన్న సహజ సంఖ్య 13.

ఇవ్వబడింది:

సంఖ్య = 1083

ఉపయోగించిన భావన:

ఇచ్చిన సంఖ్యను పరిపూర్ణ వర్గంగా గుణించాల్సిన అతి చిన్న సహజ సంఖ్యను కనుగొనడానికి, మనం ఆ సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకీకరణను నిర్ణయించాలి మరియు గుణించినప్పుడు, ప్రధాన కారణాంకాల యొక్క అన్ని ఘాతాంకాలను సరిచేసే అతి చిన్న కారణాంకాన్ని గుర్తించాలి.

లెక్కింపు:

1083 యొక్క ప్రధాన కారకం:

1083 = 3 × 361

361 = 19²

కాబట్టి, 1083 = 3 × 19²

1083 ఒక పరిపూర్ణ వర్గము కావాలంటే, అన్ని ప్రధాన కారణాంకాలకు సరి సంఖ్యల ఘాతాంకాలు ఉండాలి.

ప్రస్తుతం, 3 యొక్క ఘాతాంకం 1 (బేసి), మరియు 19 యొక్క ఘాతాంకం 2 (సరి).

3 యొక్క ఘాతాంకం సరిసంఖ్య కావాలంటే మనం 1083 ను 3 తో గుణించాలి.

గుణించాల్సిన అతి చిన్న సంఖ్య = 3

1083 తో గుణించి పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యగా మారవలసిన అతి చిన్న సహజ సంఖ్య 3.

ఇవ్వబడింది:

8 యొక్క మూడు వరుస గుణిజాల మొత్తం 2424.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

8 యొక్క మూడు వరుస గుణిజాలను (8n - 8), 8n, మరియు (8n + 8) గా తీసుకుందాం.

ఈ మూడు గుణిజాల మొత్తం = 8n - 8 + 8n + 8 + 8n = 24n

గణన:

24n = 2424

⇒ n = 2424 / 24

⇒ n = 101

అతిపెద్ద గుణిజం = 8n + 8 = 8 x 101 + 8 = 808 + 8 = 816

∴ సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.

ఇచ్చినవి:

1,000 కంటే తక్కువగా ఉన్న సంఖ్యలలో 7 మరియు 11 రెండింటికి గుణకాలుగా ఉండే సంఖ్యలు ఎన్ని అని కనుగొనాలి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

రెండు సంఖ్యల గుణకాలను కనుగొనడానికి, మనం కనీస సామాన్య గుణకం (LCM) ను ఉపయోగిస్తాము.

గణన:

7 మరియు 11 యొక్క LCM:

7 మరియు 11 ప్రధాన సంఖ్యలు.

LCM(7, 11) = 7 x 11 = 77

ఇప్పుడు, 1,000 కంటే తక్కువగా ఉన్న 77 యొక్క గుణకాలు ఎన్ని అని కనుగొనాలి.

1,000 కంటే తక్కువగా ఉన్న 77 యొక్క గుణకాల సంఖ్య = ⌊1000 / 77⌋

⇒ ⌊1000 / 77⌋ = ⌊12.987…⌋

మనం ఫ్లోర్ విలువను తీసుకుంటున్నందున, మనకు 12 వస్తుంది.

కాబట్టి, 1,000 కంటే తక్కువగా ఉన్న సంఖ్యలలో 7 మరియు 11 రెండింటికి గుణకాలుగా ఉండే సంఖ్యలు 12.

ఇచ్చినది:

4¹² + 4¹³ + 4¹⁴ + 4¹⁵

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సామాన్య పదం 4¹² ను సమీకరణం నుండి తీసివేయండి.

గణన:

4¹² + 4¹³ + 4¹⁴ + 4¹⁵

⇒ 4¹² (1 + 4 + 4² + 4³)

⇒ 4¹² (1 + 4 + 16 + 64)

⇒ 4¹² (85)

ఇప్పుడు, ఇచ్చిన ఆప్షన్లలో ఏది 85ని పూర్తిగా భాగిస్తుందో చూడాలి.

85 = 5 x 17

కాబట్టి, 85ని పూర్తిగా భాగించే సంఖ్య 17.

∴ సరైన సమాధానం ఆప్షన్ (1).

ఇచ్చినది:

3240

భావన:

k = a x × b y అయితే , అప్పుడు

అన్ని కారకాల మొత్తం = (a 0 + a 1 + a 2 + ..... + a x ) (b 0 + b 1 + b 2 + ….. + b y )

పరిష్కారం:

3240 = 2 ³ × 3 ⁴ × 5 ¹

కారకాల మొత్తం = (2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 ) (3 ⁰ + 3 ¹ + 3 ² + 3 ³ + 3 ⁴ ) (5 ⁰ + 5 ¹ )

⇒ (1 + 2 + 4 + 8) (1 + 3 + 9 + 27 + 81) (1 + 5)

⇒ 15 × 121 × 6

⇒ 10890

∴ అవసరమైన మొత్తం 10890

ఇవ్వబడినది:

సంఖ్య, 8 10 × 9 7 × 7 ⁸

ఉపయోగించిన భావన:

సంఖ్య xa × yb × zc లో ఉన్నట్లయితే...... మరియు ఇలా మొదలగు రూపాలు ఉంటే, అప్పుడు వాటి మొత్తం ప్రధాన కారణాంకాలు = a + b + c ..... మరియు మొదలైనవి

ఇక్కడ x, y, z, ... అనునవి ప్రధాన సంఖ్యలు

లెక్క:

810 × 97 × 78 సంఖ్యను (23)10 × (32)7 × 78  అని వ్రాయవచ్చు

కావున, సంఖ్యను 230 × 314 × 78  గా వ్రాయవచ్చు

మొత్తం ప్రధాన కారణాంకాల సంఖ్య = 30 + 14 + 8

∴ మొత్తం ప్రధాన కారణాంకాల సంఖ్య 52

ఇవ్వబడినది:

సంఖ్య = 100

ఉపయోగించవలసిన సూత్రం:

am × bn యొక్క అన్ని కారణాంకాల మొత్తం (a0 + a1 +......+ a^m) × (b0 + b1 +............+ bⁿ)

గణన:

100 యొక్క ప్రధాన కారణాంక విభజన = 2² × 5²

కారణాంకాల మొత్తం = (2⁰ + 2¹ + 2²) × (5⁰ + 5¹ + 5²)

⇒ (1 + 2 + 4) × (1 + 5 + 25)

⇒ 7 × 31

⇒ 217

∴ 100 యొక్క అన్ని కారణాంకాల మొత్తం 217.

ఇవ్వబడినది:

4చే భాగించబడే 196 కారణాంకాల సంఖ్య

గణన:

ప్రశ్న ప్రకారం,

196ను నిశ్శేషంగా భాగించే సంఖ్యలు = 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98 మరియు 196.

4చే భాగించబడే 196 కారణాంకాలు = 4, 28, 196

∴ 4చే భాగించబడే 196 కారణాంకాల సంఖ్య 3.

ఉపయోగించిన భావన:

N = a^p × b^q × c^r... అయితే

కారణాంకాల సంఖ్య = (p + 1)(q + 1)(r + 1).....

గణన:

ప్రశ్న ప్రకారం,

720 సంఖ్య యొక్క మొదటి ప్రధాన కారణాంక విభజన,

720 = 2⁴ × 3² × 5¹

భావనతో పోల్చి చూడగా,

p = 4, q = 2 మరియు r = 1

కారణాంకాల సంఖ్య = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1)

⇒ 5 × 3 × 2 = 30

∴ 720 యొక్క కారణాంకాల సంఖ్య 30.

ఉపయోగించబడిన కాన్సెప్ట్: ఈ రకం ప్రశ్నలో, కారణాంకాలు కూడా ఒక ఖచ్చితమైన వర్గం అయితే కారణాంకాల యొక్క వర్గ మూలాలు సహజ సంఖ్యగానే ఉంటాయి,

లెక్కింపు: 2250 = 2 × 32 × 53 గా వ్యక్తీకరించవచ్చు.

∴ 1, 32, 52, (3 × 5)2 అనే 4 కారణాంకాలు మాత్రమే ఉంటాయి, వీటి యొక్క వర్గ మూలాలు సహజ సంఖ్యగా ఉంటాయి.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

సంఖ్య 480.

వాడిన సూత్రం:

ఒక సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకం N = ap × bq × cr × ......

కారణాంకాల మొత్తం సంఖ్య అప్పుడు, N = (p + 1) × (q + 1) × (r + 1) × ...... 

సాధన:

ఇక్కడ,

480 = 25 × 31 × 51 యొక్క ప్రధాన కారణాంకం

కాబట్టి, కారణాంకాల మొత్తం సంఖ్య = (5 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1)

⇒ 6 × 2 × 2

⇒ 24

∴ 480 యొక్క మొత్తం కారణాంకాల సంఖ్య 24..

లెక్క:

⇒ 213 + 214 + 215 + 216 + 217

⇒ 213 (1+ 21 + 22 + 23 + 24)

⇒ 213 (1 + 2 + 4 + 8 + 16)

⇒ 213 × (31)

∴ 213 + 214 + 215 + 216 + 217 i, 31 యొక్క గుణిజం.

ఉపయోగించిన భావన:

సంఖ్య = a^b x c^d x ...

మొత్తం కారకాల సంఖ్య = (b + 1)(d + 1) ...

'a' ఒక సరి ప్రధాన సంఖ్య అయితే, మొత్తం బేసి కారకాల సంఖ్య = (c + 1) ...

ఇక్కడ, a, c మొదలైనవి ప్రధాన సంఖ్యలు.

గణన:

378 యొక్క ప్రధాన కారక విభజన:

378 = 2 x 3 x 3 x 3 x 7

378 = 2¹ x 3³ x 7¹

కాబట్టి, 378 యొక్క మొత్తం కారకాల సంఖ్య

⇒ (1 + 1)(3 + 1)(1 + 1)

⇒ 2 x 4 x 2 = 16

ముగింపు:

378 సంఖ్యను 16 విధాలుగా విద్యార్థులకు సమానంగా విభజించవచ్చు, ఎందుకంటే దానికి 16 కారకాలు ఉన్నాయి. కాబట్టి, మీ పరిష్కారం సరైనది.

కాబట్టి, అవసరమైన మార్గాల సంఖ్య = 16.

ఉపయోగించిన భావన:

ప్రతి పూర్ణాంకాన్ని అనేక ప్రధాన సంఖ్యల గుణిజాల ద్వారా లేదా ఆ ప్రధాన సంఖ్యల బహుపదుల ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక సంఖ్య N ను ఇలా వ్యక్తీకరించగలిగితే

N = a m × b ⁿ × c ^p (ఇక్కడ a, b, మరియు c లు ప్రధాన సంఖ్యలు)

అప్పుడు మొత్తం కారణాంకాల సంఖ్య (m + 1) × (n + 1) × (p + 1) కు సమానం.

గణన:

540 యొక్క కారణాంకాలు అనేవి సంఖ్యలు, వీటిని జతలుగా గుణించినప్పుడు లబ్ధం 540గా వస్తుంది.

540 కి 24 కారకాలు ఉన్నాయి, వాటిలో కిందివి దాని ప్రధాన కారణాంకాలు 2, 3, 5.

540 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు 2 ² × 3 ³ × 5 ¹ .

ఇక్కడ, m = 2, n = 3 , p = 1

540 యొక్క మొత్తం కారణాంకాల సంఖ్య:

⇒ (2 + 1) × (3 + 1) × (1 + 1) = 24

కాబట్టి, 540 యొక్క మొత్తం కారణాంకాల సంఖ్య = 24

కాబట్టి, సరైన సమాధానం "24".