पूर्णांक MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

अभाज्य संख्या एक ऐसी संख्या है जो केवल स्वयं और 1 से विभाज्य होती है (उदाहरण- 2, 3, 5, 7, 11)।

गणना:

अभाज्य संख्याएँ जो 20 से छोटी हैं

⇒ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

अब, ऐसी 8 संख्याएँ हैं।

∴ 8 अभाज्य संख्याएँ 20 से छोटी हैं।

दिया गया है:

जब दो अंकों वाली संख्या के अंकों को उलट दिया जाता है, तो संख्या का मान 45 बढ़ जाता है।

अंकों का योग 11 है।

प्रयुक्त सूत्र:

मान लीजिए मूल संख्या 10x + y है, जहाँ x और y संख्या के अंक हैं।

उलटी संख्या = 10y + x

दिया गया है कि उलटी संख्या मूल संख्या से 45 अधिक है:

10y + x = 10x + y + 45

दिया गया है कि अंकों का योग 11 है:

x + y = 11

गणना:

समीकरण 10y + x = 10x + y + 45 से:

⇒ 10y + x - 10x - y = 45

⇒ 9y - 9x = 45

⇒ y - x = 5

हमारे पास दो समीकरण हैं:

1) x + y = 11

2) y - x = 5

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

⇒ (x + y) + (y - x) = 11 + 5

⇒ 2y = 16

⇒ y = 8

x + y = 11 में y = 8 प्रतिस्थापित करने पर:

⇒ x + 8 = 11

⇒ x = 3

मूल संख्या = 10x + y

⇒ 10(3) + 8

⇒ 30 + 8

⇒ 38

मूल संख्या 38 है।

अभाज्य संख्या एक संख्या है जिसके केवल दो गुणक 1 और स्वयं संख्या होती है।

जैसा कि प्रत्येक संख्या स्वयं संख्या का एक गुणक है।

इसलिए दो अंकों की अभाज्य संख्या, जो अंकों को परस्पर बदलने पर भी अभाज्य बनी रहती हैं-

11,13,17,31,37,71,73,79,97

∴ 10 से 100 के बीच "9" दो-अंकीय अभाज्य संख्याएं हैं जो अभाज्य संख्याएं बनी रहती है जब उनके अंको का क्रम उलट दिया जाता है।

दिया गया है :

X और Y, 1 के अतिरिक्त अन्य प्राकृतिक संख्याएं हैं, और X की तुलना में Y बड़ा है

गणना :

1 < X < Y  

माना X, 2 और Y, 3 है।         (X और Y प्राकृतिक संख्या हैं)

अब मान प्राप्त करने के लिए प्रत्येक विकल्प में मान रखने पर

विकल्प (1) ⇒ XY = 2 × 3 = 6 

विकल्प (2) ⇒ X/Y = 2/3 

विकल्प (3) ⇒ Y/X = 3/2 

विकल्प (4) ⇒ (X + Y)/XY = 5/6 

हम देख सकते हैं कि विकल्प 1 सभी के बीच उच्चतम मान दर्शाता है 

∴ विकल्प 1 सही विकल्प होगा। 

दिया गया है:

दो मात्राओ का योग = उनके अंतर का 6 गुना

प्रयुक्त सूत्र:

मान लीजिए कि दो मात्राए a और b हैं जहाँ a > b

दी गई शर्त के अनुसार:

a + b = 6(a - b)

गणना:

दिया गया है:

a + b = 6(a - b)

सबसे पहले, समीकरण को सरल करें:

⇒ a + b = 6a - 6b

समान पदों को मिलाएँ:

⇒ a + b - 6a + 6b = 0

⇒ -5a + 7b = 0

⇒ 7b = 5a

दोनों पक्षों को a और b से विभाजित करें:

⇒ (a)/(b) = (7)/(5)

इसलिए, दो मात्राओ का अनुपात है:

7 ∶ 5

सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया है:-

A+B+C+D+E = Rs. 720 

E - A = 40

प्रयुक्त अवधारणा:-

समांतर श्रेणी -

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d

nवां पद(T_n) = a + (n -1)d

गणना:- 

माना कि, A को रुपये a मिलते हैं और प्रत्येक क्रमागत व्यक्ति के बीच का अंतर d रुपये है।

 धनराशि_E = a + 4d

प्रश्नानुसार,

धनराशिE = धनराशि_A + 40

⇒ a + 4d - a = 40

⇒ 4d = 40

⇒ d = 10

साथ ही,

कुल धनराशि = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d)

⇒ 720 = 5a + 10d

⇒ 720 = 5a + 100

⇒ a = 124

⇒ धनराशि_B = a + d = 124 + 10 = 134 रुपये

Alternate Method

गणना:

A, B, C, D और E

चूंकि प्राप्त धनराशि AP में है,

दो क्रमागत सदस्यों की संख्या में अंतर समान होता है।

⇒ B – A = C – B = D – C = E – D

हमारे पास है, E – A = 40, 

⇒ B – A = 10, C – B = 10, D – C  = 10, E – D = 10,

माना कि A को x रुपये प्राप्त हुए,

तब B, C, D और E प्राप्त करेंगे,

⇒ x + 10, x + 20, x + 30, x + 40

प्रश्नानुसार,

⇒ x + (x + 10) + (x + 20) + (x + 30) + (x + 40) = 720

⇒ 5x + 100 = 720

⇒ 5x = 620

⇒ x = 124

B को प्राप्त होगी = x + 10 = 124 + 10 = 134

∴ B को 134 रुपये की धनराशि प्राप्त होगी

दिया गया है:

सात क्रमागत प्राकृत संख्याओं का योग = 1617

गणना:

मान लीजिए कि संख्याएँ क्रमशः n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6 हैं।

⇒ 7n + 21 = 1617

⇒ 7n = 1596

⇒ n = 228

संख्याएँ 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234 है। 

इनमें से 229, 233 अभाज्य संख्याएँ हैं।

∴ अभीष्ट अभाज्य संख्याएँ 2 हैं। 

प्रयुक्त अवधारणा:

एक जुड़वां अभाज्य एक अभाज्य संख्या है जो या तो 2 कम है या किसी अन्य अभाज्य संख्या से 2 अधिक है।

दूसरे शब्दों में, यदि (p, p+2) दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, तो उन्हें जुड़वां अभाज्य संख्याएँ माना जाता है।

औपचारिक रूप से, यदि p और p+2 दोनों अभाज्य हैं, तो उन्हें जुड़वां अभाज्य के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, (3, 5), (11, 13), और (17, 19) जुड़वां अभाज्य संख्याओं के युग्म हैं।

गणना:

दो युग्म अभाज्य संख्याओं को जुड़वाँ अभाज्य कहा जाता है।

1 से 100 तक की अभाज्य संख्या 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 है।

विकल्प:

(37, 41) - इनके बीच का अंतर 4 है।

(3, 7) - इनके बीच का अंतर 4 है।

(43, 47) - इनके बीच का अंतर 4 है।

(71, 73) -इनके बीच का अंतर 2 है। 

यहाँ, दिए गए प्रश्न में (71 और 73) अभाज्य संख्याएं है और इनके बीच का अंतर 2 है।

गणना:

\(\frac{{45}}{{53}} = \frac{1}{{a + \frac{1}{{b + \frac{1}{{c - \frac{2}{5}}}}}}}\)

\(⇒ \frac{1}{{1 \; + \;\frac{8}{{45}}}} = \frac{1}{{a\; +\; \frac{1}{{b\;+ \;\frac{1}{{c\; -\; \frac{2}{5}}}}}}}\)

\(⇒ \frac{1}{{1\; + \;\frac{1}{{5\; + \;\frac{5}{8}}}}} = \frac{1}{{a\; +\; \frac{1}{{b\;+ \;\frac{1}{{c\; -\; \frac{2}{5}}}}}}}\)

\(⇒ \frac{1}{{1\; + \;\frac{1}{{5\; + \;\frac{1}{{2 \;- \;\frac{2}{5}}}}}}} = \frac{1}{{a\; +\; \frac{1}{{b\;+ \;\frac{1}{{c\; -\; \frac{2}{5}}}}}}}\)

दोनों ओर की तुलना करने पर

⇒ a = 1, b = 5 और c = 2

(4a – b + 3c) का मान = 4 × 1 – 5 + 3 × 2

⇒ 10 – 5 = 5

∴ 4a – b + 3c का मान 5 है।

दिया गया है:

142! में अनुगामी शून्यों की संख्या

प्रयुक्त अवधारणा:

n! में अनुगामी शून्यों की संख्या = n!, 10 से जितनी बार विभाज्य होता है = 10 की उच्चतम घात जो n! को विभाजित करती है = n! में 5 की उच्चतम घात

गणना:

प्रश्नानुसार,

142/5 = 28

28/5 = 5

5/5 = 1

⇒ 375/5 = 75

⇒ 75/5 = 15

⇒ 15/5 = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

किसी संख्या के गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करने के लिए हम उस संख्या के अभाज्य गुणनखंड करते हैं। 

यदि X = p₁^a × p₂^b, तो

X के गुणनखंडों की संख्या = (a + 1) × (b + 1)

जहाँ, p1, p2 → X के अभाज्य गुणनखंड 

गणना:

अब, 40 = 2³ × 5¹

⇒ 40 के गुणनखंडों की संख्या = (3 + 1) × (1 + 1) = 4 × 2 = 8

∴ 40 के गुणनखंडो की संख्या 8 है।

त्रि कोणीय संख्या निम्नलिखित शर्तों को पूरा करेगी,

Xn = n(n + 1) /2

⇒ X1 = 1

⇒ X2 = 3

⇒ X3 = 6

⇒ X4 = 10

⇒ X5 = 15

⇒ एक संयुक्त संख्या धनात्मक संख्या होती है जो अभाज्य नहीं होती है (अर्थात् जिसके 1 और स्वयं के अलावा अन्य गुणज होते हैं)।

⇒ 943 का अभाज्य गुणज = 23 × 41

⇒ 323 का अभाज्य गुणज= 17 × 19

⇒ 713 का अभाज्य गुणज = 23 × 31

⇒ 409 का अभाज्य गुणज = 1 × 409 

∴ 409 संयुक्त संख्या नहीं है क्योंकि इसमें 1 और स्वयं के अलावा कोई गुणज नहीं होते हैं।

⇒ 60 × 18 × 15

⇒ (4 × 3 × 5) × (2 × 9) × (3 × 5)

⇒ 2³ × 3⁴ × 5²

∴ व्यंजक के गुणनखंडों की संख्या,