Divisibility and Remainder MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Divisibility and Remainder - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം = 1365

വലിയ സംഖ്യയെ ചെറിയ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ:

ഹരണഫലം = 6

ശിഷ്ടം = 15

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം :

ഹാര്യം = ഹാരകം  × ഹരണഫലം + ശിഷ്ടം

ചെറിയ സംഖ്യ x ആയിരിക്കട്ടെ.

വലിയ സംഖ്യ = 6x + 15

വ്യത്യാസം = വലിയ സംഖ്യ - ചെറിയ സംഖ്യ

1365 = (6x + 15) - x

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ:

1365 = (6x + 15) - x

⇒ 1365 = 5x + 15

⇒ 1350 = 5x

⇒ x = 270

∴ ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ (2) ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 5 ശിഷ്ടം  വരുന്ന രണ്ട് അക്ക സംഖ്യകൾ.

ഉപയോഗിച്ച  സൂത്രവാക്യം :

സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുക: S = n/2 × (a + l)

ഇവിടെ n = പദങ്ങളുടെ എണ്ണം, a = ആദ്യ പദം, l = അവസാന പദം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 5 ശിഷ്ടം  വരുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ രണ്ടക്ക സംഖ്യ:

⇒ 7 × 1 + 5 = 12

7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 5 ശിഷ്ടം  വരുന്ന ഏറ്റവും വലിയ രണ്ടക്ക സംഖ്യ:

⇒ 7 × 13 + 5 = 96

സംഖ്യകൾ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയെ  സൃഷ്ടിക്കുന്നു: 12, 19, 26, ..., 96

പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 7

പദങ്ങളുടെ എണ്ണം (n) കണ്ടെത്താൻ:

⇒ l = a + (n - 1) × d

⇒ 96 = 12 + (n - 1) × 7

⇒ 84 = (n - 1) × 7

⇒ 12 = n - 1

⇒ n = 13

സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക (S):

⇒ S = n/2 × (a + l)

⇒ S = 13/2 × (12 + 96)

⇒ S = 13 × 54

⇒ S = 702

∴ തുക 702 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

1! + 2! + 3! + ... + 95! നെ 15 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ശിഷ്ടം.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം :

ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയായ n ≥ 5 നും, n! എന്നതിനെ 15 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, കാരണം 15 = 3 × 5 ആണ്, കൂടാതെ n! യിൽ n ≥ 5 ന്റെ ഘടകങ്ങളായി 3 ഉം 5 ഉം ഉൾപ്പെടുന്നു.

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

1! + 2! + 3! + ... + 95! (മോഡ് 15) = (1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ... + 95!) (മോഡ് 15)

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന്:

n ≥ 5 ന്, n! (മോഡ് 15) = 0

അങ്ങനെ, കണക്കുകൂട്ടൽ ഇനിപ്പറയുന്നതായി കുറയ്ക്കുന്നു:

⇒ (1! + 2! + 3! + 4!) (മോഡ് 15)

ഇനി ഓരോ ഘടകവും കണക്കാക്കുക:

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുക:

⇒ 1 + 2 + 6 + 24 = 33

33 നെ 15 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം കണ്ടെത്തുക:

⇒ 33 (മോഡ് 15) = 3

∴ ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ (1) ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

\((49^{15} - 1) \)

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

a ⁿ​ - ⁿ ഒരു ഇരട്ട പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാകുമ്പോൾ b n നെ (a + b) കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഇവിടെ a & b എന്നിവ അഭാജ്യ സംഖ്യകളായിരിക്കണം.

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

\((49^{15} - 1) \)

⇒ \(({(7^2)}^{15} - 1) \)

⇒ \((7^{30} - 1) \)

ഇവിടെ 30 ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

ആശയം അനുസരിച്ച്,

\((7^{30} - 1) \) എന്നത് (7 + 1) കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, അതായത്, 8.

∴ 8 എന്നത് \((49^{15} - 1) \) ന്റെ ഒരു ഹരിക്കൽ ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

676xy യെ 3, 7 & 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ആശയം:

676xy എന്നതിനെ 3, 7 & 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, അത് 3, 7 & 11 ന്റെ ലസാഗു കൊണ്ടും ഹരിക്കപ്പെടും.

ഹാര്യം = ഹാരകം × ഹരണഫലം + ശിഷ്ടം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

ലസാഗു  (3, 7, 11) = 231

ഏറ്റവും വലിയ 5 അക്ക സംഖ്യയായ 67699 നെ 231 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

∵ 67699 = 231 × 293 + 16

⇒ 67699 = 67683 + 16

⇒ 67699 - 16 = 67683 (231 കൊണ്ട് പൂർണ്ണമായി ഹരിക്കാം)

∴ 67683 = 676xy (ഇവിടെ x = 8, y = 3)

(3x - 5y) = 3 × 8 - 5 × 3

⇒ 24 - 15 = 9

∴ ആവശ്യമുള്ള ഫലം = 9

x2 + ax + b യെ x - 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, 34 ശിഷ്ടം ലഭിക്കുന്നു.

⇒ 5² + 5a + b = 34

⇒ 5a + b = 9      ----(1)

വീണ്ടും,

x2 + bx + a എന്നതിനെ x - 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, 52 ശിഷ്ടം നൽകുന്നു,

⇒ 5² + 5b + a = 52

⇒ 5b + a = 27      ----(2)

(1) + (2) ൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്,

⇒ 6a + 6b = 36

തന്നിരിക്കുന്നത്:

2384 നെ 17 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

2384 = 2(4 × 96) = 1696

16 നെ 17 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം -1 ആകുമെന്ന് നമുക്കറിയാം.

1696 നെ 17 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം = (-1)96 = 1.

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ഒരു സംഖ്യയുടെ അവസാനത്തെ രണ്ട് അക്കങ്ങളെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെങ്കിൽ, ആ സംഖ്യയെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

ചോദ്യമനുസരിച്ച്, സംഖ്യകൾ ഇവയാണ് 

2332, 2552, 4664, 2772, 6776, 4884, 2992, 6996 എന്നിവ

അപ്പോൾ, abba എന്ന രൂപത്തിൽ 8 അത്തരം സംഖ്യകളുണ്ട്, അവയെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

∴ ശരിയായ ഉത്തരം 8 ആണ്.

Mistake Points 

20 ൽ അവസാനിക്കുന്ന ഒരു ഉദാഹരണം നിങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ,

അപ്പോൾ 'abba' എന്നത് '0220' ആയിരിക്കും, 0220 ഒരു നാലക്ക സംഖ്യയല്ല.  

40,60,80 ൽ അവസാനിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിന്റെ കാര്യത്തിലും അതുപോലെ തന്നെ.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

750PQ എന്ന അഞ്ചക്ക സംഖ്യയെ 3, 7, 11 എന്നിവ കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

LCM എന്ന ആശയം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

3, 7, 11 എന്നിവയുടെ LCM 231 ആണ്.

ഏറ്റവും വലിയ 5 അക്ക സംഖ്യയായ 75099 എടുത്ത് 231 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ.

75099 നെ 231 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ഘടകഫലമായി 325 ഉം ശിഷ്ടമായി 24 ഉം ലഭിക്കും.

അപ്പോൾ, അഞ്ചക്ക സംഖ്യ 75099 - 24 = 75075 ആണ്.

സംഖ്യ = 75075 ഉം P = 7 ഉം, Q = 5 ഉം ആണ്.

ഇപ്പോൾ,

പി + 2ക്യു = 7 + 10 = 17

∴ P + 2Q യുടെ മൂല്യം 17 ആണ്.

തന്നിരിക്കുന്നത്:

 x നെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് 5 ശിഷ്ടം ലഭിക്കുന്നു.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

സംഖ്യ 11 ആണെന്നിരിക്കട്ടെ.

11 നെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ശിഷ്ടം 5 ലഭിക്കുന്നു.(നിബന്ധന തൃപ്തികരമാണ്).

(x + 5) നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ 

(11 + 5) ÷ 3

⇒ 16 ÷ 3

നൽകിയിരിക്കുന്നത് 

5x423y എന്ന സംഖ്യയെ 88 കൊണ്ട് പൂർണ്ണമായി ഹരിക്കാമെങ്കിൽ 

ഉപയോഗിച്ച ആശയം

8 ന്റെ ഹരണസാധ്യതാ നിയമം = ഏത് സംഖ്യയുടെയും അവസാനത്തെ മൂന്ന് അക്കങ്ങളെ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനായാൽ  അപ്പോൾ സംഖ്യയെ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം 

88-ന്റെ ഹരണസാധ്യതാ നിയമം = സംഖ്യയെ 8-ഉം 11-ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

11 ന്റെ ഹരണസാധ്യതാ നിയമം = ഒറ്റസ്ഥാന അക്കത്തിന്റെ ആകെത്തുക - ഇരട്ട സ്ഥാന അക്കത്തിന്റെ ആകെത്തുക = 0 അല്ലെങ്കിൽ 11 ന്റെ ഗുണിതം

കണക്കുകൂട്ടൽ 

ഒരു സംഖ്യയെ 5x423y 88 കൊണ്ട് പൂർണ്ണമായി ഹരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ

അതിനാൽ, 8 ന്റെ ഹരണസാധ്യതാ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്

y = 2 കാരണം 232 നെ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

ഇപ്പോൾ, (4 + x) - (12) = 0

⇒ x = 8

5x - 8y യുടെ മൂല്യം = 40 - 16 = 24

∴ ആവശ്യമായ ഉത്തരം 24 ആണ്

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

സംഖ്യകൾ = 4, 5, 6 അല്ലെങ്കിൽ 7

മുകളിലുള്ള സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യ വിഭജിക്കുമ്പോൾ, ശിഷ്ടം = 3 

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു കണ്ടെത്തുക.

ലസാഗു - തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളാൽ പൂർണ്ണമായും വിഭജിക്കപ്പെടുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ

3 ശിഷ്ടം ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിന് (ലസാഗു + 3)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

4, 5, 6, 7 എന്നിവയുടെ ലസാഗു = 7 × 5 × 3 × 2 × 2 = 420 

3 ശിഷ്ടം ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യ = 420 + 3 

⇒ 423

അതുകൊണ്ട് ശരിയായ ഉത്തരം 423 ആണ്.

ആശയം:

നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യയെ ഹാരകത്തിൽ നിന്ന് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് ശിഷ്ടം നേടുക

അങ്ങനെ ലഭിച്ച ശിഷ്ടം, ഹാരകത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുമ്പോൾ ആവശ്യമായ മൂല്യം നൽകുന്നു.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

⇒ 56789 = 56580 + 209 = 345 × 164 + 209

ശിഷ്ടം = 209

ഇപ്പോൾ, 209 + x = 345

⇒ x = 345 – 209

⇒ x = 136