Prime Numbers MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Prime Numbers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

एक अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या होती है जिसके 1 और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होते हैं।

गणना:

विकल्पों की जाँच करें:

73: 73 के अभाज्य गुणनखंड केवल 1 और 73 हैं। इसलिए, 73 एक अभाज्य संख्या है। 80 से दूरी |80 - 73| = 7 है।

79: 79 के अभाज्य गुणनखंड केवल 1 और 79 हैं। इसलिए, 79 एक अभाज्य संख्या है। 80 से दूरी |80 - 79| = 1 है।

81: 81, 3 (81 = 3 × 27) और 9 (81 = 9 × 9) से विभाज्य है। इसलिए, 81 एक अभाज्य संख्या नहीं है।

83: 83 के अभाज्य गुणनखंड केवल 1 और 83 हैं। इसलिए, 83 एक अभाज्य संख्या है। 80 से दूरी |83 - 80| = 3 है।

अभाज्य संख्याओं और 80 से उनकी दूरियों की तुलना करें:

80 से 73 की दूरी 7 है।

80 से 79 की दूरी 1 है।

80 से 83 की दूरी 3 है।

सबसे छोटी दूरी 1 है, जो अभाज्य संख्या 79 से मेल खाती है।

∴ 80 के सबसे निकटतम अभाज्य संख्या 79 है।

प्रयुक्त सूत्र:

एक अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या होती है जिसके 1 और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होते हैं।

गणना:

61: भाजक: 1, 61 (अभाज्य)

47: भाजक: 1, 47 (अभाज्य)

51: भाजक: 1, 3, 17, 51 (अभाज्य नहीं)

59: भाजक: 1, 59 (अभाज्य)

⇒ 51 अभाज्य संख्या नहीं है।

∴ सही उत्तर विकल्प 3 है।

प्रयुक्त अवधारणा:

एक अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या होती है जिसके 1 और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होते हैं।

गणना:

191 की जाँच कीजिए:

191, 1 और स्वयं के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं है।

197 की जाँच कीजिए:

197, 1 और स्वयं के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं है।

199 की जाँच कीजिए:

199, 1 और स्वयं के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं है।

⇒ सभी संख्याएँ 191, 197 और 199 अभाज्य संख्याएँ हैं।

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।

दिया गया है:

तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं का योग 44 है।

प्रयुक्त सूत्र:

अभाज्य संख्याओं का योग = अभाज्य₁ + अभाज्य₂ + अभाज्य₃

गणना:

मान लीजिए कि अभाज्य संख्याएँ p₁, p₂ और p₃ हैं।

दिया गया है कि p₁ + p₂ + p₃ = 44

सबसे बड़ी संभव अभाज्य संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें एक अभाज्य संख्या को अधिकतम करने की आवश्यकता है जबकि यह सुनिश्चित करना है कि योग 44 रहे और सभी संख्याएँ अभाज्य हों।

सबसे बड़ी अभाज्य संख्या पर विचार करते हैं, मान लीजिए p₃ सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है:

यदि p₃ = 37 है, तब:

p₁ + p₂ + 37 = 44

⇒ p₁ + p₂ = 44 - 37

⇒ p₁ + p₂ = 7

संभव अभाज्य युग्म (p₁, p₂) है जो 7 (2, 5) और (5, 2) के योगफल हैं।

इसलिए, अभाज्य संख्याएँ 2, 5 और 37 हैं।

जाँच कीजिए कि क्या कोई बड़ी अभाज्य संख्या है:

यदि p₃ = 41 है, तब:

p₁ + p₂ + 41 = 44

⇒ p₁ + p₂ = 44 - 41

⇒ p₁ + p₂ = 3

संभव अभाज्य युग्म (p₁, p₂) है जो 3 (2, 1) और (1, 2) के योगफल हैं, लेकिन 1 अभाज्य संख्या नहीं है।

यदि p₃ = 43 है, तब:

p₁ + p₂ + 43 = 44

⇒ p₁ + p₂ = 44 - 43

⇒ p₁ + p₂ = 1

संभव अभाज्य युग्म (p₁, p₂) है जो 1 (0, 1) और (1, 0) के योगफल हैं, लेकिन न तो 0 और न ही 1 अभाज्य संख्याएँ हैं।

सबसे बड़ी संभव अभाज्य संख्या 37 है।

प्रयुक्त सूत्र:

यदि दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (GCD) 1 है, तो वे सहअभाज्य होती हैं।

गणना:

1) युग्म (21, 35)

21 = 3 x 7

35 = 5 x 7

GCD (21, 35) = 7

दोनों संख्याएँ सहअभाज्य नहीं हैं।

2) युग्म (19, 27)

19 एक अभाज्य संख्या है।

गलत।

3) युग्म (11, 17)

11 और 17 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं।

गलत।

4) युग्म (8, 25)

8 = 2³

25 = 5²

GCD(8, 25) = 1

8 और 25 दोनों अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।

दोनों संख्याएँ सहअभाज्य हैं।

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

100 और 120 के बीच अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, हम उस श्रेणी में प्रत्येक संख्या की जाँच करेंगे कि क्या वह 1 और स्वयं के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाज्य है।

100 और 120 के बीच की संख्याएँ: 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119 और 120 हैं।

हमें प्राप्त होता हैं कि 100 और 120 के बीच अभाज्य संख्याएँ: 101, 103, 107, 109 और 113 हैं क्योंकि ये 1 को छोड़कर किसी भी संख्या से विभाज्य नहीं हैं।

इस प्रकार, 100 और 120 के बीच पाँच अभाज्य संख्याएँ हैं।

∴ विकल्प 3 सही उत्तर है।

प्रयुक्त अवधारणा:

एक अभाज्य संख्या 1 से बड़ी प्राकृतिक संख्या है जिसका 1 और स्वयं के अलावा कोई धनात्मक विभाजक नहीं होता है।

गणना:

40 और 50 के बीच अभाज्य संख्याएँ 41, 43 और 47 हैं। इसलिए, 40 और 50 के बीच 3 अभाज्य संख्याएँ हैं।

∴ विकल्प 3 सही उत्तर है।

गणना:

20 और 50 के बीच अभाज्य संख्याएँ हैं:

23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

इसलिए, 20 और 50 के बीच 7 अभाज्य संख्याएँ हैं।

दिया गया है: 120, 210 और 330 के विभिन्न सार्व अभाज्य गुणनखंडों के वर्गों का योग है। 

प्रयुक्त अवधारणा: 

गुणनखंड वह संख्या है जो किसी अन्य संख्या को विभाजित करती है और शेषफल नहीं छोड़ती है।

गणना:

120 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 3 × 5

210 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 3 × 5 × 7

330 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 3 × 5 × 11

अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के प्रकट होने की संख्या:

उभयनिष्ठ अभाज्य संख्याएं: 2, 3, 5

विभिन्न सार्व अभाज्य गुणनखंडों के वर्गों का योग:-

⇒ 22 + 32 + 52 = 38

∴ विकल्प 2 सही है।

दिया है:-  तीन अभाज्य संख्याओं का योग 90 है।

ज्ञात करना है:-  एक संख्या को 30 से बढाने पर एक संख्या ज्ञात करें।

प्रयुक्त अवधारणा:- 

गणना:-  मान लीजिए तीन अभाज्य संख्याएँ x, y और z हैं।

प्रश्न के अनुसार-

⇒ x + y + z = 90

शर्त के अनुसार, मान लीजिए x = y + 30

⇒ (y + 30) + y + z = 90

⇒ 2y + z = 60

⇒ \(y=\frac{60-z}{2}\)

चूंकि, संख्या y को पूर्णांक होना चाहिए तो अंश (60 - z) एक पूर्णांक होना चाहिए और 2 से विभाजित करने पर कोई शेष न बचे।

⇒ न्युनतम सम पूर्णांक 2 है, तो z = 2

⇒ \(y=\frac{60-2}{2}\)

⇒ y = 29

x का मान = 90 - (y + z)

⇒ x = 90 - (29 + 2)

⇒ x = 59

.·. उनमें से एक पूर्णांक 59 है। 

दिया गया है:

प्रथम तीन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल 1771 है।

अंतिम दो अभाज्य संख्याओं का योग 82 है।

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि प्रथम तीन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल दिया गया हो तो प्रत्येक विभाज्य भागफल एक अभाज्य संख्या होगी।

गणना:

माना x, y, z, w चार अभाज्य संख्याएँ आरोही क्रम में होंगी।

=> xyz = 1771

=> 7 × 11 × 23 = 1771

इसलिए, पहली तीन अभाज्य संख्याएँ अर्थात् x = 7, y = 11, और z = 23 हैं।

अंतिम दो अभाज्य संख्याओं का योग अर्थात z + w = ​​82

=> 23 + w = 82

=> w = 59

अब हम अंतिम दो अभाज्य संख्याओं के गुणनफल की आसानी से गणना कर सकते हैं

=> zw = 23 × 59 = 1357

अतः अंतिम दो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल '1357' है।

दिया गया है:

1 से 30 के बीच की अभाज्य संख्याएँ।

प्रयुक्त अवधारणा:

अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनके दो गुणनखंड होते हैं - 1 तथा संख्या स्वयं।

गणना:

1 से 30 के बीच की अभाज्य संख्याएँ हैं:

⇒ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29

∴ 1 से 30 के बीच में 10 अभाज्य संख्याएँ होती हैं।

व्याख्या:

(I) सभी अभाज्य संख्याएँ विषम संख्याएँ हैं।

2 एक अभाज्य संख्या है, जो एक सम संख्या है। अतः, असत्य।

(Il) एक अंक वाली केवल पांच अभाज्य संख्याएँ हैं।

2, 3, 5, 7 एक अंक वाली अभाज्य संख्याएँ हैं। अतः, असत्य।

(Ill) अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं।

अपरिमित रूप से कई प्राकृतिक संख्याएँ हैं। अतः, सत्य।

(IV) एक अभाज्य संख्या के केवल दो गुणनखंड होते हैं।

एक अभाज्य संख्या के केवल दो गुणनखंड होते हैं, 1 और स्वयं वह संख्या। अतः, सत्य।

अतः सही विकल्प (III) और (IV) है।

दिया गया है:

विकल्प 1: (15, 141)

विकल्प 2: (15, 94)

विकल्प 3: (15, 235)

विकल्प 4: (51, 141)

अवधारणा:

सह-अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका सार्व गुणनखंड केवल 1 होता है।

गणना:

विकल्प 1: (15, 141) = 1 के अलावा सार्व गुणनखंड 3 है

विकल्प 2: (15, 94) = सार्व गुणनखंड 1 है

विकल्प 3: (15, 235) = 1 के अलावा सार्व गुणनखंड 5 है

विकल्प 4: (51, 141) = 1 के अलावा सार्व गुणनखंड 3 है

⇒ केवल (15, 94) सह-अभाज्य संख्याएँ हैं क्योंकि उनका एकमात्र सार्व गुणनखंड 1 है।

इस प्रकार, युग्म (15, 94) सह-अभाज्य संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है।

अवधारणा:

यदि ax × by × cz और इसी तरह के रूप में एक संख्या दी जाती है। तो, अभाज्य गुणकों की संख्या x + y + z द्वारा दी जाती है। 

यहाँ, a, b और c अभाज्य संख्याएँ हैं। 

गणना:

यहाँ, हमारे पास है, 810 × 97 × 78

⇒ (2³)10 × (3²)7 × 78

⇒ 230 × 32 × 7 × 78

⇒ 230 × 314 × 78

∴ अभाज्य गुणकों की संख्या = 30 + 14 + 8 = 52

अतः, दी गई संख्या के अभाज्य गुणकों की संख्या 52 है।