Elastic Limit and Constants MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Elastic Limit and Constants - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

समदैशिक पदार्थ के लिए प्रत्यास्थता मापांक (E) और अपरूपण मापांक (G) के बीच संबंध निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

E=2G(1+μ)

अतिरिक्त जानकारीप्रत्यास्थता मापांक (E):

1. परिभाषा: प्रत्यास्थता मापांक (E), जिसे यंग मापांक के रूप में भी जाना जाता है, एक पदार्थ गुण है जो एकल अक्षीय तनन या संपीडन प्रतिबल के प्रति प्रतिक्रिया में पदार्थ की कठोरता को मापता है। इसे पदार्थ के प्रतिबल-विकृति वक्र के प्रत्यास्थ क्षेत्र में प्रतिबल के विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

2. महत्व: उच्च E मान का अर्थ है कि पदार्थ अधिक कठोर है और प्रतिबल के तहत कम विकृत होता है। यह संरचनात्मक डिजाइन और सामग्री चयन में एक महत्वपूर्ण कारक है।

3. उदाहरण: स्टील में रबर की तुलना में उच्च E मान होता है, जिसका अर्थ है कि स्टील समान भार के तहत रबर की तुलना में बहुत अधिक कठोर और कम विकृत होता है।

अपरूपण मापांक (G):

1. परिभाषा: अपरूपण मापांक (G), जिसे दृढ़ता मापांक के रूप में भी जाना जाता है, अपरूपण प्रतिबल (बल जो पदार्थ की परतों को खिसकाकर विकृति का कारण बनते हैं) के प्रति पदार्थ की प्रतिक्रिया को मापता है। इसे पदार्थ के व्यवहार के प्रत्यास्थ क्षेत्र में अपरूपण प्रतिबल के अपरूपण विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

2. महत्व: G इंगित करता है कि अपरूपण बलों के तहत एक पदार्थ कितनी आसानी से विकृत होता है। उच्च G वाले पदार्थ अपरूपण बलों के अधीन आकार परिवर्तनों का प्रतिरोध करते हैं।

3. उदाहरण: स्टील में रबर की तुलना में उच्च G होता है, जिसका अर्थ है कि स्टील रबर की तुलना में अपरूपण बलों के तहत विकृति का अधिक प्रभावी ढंग से प्रतिरोध करता है।

संकल्पना:

प्रत्यास्थ नियतांक - E, K, G(या C) और μ के बीच संबंध:

\(E = 2G (1 + μ)\)

\(E = 3K (1 - 2μ)\)

\({\rm{E}} = \frac{{9{\rm{KC}}}}{{3{\rm{K}} + {\rm{C}}}}\)

जहां,

E = यंग का दृड़ता का मापांक = प्रतिबल/ विकृति

C = अपरूपण मापांक या दृड़ता का मापांक =

अपरूपण प्रतिबल/ अपरूपण विकृति

μ = प्वासों अनुपात = - पार्श्व विकृति / अनुदैर्ध्य विकृति

K = प्रत्यास्थता का आयतन मापांक = आयतनी प्रतिबल/ आयतनी विकृति​​

प्वासों का अनुपात:

\(μ = {- {lateral strain \over longitudinal strain}}\)

गणना:

दिये गए आंकड़े

d = 25 mm और L = 1.2 m

E = 2 x 105 N/mm2.

अनुदैर्ध्य विकृति = पार्श्व विकृति की 4 गुना

प्वासों का अनुपात:

\(μ = {- {lateral strain \over longitudinal strain}} = {1 \over 4}\) = 0.25

अब प्रत्यास्थ नियतांक के संबंध का उपयोग करते हुए

\(E = 2G (1 + μ)\)

 \(G = \frac{E}{{2\left( {1 + \mu } \right)}} = \frac{{2 \times {{10}^5}}}{{2\left( {1 + 0.25} \right)}}\)

G = 0.8 × 105 N/mm2

व्याख्या:

तन्य पदार्थ के लिए एक सामान्य प्रतिबल-विकृति आरेख में, बिंदु आमतौर पर निम्नलिखित का प्रतिनिधित्व करते हैं:

• बिंदु 1: आनुपातिक सीमा या प्रत्यास्थ सीमा। यह वह बिंदु है जहाँ तक पदार्थ हुक के नियम का पालन करता है, जिसका अर्थ है कि प्रतिबल विकृति के सीधे आनुपातिक है।
• बिंदु 2: उपज बिंदु (अक्सर निचला उपज बिंदु)। यह वह बिंदु है जिस पर पदार्थ प्लास्टिक रूप से विकृत होना शुरू हो जाता है। इस बिंदु से आगे, भार हटाने पर पदार्थ अपने मूल आकार में वापस नहीं आएगा।
• बिंदु 3: ऊपरी उपज बिंदु। यह अधिकतम प्रतिबल है जो उपज शुरू होने से ठीक पहले होता है। यह आमतौर पर निचले उपज बिंदु से थोड़ा अधिक होता है।
• बिंदु 4: परम प्रतिबल। यह अधिकतम प्रतिबल है जो पदार्थ गर्दन बनने से पहले झेल सकता है। इस बिंदु से आगे, पदार्थ विफल होना शुरू हो जाएगा।
• बिंदु 5: भंग या भंग बिंदु। यह वह बिंदु है जिस पर पदार्थ अंततः विफल हो जाता है और टूट जाता है।

व्याख्या:

आयतन विकृति और बल्क मापांक

• आयतन विकृति (ε_v) एक लागू समान हाइड्रोस्टेटिक दबाव के जवाब में एक पदार्थ की विकृति का एक माप है। इसे मूल आयतन (V₀) से परिवर्तित आयतन (ΔV) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

बल्क मापांक (K):

• बल्क मापांक (K) एक समान संपीड़न के लिए एक पदार्थ के प्रतिरोध का एक माप है। इसे लागू हाइड्रोस्टेटिक दबाव (P) के परिणामी आयतन विकृति (ε_v) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

गणितीय संबंध: बल्क मापांक, दबाव और आयतन विकृति के बीच संबंध समीकरण द्वारा दिया गया है:

\(K = \frac{- P} { ε_v}\)

जहाँ:

• K = बल्क मापांक
• P = लागू हाइड्रोस्टेटिक दबाव
• ε_v = आयतन विकृति

ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि दबाव में वृद्धि से आयतन में कमी आती है, जिसके परिणामस्वरूप ऋणात्मक आयतन विकृति होती है।

जब समान लागू हाइड्रोस्टेटिक दबाव (P) को बनाए रखते हुए किसी पदार्थ के बल्क मापांक (K) को बढ़ाया जाता है, तो परिणामी आयतन विकृति (ε_v) घट जाएगी। ऐसा इसलिए है क्योंकि बल्क मापांक आयतन विकृति के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

संप्रत्यय:

प्रत्यास्थता में, तीन प्रमुख स्थिरांक अक्सर उपयोग किए जाते हैं: यंग प्रत्यास्थता गुणांक (E), आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (K), और अपरूपण गुणांक (G), साथ ही प्वासों अनुपात (ν). ये स्थिरांक परस्पर संबंधित हैं।

E, K और ν के बीच संबंध:

यंग प्रत्यास्थता गुणांक (E), आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (K), और प्वासों अनुपात (ν) के बीच संबंध है,

\(E = 3K(1 - 2\nu)\) ................ (1)

E, G और ν के बीच संबंध:

यंग प्रत्यास्थता गुणांक (E), अपरूपण गुणांक (G), और प्वासों अनुपात (ν) के बीच संबंध है,

\(G = \frac{E}{2(1 + \nu)}\) ....................... (2)

K और ν के पदों में G प्राप्त करने के लिए, पहले समीकरण से E का मान दूसरे में प्रतिस्थापित करें:

\(G = \frac{3K(1 - 2\nu)}{2(1 + \nu)}\)

वर्णन:

प्वासों का अनुपात:

प्वासों का अनुपात अनुप्रस्थ विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात होता है।

\(μ = - \frac{{{\epsilon_{(lateral)}}}}{{{\epsilon_{(longitudinal)}}}}\)

अलग-अलग पदार्थो के लिए प्वासों के अनुपात का मान निम्न है:

वर्णन:

समानुवर्ती पदार्थ का अर्थ सभी दिशाओं के समरूप मान वाला पदार्थ होता है। कांच और धातु समानुवर्ती पदार्थ के उदाहरण हैं।

सजातीय पदार्थ एकसमान संघटन वाला एक पदार्थ होता है जिसे पूर्ण रूप से अलग-अलग पदार्थो में यांत्रिक रूप से अलग नहीं किया जा सकता है।

असमानुवर्ती पदार्थ के गुण जैसे यंग का मापांक वस्तु की दिशा के साथ परिवर्तित होते हैं। असमानुवर्ती पदार्थ के सामान्य उदाहरण लकड़ी और यौगिक हैं।

श्यान-प्रत्यास्थ पदार्थ में प्रत्यास्थता और श्यानता दोनों गुण होते हैं।

स्पष्टीकरण:

समदैशिक सामग्री:

• समदैशिक सामग्रियों में हर दिए गए बिंदु पर सभी दिशाओं में समान भौतिक गुण होते हैं ।
• जब किसी विशिष्ट भार को समदैशिक सामग्रियों के किसी भी बिंदु पर लागू किया जाता है, तो यह x, y या z- अक्ष दिशा में समान सामर्थ्य, प्रतिबल, विकृति, यंग मापांक और कठोरता प्रदर्शित करेगा।

उदाहरण: धातु, चश्मा।

• लगभग हर धातु सूक्ष्म स्तर पर समदैशिक व्यवहार प्रदर्शित करता है क्योंकि सभी एकल-क्रिस्टल सिस्टम यांत्रिक गुणों के संबंध में समानुवर्ती हैं।
• कुछ असाधारण मामले हैं जहां धातु सूक्ष्म स्तर पर विषमदैशिक व्यवहार का प्रदर्शन करती हैं।
• सूक्ष्म-स्तर पर विषमदैशिक व्यवहार का यादृच्छिक स्थानीय वितरण एक-दूसरे को रद्द करता है और स्थूल स्तर पर शुद्ध प्रभाव समदैशिक व्यवहार है।

हुक के नियम का पालन करनेवाली एक समदैशिक, सजातीय और प्रत्यास्थ सामग्री के लिए, स्वतंत्र प्रत्यास्थ स्थिरांकों की संख्या 2 है।

इसका मतलब यह है कि समदैशिक सामग्री के प्रत्यास्थ व्यवहार को पूरी तरह से परिभाषित करने के लिए केवल 2 प्रत्यास्थ स्थिरांक काफी हैं।

E = 2G (1 + μ) = 3K(1 - 2μ)

जैसा कि उपरोक्त समीकरणों में देखा गया है कि कुल 4 प्रत्यास्थ स्थिरांक हैं।

यदि हम उनमें से दो को जानते हैं, तो हम अन्य स्थिरांक भी पा सकते हैं।

∴ समदैशिक सामग्री के लिए प्रतिबल-विकृति संबंध को परिभाषित करने के लिए 2 स्वतंत्र प्रत्यास्थ स्थिरांक आवश्यक हैं।

Additional Information

लंबदैशिक सामग्री

• एक सामग्री को लंबदैशिक कहा जाता है यदि इसमें तीन परस्पर लंबवत दिशाओं में तीन अलग-अलग गुण हैं।
• लंबदैशिक सामग्री के लिए प्रतिबल-विकृति संबंध को परिभाषित करने के लिए 9 स्वतंत्र प्रत्यास्थ स्थिरांक आवश्यक हैं।

विषमदैशिक सामग्री

• एक सामग्री को विषमदैशिक कहा जाता है यदि इसमें प्रत्येक दिशा में अलग-अलग गुण हैं।
• विषमदैशिक सामग्री के लिए प्रतिबल-विकृति संबंध को परिभाषित करने के लिए 21 स्वतंत्र प्रत्यास्थ स्थिरांक आवश्यक हैं।

संकल्पना:

प्रत्यास्थता मापांक, आयतन प्रत्यास्थता मापांक और प्वासों के अनुपात के बीच संबंध  निम्नवत है

\(E=3K(1-2\mu)\)

प्रत्यास्थता मापांक, दृढ़ता मापांक और प्वासों के अनुपात के बीच संबंध निम्नवत है

\(E=2G(1+\mu)\)

प्रत्यास्थता मापांक, दृढ़ता मापांक और आयतन प्रत्यास्थता मापांक के बीच संबंध निम्नवत है

\(E={9KG\over{G+3K}}\)

अतः इन सभी समीकरण को संयोजित करने और हल करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(\begin{array}{l} \mu = \frac{{3K - 2G}}{{6K + 2G}} \end{array}\)

गणना:

दिया गया डेटा है;

E= 240 GPa

μ = 0.2

प्रत्यास्थता मापांक, दृढ़ता के मापांक और पॉइसन के अनुपात के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया गया है

\(E=2G(1+μ)\)

\(G={E\over2(1+μ)}\)

\(G={240\over2(1+0.2)}\)

G= 100 GPa

अवधारणा:

 E, K और μ के बीच संबंध है:

E = 2C (1 + μ)

E = 3K (1 - 2μ)

\({\rm{E}} = \frac{{9{\rm{K}}}}{{3{\rm{K}} + {\rm{C}}}}\)

जहां,

E = दृढ़ता का यंग मापांक = प्रतिबल / विकृति

N = अपरूपण मापांक अथवा दृढ़ता मापांक = अपरूपण प्रतिबल / अपरूपण विकृति

μ = प्वासों का अनुपात = - पार्श्व विकृति / अनुदैर्ध्य विकृति

K = आयतन प्रत्यास्थता मापांक=आयतनिक प्रतिबल /आयतनिक विकृति

गणना:

E = 2N (1 + μ)

E = 2N डालें, हमें मिलता है μ = 0

अब E = 3K (1 - 2μ) लें

E = 3 K (1 - 0)

∴ K = E/3

वर्णन:

प्वासों का अनुपात अनुप्रस्थ विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात होता है। 

\(\mu = - \frac{{{\epsilon_{(lateral)}}}}{{{\epsilon_{(longitudinal)}}}}\)

पूर्ण रूप से समानुवर्ती प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए प्वासों का अनुपात 0.25 होता है लेकिन अधिकांश पदार्थ के लिए यह निम्न है। 

प्वासों के अनुपात का मान 0 से 0.5 की सीमा में होता है। 

विभिन्न पदार्थो के लिए प्वासों का अनुपात निम्न हैं:

• कॉर्क: 0.0
• एल्युमीनियम: 0.31
• कच्चा लोहा: 0.21 – 0.26
• इस्पात: 0.27 – 0.30
• जंगरोधी इस्पात: 0.30 – 0.31
• तांबा: 0.33
• रबर: 0.5

व्याख्या:

हुक के नियम का पालन करने वाले एक समदैशिक, सजातीय और प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए, स्वतंत्र प्रत्यास्थता स्थिरांक की संख्या 2 (यंग का मापांक और पॉइसन का अनुपात) है।

संकल्पना:

E = 2G(1 + v) 

जहाँ E = प्रत्यास्थता का मापांक, G = रुक्षता का मापांक, v = प्वासों का अनुपात। 

गणना:

दिया गया है:

प्वासों का अनुपात, v = 0.25

रुक्षता का मापांक और प्रत्यास्थता के मापांक का अनुपात = \(\frac{G}{E}\)

\(\frac{G}{E} = \frac{1}{{2\left( {1 + v} \right)}}\)

\(\frac{G}{E} = \frac{1}{{2\left( {1 + 0.25} \right)}}\)

\(\frac{G}{E} = 0.4\)

अतः रुक्षता का मापांक और प्रत्यास्थता के मापांक के अनुपात का आवश्यक मान 0.4 है। 

स्पष्टीकरण:

• एक समदैशिक, सजातीय और प्रत्यास्थ सामग्री, जो हुक के नियम का पालन करती है, के लिए स्वतंत्र प्रत्यास्थ स्थिरांकों की संख्या 2 है (यंग स्थिरांक एवं प्वासों अनुपात)
• एक लंबदिश के लिए, स्वतंत्र प्रत्यास्थ स्थिरांकों की संख्या 9 है।
• विषमदैशिक माध्यम के लिए, स्वतंत्र प्रत्यास्थ स्थिरांकों की संख्या 21 है।

स्पष्टीकरण

दिया गया है: -

अपरुपण प्रतिबल, τ = 100 MPa

प्रत्यास्थता का मापांक E = 200 GPa

प्वासों का अनुपात, μ = 0.25

हम जानते हैं कि,

दृढ़ता मापांक (G) को अपरूपण प्रतिबल और अपरूपण विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

और,

\( \Rightarrow G = \frac{{200}}{{2\left( {1 + 0.25} \right)}} = 80\;GPa\)

तब,
\(G = \frac{\tau }{\gamma }\)

\( \Rightarrow \gamma = \frac{{100}}{{80 \times {{10}^3}}} = 0.00125\;rad\)