संख्या पद्धति MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Number System - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

12, 15 और 18 से विभाज्य सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या M ज्ञात कीजिए।

फिर M को 25 से विभाजित करें और भागफल के अंकों का योग ज्ञात करें।

गणना:

12, 15, 18 का LCM ज्ञात कीजिए

⇒ 12 = 2² × 3

⇒ 15 = 3 × 5

⇒ 18 = 2 × 3²

⇒ LCM = 2² × 3² × 5 = 180

⇒ 180 = 2² × 3² × 5

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, 5 से गुणा करें (5 का वर्ग लुप्त है)

⇒ M = 180 × 5 = 900

⇒ M / 25 = 900 / 25 = 36

36 के अंकों का योग = 3 + 6 = 9

∴ अभीष्ट योग = 9

दिया है:

तीन क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 69 के बराबर है।

प्रयुक्त सूत्र:

औसत = प्रेक्षणों का योग / प्रेक्षणों की संख्या

गणना:

माना ये तीन क्रमागत विषम संख्याएँ x, x + 2 और x + 4 हैं

प्रश्न के अनुसार,

⇒ x + x + 2 + x + 4 = 69 × 3

⇒ 3x + 6 = 207

⇒ 3x = 201

⇒ 67

∴ सबसे छोटी संख्या 67 है।

Shortcut Trick  तीन क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 69 के बराबर है

इसका अर्थ है कि,

67, 69, 71

∴ सबसे छोटी संख्या 67 है।

दिया गया है:

कॉफी पसंद करने वालों की संख्या = n(C) = 23

चाय पसंद करने वालों की संख्या = n(T) = 24

कम से कम चाय और कॉफी पसंद करने वालों की संख्या = n(C ∪ T) = 35

प्रयुक्त सूत्र:

n(C ∪ T) = n(T) + n(C) - n(C ∩ T)

जहाँ, n(C ∩ T) उन लोगों की संख्या है जो कॉफी या चाय दोनों पसंद करते हैं।

गणना:

प्रश्न के अनुसार, हमारे पास है

35 = 23 + 24 - n(C ∩ T)

 ⇒ n(C ∩ T) = 47 – 35

⇒ n(C ∩ T) = 12

∴ कॉफी या चाय दोनों पसंद करने वालों की संख्या 12 है।

दिया गया है:

विभाजित की जाने वाली संख्या = 3087

प्रयुक्त सूत्र:

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे 3087 को विभाजित किया जाए तो भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त होता है, हमें संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की जाँच करनी होगी तथा यह सुनिश्चित करना होगा कि प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक 3 का गुणज हो।

गणना:

3087 के अभाज्य गुणनखंड:

⇒ 3087 = 3 × 1029

⇒ 3087 = 3 × 3 × 343

⇒ 3087 = 3 × 3 × 7 × 49

⇒ 3087 = 3 × 3 × 7 × 7 × 7

⇒ 3087 = 3² × 7³

भागफल को पूर्ण घन बनाने के लिए, सभी अभाज्य गुणनखंड n^3k के रूप में होने चाहिए।

यहाँ 3 का घातांक 2 है, जो 3 का गुणज नहीं है।

हम इसमें से 3² हटा देंगे, ताकि भागफल एक पूर्ण घन हो जाए,

इसलिए, 3087 को विभाजित करने वाली सबसे छोटी संख्या है:

⇒ 3² = 9

इस प्रकार, भागफल को पूर्ण घन बनाने के लिए 3087 को 9 से भाग देना होगा। उत्तर 9 है, चूँकि:

3087 ÷ 9 = 343 = 7³ , जो एक पूर्ण घन है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है:

एक 3-अंकीय संख्या इस प्रकार है:

इकाई अंक दहाई अंक से 2 अधिक है

यदि संख्या में से 311 घटाया जाता है, तो परिणाम 13 है

प्रयुक्त सूत्र:

मान लीजिए कि संख्या को इस प्रकार दर्शाया गया है:
संख्या = 100a + 10b + c

जहाँ:

a = सैकड़े का अंक

b = दहाई का अंक

c = इकाई का अंक

इसके अलावा, c = b + 2

गणना:

(100a + 10b + c) − 311 = 13

⇒ 100a + 10b + c = 324

⇒ 100a + 10b + (b + 2) = 324

⇒ 100a + 11b + 2 = 324

⇒ 100a + 11b = 322

a के मानों का प्रयास करें:

मान लीजिए a = 3

⇒ 100 × 3 + 11b = 322

⇒ 300 + 11b = 322

⇒ 11b = 22

⇒ b = 2

⇒ c = b + 2 = 4

इसलिए, संख्या = 100a + 10b + c = 100 × 3 + 10 × 2 + 4 = 324

जाँच करें: 324 − 311 = 13

अंकों का योग = 3 + 2 + 4 = 9

∴ सही उत्तर 9 है।

दिया गया है :

3240

अवधारणा:

यदि k = ax × by, तो, 

a, और b अभाज्य संख्या होनी चाहिए

सभी गुणनखण्डों का योग = (a0 + a1 + a2 + ….. + ax) (b0 + b1 + b2 + ….. + by)

गणना:

3240 = 23 × 34 × 51

गुणनखण्डों का योग = (20 + 21 + 22 + 23) (30 + 31 + 32 + 33 + 34) (50 + 51)

⇒ (1 + 2 + 4 + 8) (1 + 3 + 9 + 27 + 81) (1 + 5)

⇒ 15 × 121 × 6

⇒ 10890

∴ अभीष्ट योग 10890 है

दिया गया है:-

A+B+C+D+E = Rs. 720 

E - A = 40

प्रयुक्त अवधारणा:-

समांतर श्रेणी -

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d

nवां पद(T_n) = a + (n -1)d

गणना:- 

माना कि, A को रुपये a मिलते हैं और प्रत्येक क्रमागत व्यक्ति के बीच का अंतर d रुपये है।

 धनराशि_E = a + 4d

प्रश्नानुसार,

धनराशिE = धनराशि_A + 40

⇒ a + 4d - a = 40

⇒ 4d = 40

⇒ d = 10

साथ ही,

कुल धनराशि = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d)

⇒ 720 = 5a + 10d

⇒ 720 = 5a + 100

⇒ a = 124

⇒ धनराशि_B = a + d = 124 + 10 = 134 रुपये

Alternate Method

गणना:

A, B, C, D और E

चूंकि प्राप्त धनराशि AP में है,

दो क्रमागत सदस्यों की संख्या में अंतर समान होता है।

⇒ B – A = C – B = D – C = E – D

हमारे पास है, E – A = 40, 

⇒ B – A = 10, C – B = 10, D – C  = 10, E – D = 10,

माना कि A को x रुपये प्राप्त हुए,

तब B, C, D और E प्राप्त करेंगे,

⇒ x + 10, x + 20, x + 30, x + 40

प्रश्नानुसार,

⇒ x + (x + 10) + (x + 20) + (x + 30) + (x + 40) = 720

⇒ 5x + 100 = 720

⇒ 5x = 620

⇒ x = 124

B को प्राप्त होगी = x + 10 = 124 + 10 = 134

∴ B को 134 रुपये की धनराशि प्राप्त होगी

दिया गया है:

सात क्रमागत प्राकृत संख्याओं का योग = 1617

गणना:

मान लीजिए कि संख्याएँ क्रमशः n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6 हैं।

⇒ 7n + 21 = 1617

⇒ 7n = 1596

⇒ n = 228

संख्याएँ 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234 है। 

इनमें से 229, 233 अभाज्य संख्याएँ हैं।

∴ अभीष्ट अभाज्य संख्याएँ 2 हैं। 

दिया गया है:

लकड़ी₁ की लंबाई = 143 मीटर

लकड़ी2 की लंबाई = 78 मीटर

लकड़ी3 की लंबाई = 117 मीटर

गणना:

प्रत्येक तख़्त की अधिकतम संभव लंबाई = 143, 78 और 117 का महत्तम समापवर्तक

143 = 13 × 11

78 = 13 × 2 × 3

117 = 13 × 3 × 3 

महत्तम समापवर्तक 13 है।

∴ प्रत्येक तख़्त की सबसे बड़ी संभव लंबाई 13 मीटर है।

प्रयुक्त अवधारणा:

एक जुड़वां अभाज्य एक अभाज्य संख्या है जो या तो 2 कम है या किसी अन्य अभाज्य संख्या से 2 अधिक है।

दूसरे शब्दों में, यदि (p, p+2) दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, तो उन्हें जुड़वां अभाज्य संख्याएँ माना जाता है।

औपचारिक रूप से, यदि p और p+2 दोनों अभाज्य हैं, तो उन्हें जुड़वां अभाज्य के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, (3, 5), (11, 13), और (17, 19) जुड़वां अभाज्य संख्याओं के युग्म हैं।

गणना:

दो युग्म अभाज्य संख्याओं को जुड़वाँ अभाज्य कहा जाता है।

1 से 100 तक की अभाज्य संख्या 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 है।

विकल्प:

(37, 41) - इनके बीच का अंतर 4 है।

(3, 7) - इनके बीच का अंतर 4 है।

(43, 47) - इनके बीच का अंतर 4 है।

(71, 73) -इनके बीच का अंतर 2 है। 

यहाँ, दिए गए प्रश्न में (71 और 73) अभाज्य संख्याएं है और इनके बीच का अंतर 2 है।

दिया गया है:

चार घंटियाँ शुरुआत में एक साथ बजती हैं और क्रमशः 6 सेकंड, 12 सेकंड, 15 सेकंड और 20 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं।

अवधारणा:

ल.स.प.: यह एक संख्या है जो दो या अधिक संख्याओं की गुणज होती है।

गणना:

(6, 12, 15, 20) का ल.स.प. = 60

सभी 4 घंटियाँ हर 60 सेकंड के बाद पुनः एक साथ बजती हैं

अब,

2 घंटे में, वे एक साथ बजती हैं = [(2 × 60 × 60) / 60] बार + 1 (शुरुआत में) = 121 बार

∴   2 घंटे में वे 121 बार एक साथ बजती हैं

Mistake Points

इस प्रकार के प्रश्न में हम मान लेते हैं कि हमने पहली घंटी बजने के बाद गिनना शुरू किया है। इसके कारण जब हम ल.स.प. की गणना करते हैं तो यह हमें दूसरी बार घंटी बजना देता है पहली बार की नहीं। इसलिए, हमें 1 जोड़ने की आवश्यकता होती है।
  

दिया गया है:

चार घंटियों के बजने का समय 12 सेकंड, 15 सेकंड, 20 सेकंड, 30 सेकंड है।

गणना:

चार घंटियों के बजने का समय 12 सेकंड, 15 सेकंड, 20 सेकंड, 30 सेकंड है।

अब हमें समय अंतराल पर लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेना होगा।

⇒ (12, 15, 20, 30) का LCM = 60

8 घंटे में कुल सेकंड = 8 × 3600 = 28800

घंटी के बजने की संख्या = 28800/60

⇒ घंटी के बजने की संख्या = 480

यदि प्रारंभ में चार घंटियाँ एक साथ बजती हैं।

⇒ 480 + 1 

∴ घंटियां 8 घंटे में 481 बार बजतीं है।

Mistake Pointsएक साथ घंटियाँ बजने लगती हैं, पहली बार घंटी के बजने को भी गिनना पड़ता है, पहली बार के बाद से घंटी के बजने की संख्या है।

दिया है:

दी गयी संख्या 8¹⁰ × 9⁷ × 7⁸ है।

प्रयुक्त संकल्पना:

यदि एक संख्या x^a × y^b × z^c ...... के रूप में है, तो कुल अभाज्य गुणनखंड = a + b + c ..... और इसी प्रकार आगे भी

जहाँ x, y, z, ... अभाज्य संख्याएँ हैं।

गणना:

संख्या 8¹⁰ × 9⁷ × 7⁸ को (2³)¹⁰ × (3²)⁷ × 7⁸ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

संख्या को 2³⁰ × 3¹⁴ × 7⁸ लिखा जा सकता है।

अभाज्य गुणनखण्डों की कुल संख्या = 30 + 14 + 8

∴ अभाज्य गुणनखण्डों की कुल संख्या 52 है।

हम जानते हैं कि,

दो संख्याओं का गुणनफल = ल.स. × उन संख्याओं का म.स.

माना कि दूसरी संख्या x है।

24 × x = 168 × 6

x = 6 × 7

दिया गया है:

676xy, 3, 7 और 11 से विभाज्य है। 

अवधारणा:

जब 676xy, 3, 7 और 11 से विभाज्य है, तो यह 3, 7 और 11 के लघुत्तम समापवर्त्य से भी विभाज्य होगा। 

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल 

गणना:

(3, 7, 11) लघुत्तम समापवर्त्य = 231

5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 67699 लेकर उसे 231 से भाग देने पर।

∵ 67699 = 231 × 293 + 16

⇒ 67699 = 67683 + 16 

⇒ 67699 - 16 = 67683 (231 से पूर्णतः विभाज्य)

∴ 67683 = 676xy (जहाँ x = 8, y = 3)

(3x - 5y) = 3 × 8 - 5 × 3

⇒ 24 - 15 = 9 

∴ अभीष्ट परिणाम = 9