परिमेय या अपरिमेय संख्याएं MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Rational or Irrational Numbers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

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\(\sqrt[3]{19}, \sqrt[6]{13}, \sqrt[4]{17}\) \(\sqrt[3]{15}\) में से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।

गणना:

\(\sqrt[3]{19}, \sqrt[6]{13}, \sqrt[4]{17}\) \(\sqrt[3]{15}\)

घातों का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात कीजिए अर्थात 3, 6, 4 और 3

इसलिए, LCM = 12

इसलिए, 19⁴, 13², 17³ और 15⁴

⇒ 194 > 154 > 173 > 132

इनमे से सबसे बड़ी संख्या \(\sqrt[3]{19}\) है।

गणना:

सभी भिन्नों को दशमलव रूप में बदलने पर,

5/8 = 0.625

9/10 = 0.9 

उस विकल्प की जाँच करने पर जो इस सीमा में नहीं है,

7/9 = 0.78

11/20 = 0.55

16/21 = 0.76

9/11 = 0.81

विकल्पों से 0.55, 0.625 और 0.9 की सीमा में नहीं है।

∴ 11/20, 5/8 और 9/11 के बीच में नहीं आती है। 

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व्यंजक \(\dfrac{4a^2}{\sqrt{4a^2+b^2}+b}\) का परिमेयीकरण करना है।

गणना:

\(\dfrac{4a^2}{\sqrt{4a^2+b^2}+b}\)

⇒  \(\dfrac{4a^2\times (\sqrt{4a^2+b^2}-b)}{(\sqrt{4a^2+b^2}+b)\times (\sqrt{4a^2+b^2}-b }\)

⇒  \(\dfrac{4a^2\times (\sqrt{4a^2+b^2}-b)}{4a^2+b^2-b^2 }\)

⇒ \(\dfrac{4a^2\times (\sqrt{4a^2+b^2}-b)}{4a^2}\)

⇒ \(\sqrt{4a^2+b^2}-b\)

∴ सही उत्तर \(\sqrt{4a^2+b^2}-b\) है।

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\(\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} + \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}\)

प्रयुक्त सूत्र:

व्यंजक को सरल करने के लिए, दोनों पदों का परिमेयीकरण कीजिए।

गणना:

सबसे पहले, पहले भिन्न को सरल कीजिए:

\(\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}\) में अंश और हर को \((1 + \sqrt{3})\) से गुणा कीजिए। 

⇒ \(\frac{(1 + \sqrt{3})^2}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}\)

⇒ \(\frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1^2 - (\sqrt{3})^2}\)

⇒ \(\frac{4 + 2\sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}\)

अब, दूसरे भिन्न को सरल कीजिए:

\(\frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}\) में अंश और हर को \((1 - \sqrt{3})\) से गुणा करने पर:

⇒ \(\frac{(1 - \sqrt{3})^2}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}\)

⇒ \(\frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1^2 - (\sqrt{3})^2}\)

⇒ \(\frac{4 - 2\sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2 + \sqrt{3}\)

अब, दो सरलीकृत परिणामों को जोड़ने पर:

⇒ \((-2 - \sqrt{3}) + (-2 + \sqrt{3})\)

⇒\( -2 - \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3}\)

⇒ -4

व्यंजक का मान -4 है।

दिया गया है:

मिश्रित आवर्ती दशमलव 0.2345 है। 

प्रयुक्त सूत्र:

माना x = 0.2345

दशमलव को स्थानांतरित करने के लिए 100 से गुणा करें:

100x = 23.4545

अब आवर्ती भाग को स्थानांतरित करने के लिए 10,000 से गुणा करें:

10,000x = 2345.4545

गणना:

पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाएं:

⇒ 10,000x - 100x = 2345.4545 - 23.4545

⇒ 9900x = 2322

⇒ x = 2322/9900

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (18) से विभाजित करके भिन्न को सरल करें:

⇒ x = ¹²⁹/₅₅₀

हर अंश से अधिक है:

⇒ 550 - 129 = 421

∴ हर अंश से 421 अधिक है।

दिया गया है:

\(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\)

प्रयुक्त अवधारणा:

0.ab̅  = (ab - a)/90 

0.ab̅c̅ = (abc - a)/990

गणना:

 \(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\)

⇒ (46 - 4)/90 - (589 - 5)/990 + (333 - 3)/990

⇒ 42/90 - 584/990 + 330/990

⇒ 42/90 - 254/990 

⇒ (462 - 254)/990

⇒ 208/990 

उपरोक्त सूत्र के अनुसार,

0.ab̅c̅ = (abc - a)/990

\(0.2\overline{10}\) = (210 - 2)/990

∴ \(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\) का मान \(0.2\overline{10}\) के बराबर है।

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0.135135....

प्रयुक्त अवधारणा:

(p/q) प्रकार की संख्याएँ, जहाँ q ≠ 0 और p और q पूर्णांक हैं, परिमेय संख्या कहलाती हैं।

गणना

माना x = 0.135135....      ---- (1)

समीकरण 1 में दोनों पक्ष में 1000 से गुणा कीजिये, हमारे पास है

1000x = 135.135...      ---- (2)

समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

1000x - x = 135.135... - 0.135135....

⇒ 999x = 135

⇒ x = 135/999

⇒ x = 45/333

⇒ x = 5/37

∴ 0.135135.... को p/q के रूप में 5/37 लिखा जा सकता है।

प्रयुक्त संकल्पना:-

अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य के बराबर नहीं है।

Key Points

• दो अपरिमेय संख्याओं का योग या अंतर परिमेय या अपरिमेय हो सकता है।
• दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल या विभाजन परिमेय या अपरिमेय हो सकता है।

स्पष्टीकरण:-

मान लीजिए कि दो अपरिमेय संख्याएँ \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) है। इन दो संख्याओं का योग 0 है।

\(\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=0\)

यहाँ 0 परिमेय संख्या है। अत: दो अपरिमेय संख्याओं का योग एक परिमेय संख्या होती है।

अब मान लीजिए कि दो अपरिमेय संख्याएं \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) हैं, इन दो संख्याओं का योग है,

\(\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)

यहाँ, एक अपरिमेय संख्या है।अतः दो अपरिमेय संख्याओं का योग एक अपरिमेय संख्या होती है।

इसलिए, दो अपरिमेय संख्याओं का योग एक परिमेय या अपरिमेय संख्या हो सकती है।

अब, हम जानते हैं कि वास्तविक संख्या, वह संख्या है जो परिमेय या अपरिमेय संख्या दोनों हो सकती है। अतः हम कह सकते हैं कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग सदैव एक वास्तविक संख्या होती है।

अत: सही विकल्प 3 है। 

105/112 = (15 × 7) / (16 × 7) = 15/16

प्रयुक्त अवधारणा:

\(.BC\overline{DEF}\) = \(\frac{BCDEF - BC}{99900}\)

गणना:

\(.45\overline{235}\)

⇒ \(\frac{45235-45}{99900}\)

⇒ \(\frac{45190}{99900}\)

⇒ \(\frac{4519}{9990}\)

∴ सही उत्तर \(\frac{4519}{9990}\) है।

प्रयुक्त सूत्र:

यदि हमारे पास \(0.a \bar b\) के रूप में संख्या है।

तब, \(0.a \bar b\) = \(ab - a\over 90\) 

इसमें बिना बार वाले अंक को संख्या से घटाया जाता है।

अब, यह भिन्न p/q के रूप में है।

गणना: 

यहाँ, हमारे पास \(0.2\bar7\) है।

साथ ही, यहाँ हमारे पास केवल एक अंक पर बार है।

साथ ही, 2 बिना बार के है इसलिए इसे अंश में 27 से घटाया जाएगा 

इसलिए, \(0.2\bar7\) = \(27 -2\over90\) = 25/90 = 5/18 

अब,, p/q के रूप में है

इसलिए, इसे p/q के रूप में 5/18 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

गणना:

परिमेय संख्या - एक संख्या जो p/q के रूप में होती है।

दिए गए विकल्प के अनुसार

⇒ \(\sqrt {{3^2} + {4^2}} \) = √25 = 5 एक परिमेय संख्या है।

⇒ \( √ {12.96} \) = 3.6 एक परिमेय संख्या है।

⇒ √125 = 5√5 एक परिमेय संख्या नहीं है।

⇒ √900 = 30 एक परिमेय संख्या है।

∴ √125 एक परिमेय संख्या नहीं है।

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\(0.3\overline {35} \)

गणना:

माना x = \(0.3\overline {35} \)  -------- (1)

चूँकि दो संख्याओं की पुनरावृत्ति हो रही है, हम दोनों पक्षों को 100 से गुणा करेंगे।

⇒ 100x = 33.535 --------(2)

इसमें से समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:

⇒ 100x - x = 33.535 - 0.335

⇒ 99x = 33.200

⇒ x = \(\frac{33.2}{99}\) = \(\frac{332}{990}\)

इसलिए, \(0.3\overline {35} \) का भिन्नात्मक निरूपण \(\frac{332}{990}\) है।

⇒ 11025 = 5² × 21²

⇒ 6025 = 5² × 241

⇒ 9025 = 5² × 19²

⇒ 3025 = 5² × 11²

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√5 और √7

अवधारणा

परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो या तो सांत, असांत या आवर्ती होती हैं।

गणना

√5 = 2.236 और √7 = 2.64

परिमेय संख्या 2.33... और 2.64... के बीच है।

इसलिए, केवल \(2{2\over5}\) वह संख्या है जो 2.236 और 2.64 के बीच स्थित है।

∴ \(2{2\over5}\), √5 और √7 के बीच परिमेय संख्या है।