Shear Force and Bending Moment MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Shear Force and Bending Moment - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

केंद्र में आघूर्ण के साथ सरल सहारा वाला बीम

समस्या कथन: 5 मीटर के विस्तार वाले एक सरल सहारा वाले बीम के मध्य में 20 N-m (वामावर्त दिशा में) का आघूर्ण लगाया जाता है। हमें बीम के दोनों सिरों पर प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करने का काम सौंपा गया है।

समाधान:

आइए हम समस्या का चरण दर चरण विश्लेषण करें:

हम प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए एक स्थिर प्रणाली के लिए संतुलन की स्थितियों का उपयोग करते हैं:

1. बीम विन्यास को समझना:
   • बीम सरल सहारा वाला है, जिसका अर्थ है कि इसके एक सिरे पर एक काज सहारा और दूसरे सिरे पर एक रोलर सहारा है।
   • बीम का विस्तार 5 मीटर है।
   • बीम के मध्य बिंदु पर 20 N-m का आघूर्ण वामावर्त दिशा में लगाया जाता है।
2. सरल सहारा वाले बीम में प्रतिक्रिया बल:
   • एक सरल सहारा वाले बीम में, सहारे पर प्रतिक्रियाएँ ऊर्ध्वाधर बल होती हैं। आइए इन प्रतिक्रियाओं को RA (बाएँ सहारे पर) और RB (दाएँ सहारे पर) के रूप में दर्शाया जाए।
   • चूँकि बीम पर कोई ऊर्ध्वाधर भार लागू नहीं किया गया है (केवल एक आघूर्ण लगाया गया है), ऊर्ध्वाधर बलों का योग शून्य होना चाहिए। इसका तात्पर्य है कि सहारे पर ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रियाएँ परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होंगी।
3. संतुलन की स्थिति:

   बीम पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बलों का योग शून्य होना चाहिए:

   ΣFy = 0

   RA + RB = 0 (1)

   बीम पर किसी भी बिंदु के बारे में आघूर्णों का योग भी शून्य होना चाहिए। आइए हम बिंदु A (बाएँ सहारे) के बारे में आघूर्ण लें:

   ΣMA = 0

   B पर प्रतिक्रिया के कारण आघूर्ण: (RB × 5)

   बीम के केंद्र पर लगाया गया बाहरी आघूर्ण: 20 N-m (वामावर्त)

   आघूर्णों को बराबर करना:

   (RB × 5) - 20 = 0

   RB = 20 ÷ 5 = 4 N (2)

   समीकरण (1) से:

   RA + RB = 0

   RA = -RB

   RA = -4 N (3)

   • ऊर्ध्वाधर बलों का योग:
   • आघूर्णों का योग:
   • समीकरण (1) में RB प्रतिस्थापित करें:

अंतिम प्रतिक्रियाएँ:

• बाएँ सहारे पर प्रतिक्रिया (RA): -4 N
• दाएँ सहारे पर प्रतिक्रिया (RB): 4 N

RA का ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि बाएँ सहारे पर प्रतिक्रिया की दिशा नीचे की ओर है, जबकि दाएँ सहारे पर प्रतिक्रिया ऊपर की ओर है।

सही विकल्प: विकल्प 1) 4 N, -4 N

Additional Information

विश्लेषण को और अधिक समझने के लिए, आइए मूल्यांकन करें कि अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:

विकल्प 2: 8 N, -8 N

यह विकल्प बताता है कि समर्थनों पर अभिक्रियाएँ 8 N (एक समर्थन पर ऊपर की ओर और दूसरे पर नीचे की ओर) होती हैं। हालाँकि, यह गलत है क्योंकि लागू क्षण (20 Nm) के परिणामस्वरूप केवल 4 N और -4 N की अभिक्रियाएँ होती हैं। संतुलन समीकरणों के आधार पर 8 N का परिमाण गलत है।

विकल्प 3: 5 N, -5 N

यह विकल्प मानता है कि अभिक्रियाएँ 5 N (ऊपर और नीचे) हैं। हालाँकि, यह 20 Nm के लागू क्षण के साथ असंगत है। संतुलन समीकरणों का उपयोग करते हुए, अभिक्रियाएँ 4 N और -4 N होनी चाहिए, न कि 5 N और -5 N।

विकल्प 4: N, -2 N

यह विकल्प अधूरा है और प्रतिक्रियाओं के लिए कोई वैध संख्यात्मक मान प्रदान नहीं करता है। इसके अतिरिक्त, मान दिए गए लागू क्षण के लिए संतुलन समीकरणों को संतुष्ट नहीं करते हैं।

निष्कर्ष:

सरल समर्थित बीम के समर्थन पर सही प्रतिक्रियाएँ दाएं समर्थन पर 4 N (ऊपर की ओर) और बाएं समर्थन पर -4 N (नीचे की ओर) हैं। यह ऊर्ध्वाधर बल संतुलन और क्षण संतुलन दोनों स्थितियों को संतुष्ट करता है। इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1: 4 N, -4 N है।

व्याख्या:

कैंटीलीवर बीम समान रूप से वितरित भार वहन करता है:

अपरूपण बल:

SFxx = wx

अपरूपण बल आरेख एक त्रिभुज है जिसका मुक्त सिरे पर शून्य और स्थिर सिरे पर WL है ∴ यह रैखिक है।

बंकन आघूर्ण:

\(B{M_{xx}} = w\frac{{{x^2}}}{2}\)

किसी भी अनुभाग पर बंकन आघूर्ण मुक्त सिरे से अनुभाग की दूरी के वर्ग के समानुपाती होता है। यह एक परवलयाकार आकार का पालन करता है।

व्याख्या:

L मीटर लंबाई वाली एक कैंटिलीवर बीम जिस पर M N-m/m तीव्रता का एकसमान आघूर्ण उसकी पूरी लंबाई में लगता है, संरचनात्मक यांत्रिकी में विश्लेषण करने के लिए एक रोचक मामला है। कैंटिलीवर बीम की लंबाई के साथ अपरूपण बल वितरण के बारे में सही कथन को समझने के लिए, हमें बीम सिद्धांत और आघूर्ण वितरण की मूल अवधारणाओं में तल्लीन करने की आवश्यकता है।

अपरूपण बल और आघूर्ण वितरण को समझना:

बीम सिद्धांत में, अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण दो महत्वपूर्ण पैरामीटर हैं जो बाहरी भार के अधीन एक बीम के भीतर आंतरिक बलों का वर्णन करते हैं। बीम के किसी भी भाग में अपरूपण बल बीम पर बाईं या दाईं ओर कार्य करने वाले सभी ऊर्ध्वाधर बलों का योग है। किसी भी भाग में बंकन आघूर्ण उस भाग के बारे में बाहरी भार के कारण आघूर्णों का योग है।

एकसमान आघूर्ण के अधीन एक कैंटिलीवर बीम के लिए, बीम की लंबाई के साथ आघूर्ण वितरण स्थिर होता है। एकसमान आघूर्ण का अर्थ है कि बीम की लंबाई के प्रत्येक बिंदु पर, M N-m/m तीव्रता का एक आघूर्ण कार्य कर रहा है।

अपरूपण बल गणना:

बीम में अपरूपण बल वितरण का निर्धारण करने के लिए, हमें बीम की संतुलन स्थितियों पर विचार करने की आवश्यकता है। एकसमान आघूर्ण के अधीन एक कैंटिलीवर बीम में, आघूर्ण पूरी लंबाई में स्थिर होता है। चूँकि आघूर्ण समान रूप से वितरित है, इसलिए कोई बिंदु भार या वितरित भार नहीं हैं जो बीम के साथ अपरूपण बल में परिवर्तन का कारण बनते हैं।

मुख्य बिंदु: ऊर्ध्वाधर भार के अभाव में, बीम में अपरूपण बल उसकी पूरी लंबाई में शून्य रहता है।

इसे बीम सिद्धांत में अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण के बीच विभेदक संबंधों पर विचार करके और स्पष्ट किया जा सकता है। अपरूपण बल (V) और बंकन आघूर्ण (M) निम्नलिखित विभेदक समीकरण से संबंधित हैं:

dM/dx = V

जहाँ:

• dM/dx बीम की लंबाई के संबंध में बंकन आघूर्ण के परिवर्तन की दर है।
• V किसी विशेष भाग में अपरूपण बल है।

चूँकि बंकन आघूर्ण 'M' बीम की लंबाई (एकसमान आघूर्ण) के साथ स्थिर है, इसलिए इसका परिवर्तन की दर dM/dx शून्य है। इसलिए, अपरूपण बल V बीम की पूरी लंबाई में शून्य होना चाहिए।

निष्कर्ष:

उपरोक्त विश्लेषण के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि M N-m/m तीव्रता का एकसमान आघूर्ण ले जाने वाली कैंटिलीवर बीम की पूरी लंबाई में अपरूपण बल शून्य है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

एक समान रूप से वितरित भार (UDL) ले जाने वाली एक सरल सहारा वाली बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण मध्य-अंतराल पर होता है और इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

\[ M_{\text{max}} = \frac{wL^2}{8} \]

जहाँ:
w = प्रति इकाई लंबाई भार तीव्रता (N/m)
L = विस्तृति लंबाई (m)

दिया गया है:

• विस्तृति लंबाई (L) = 4 m
• समान भार तीव्रता (w) = 5 N/m

चरण 1: अधिकतम बंकन आघूर्ण की गणना करें

\[ M_{\text{max}} = \frac{wL^2}{8} = \frac{5 \times (4)^2}{8} = \frac{5 \times 16}{8} = \frac{80}{8} = 10 \, \text{N·m} \]

व्याख्या:

लम्बाई L L" id="MathJax-Element-2-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">L$L$ $L$ $L$ L वाले एक कैंटीलीवर बीम पर, जिस पर सम्पूर्ण लम्बाई में समान रूप से वितरित भार W (kN/m में) लगा है, स्थिर सिरे पर बंकन आघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है: \(\rm \frac{WL^2}{2}\)

Additional Information 

एक सरलतः आलंबित बीम एक प्रकार का बीम है जो दोनों सिरों पर आलंबित होता है—आमतौर पर एक सिरे पर हिंज (पिन) और दूसरे सिरे पर रोलर के साथ। यह सिविल और संरचनात्मक इंजीनियरिंग में सबसे सामान्य संरचनात्मक तत्वों में से एक है।

वर्णन:

अपरूपण बल (V) और भारण दर (w) के बीच संबंध निम्न है:

\(\frac{dV}{dx}=w\)

इसका अर्थ है कि अपरूपण बल आरेख का धनात्मक ढलान ऊपरी भारण को दर्शाता है।

अपरूपण बल (V) और वंकन आघूर्ण (M) के बीच संबंध निम्न है:

\(\frac{dM}{dx}= V\)

इसका अर्थ है कि वंकन आघूर्ण आरेख का ढलान उस अनुभाग पर अपरूपण बल के परिमाण को दर्शायेगा।

भारण दर और अपरूपण बल के बीच संबंध को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\(\frac{d^2M}{dx^2}= w\)

Additional Information

यदि y विक्षेपण है, तो आघूर्ण M, अपरूपण बल V और भार तीव्रता w के साथ संबंध निम्न है। 

\(EI\frac{d^2y}{dx^2}= M\)

\(EI\frac{d^3y}{dx^3}= V\)

\(EI\frac{d^4y}{dx^4}= w\)

संकल्पना:

अपरुपण-बल आरेख के नीचे का क्षेत्र दो बिंदुओं के बीच बंकन आघूर्ण देता है और भार आरेख के अंतर्गत का क्षेत्र उन दो बिंदुओं के बीच अपरुपण-बल देता है। अर्थात

\({{M}_{B}}-{{M}_{A}}=\mathop{\int }_{A}^{B}{{F}_{x-x}}dx\)

\({{F}_{B}}-{{F}_{A}}=-\mathop{\int }_{A}^{B}{{w}_{x-x}}dx\)

गणना:

दिया हुआ:

\({{M}_{C}}-{{M}_{A}}=\frac{1}{2}\times \left( 14+2 \right)\times 2\)

M_C = 16 kN-m   (M_A = 0)

बीम में नति परिवर्तन बिन्दु एक ऐसा बिंदु है जिस पर बंकन आघूर्ण धनात्मक से ऋणात्मक और इसके विपरीत में अपना चिह्न बदलता है।

पूरी बालिश्त में udl के अधीन एक निश्चित बीम के लिए बंकन आघूर्ण आरेख नीचे दिखाए अनुसार है:

नति परिवर्तन बिन्दु के जोड़ केंद्र से L/(2√3) दूरी पर होते है।

अवधारणा :

A और B पर प्रतिक्रिया बल खोजें और बंकन आघूर्ण का आरेख बनाएं

\({\rm{\Sigma }}{{\rm{F}}_{\rm{x}}} = 0,\;\;{\rm{\Sigma }}{{\rm{F}}_y} = 0,\;\;{\rm{\Sigma M}}_{\left( {{\rm{about\;a\;point}}} \right)} = 0\)

गणना:

दिया हुआ है कि:

\(\sum {F_y} = 0\;\)

RA + RB = 0

\(\sum {M_A} = 0\)

M - RB × L = 0

\({R_B} = \frac{M}{L}\) और \({R_A} = - \frac{M}{L}\)

अपरूपण बल:

\({\left( {S.F} \right)_B} ={\left( {S.F} \right)_A} = - \frac{M}{L} \)

बंकन आघूर्ण:

\({\left( {B.M} \right)_{X - X}} = M - \frac{M}{L}x\) (X बाएं से लिया गया पक्ष)

दक्षिणावर्त बंकन आघूर्ण -ve, वामावर्त बंकन आघूर्ण +ve

(बंकन आघूर्ण रैखिक रूप से भिन्न होता है)

\({\left( {B.M} \right)_A} = M\)

\({\left( {B.M} \right)_B} = M - \frac{M}{L} \times L = 0\;\)

∴ बंकन आघूर्ण आरेख एक छोटा वर्ग होगा।

Important Points

• यदि बीम की पूरी विस्तृति में SFD स्थिर है तो BMD रैखिक होगा।
• यदि किसी समय कोई युग्म अभिनय कर रहा है तो BMD में अचानक उछाल आ जाएगा।

दाएँ भाग के लिए कब्जे के चारों ओर गुरुत्व लेने पर

R_Q  × L/4 = 0

⇒ R_Q  = 0

∴ समर्थन Q पर ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया 0 है।

संकल्पना:

बीम में अधिकतम बंकन प्रतिबल निम्न द्वारा दिया जाता है

\({\sigma _b} = \frac{{Mc}}{I}\)

जहाँ

c – चरम अंत (अधिकतम) से उदासीन अक्ष तक की दूरी,

I – समतल के बंकन आघूर्ण M से लम्बवत केन्द्रकीय अक्ष के संबंध में क्षेत्र जड़त्व आघूर्ण 

∴दिए गए  प्रतिबल(σ_b) के लिए, अधिक क्षेत्र जड़त्व आघूर्ण (I) के साथ एक बीम को मोड़ने के लिए अधिक आघूर्ण (M) लगता है।

Additional Information

• ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण बीम की मरोड़ का प्रतिरोध करने की क्षमता का मापन है।
• द्रव्यमान जड़त्व आघूर्ण घूर्णन की दिशा में परिवर्तन के लिए किसी वस्तु के प्रतिरोध का मापन होता है।

व्याख्या:

दी गई जानकारी:

मध्य अवधि (या बिंदु C) पर अपरूपण​ बल की गणना:

मध्य-अवधि (या बिंदु C) =\(w\times {({L\over 3})\over 2}\) पर अपरूपण बल

मध्य-अवधि (या बिंदु C पर) =\(w\times {L\over 6}\) = \({wL\over 6}\)पर अपरूपण​ बल

निश्चित सिरे पर (या बिंदु A पर) अपरूपण बल की गणना करना:

निश्चित सिरे पर अपरूपण बल (या बिंदु A पर) =\(w\times ({L\over 3})\)

निश्चित सिरे पर अपरूपण​ बल (या बिंदु A पर) =\({wL\over 3}\)

इसकी मध्य अवधि में अपरूपण बल \({wL\over 6}\)है और निश्चित अंत\({wL\over 3}\) है।

संकल्पना-

अपरुपण बल:

• इसे खंड के दाईं ओर या तो बाईं ओर सभी ऊर्ध्वाधर बलों के बीजगणितीय योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।

बंकन आघूर्ण:

• इसे किसी खंड के या तो बाईं ओर या दाईं ओर सभी बलों के आघूर्णों के बीजगणितीय योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।

गणना:

चूंकि बीम पर कोई लंबवत और क्षैतिज भार कार्यरत नहीं है, स्थिर आलम्बन पर लंबवत और क्षैतिज प्रतिक्रिया शून्य होती है।

बीम का FBD चित्र में दिखाया गया है।

V_A = 0 = H_A

बीम का SFD और BMD आरेख में दिखाया गया है

तो केंद्र में बंकन आघूर्ण M kN-m है और केंद्र में अपरूपण बल शून्य है।​

व्याख्या:

एकसमान रूप से वितरित भार वाला कैंटीलीवर बीम:

तो, कैंटिलीवर बीम में निश्चित छोर पर अधिकतम बंकन आघूर्ण होता है और इसे इसप्रकार दिया जाता है, \(M=\frac{wL^2}{2}\)

जहाँ, w = भारण की दर

गणना:

दिया हुआ:

M = 8100 N-m, L = 9 m

\(8100=\frac{w~\times~ 9^2}{2}\)

w = 200 N/m