Torsion of Shaft MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Torsion of Shaft - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

ध्रुवीय मापांक शाफ्ट के अनुप्रस्थ काट का एक ज्यामितीय गुण है जिसका उपयोग मरोड़ में शाफ्ट की शक्ति की गणना करने के लिए किया जाता है। एक खोखले शाफ्ट के लिए, ध्रुवीय मापांक बाहरी और आंतरिक व्यास से प्राप्त होता है।

खोखले शाफ्ट का ध्रुवीय मापांक:

एक खोखले वृत्ताकार शाफ्ट के लिए ध्रुवीय मापांक (Zp) सूत्र द्वारा दिया गया है:

Zp = J / R

जहाँ J ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण है, और R शाफ्ट की बाहरी त्रिज्या है।

एक खोखले वृत्ताकार शाफ्ट के लिए ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (J) है:

J = \(\frac{\pi}{32}\) x \({Do}^4 - {Di}^4\)

जहाँ Do बाहरी व्यास है और Di आंतरिक व्यास है।

बाहरी त्रिज्या (R) बाहरी व्यास का आधा है:

R = Do / 2

अब, ध्रुवीय मापांक के सूत्र में J और R को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

∴ Zp = \(\frac{π}{16}\)Do x [ \({Do}^4 - {Di}^4\)]

संकल्पना:

शाफ्ट की बलाघूर्ण क्षमता उसके ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण के समानुपाती होती है:

\( T \propto \frac{\pi}{16}(D^4 - d^4) \)

दिया गया है:

• ठोस शाफ्ट: \(T_s = \frac{\pi}{16}D^4\)
• खोखला शाफ्ट: d = D/3

खोखले शाफ्ट का बलाघूर्ण:

\( T_h = \frac{\pi}{16}(D^4 - (D/3)^4) = \frac{\pi}{16}D^4(1 - 1/81) = \frac{\pi}{16}D^4 \times \frac{80}{81} \)

⇒ \( \frac{T_h}{T_s} = \frac{80}{81} \)

व्याख्या:

परिघूर्णन त्रिज्या

किसी पिंड की परिघूर्णन त्रिज्या (k) एक ऐसा माप है जो यह वर्णन करता है कि किसी दिए गए अक्ष के सापेक्ष पिंड के द्रव्यमान का वितरण कैसे होता है। त्रिज्या 'r' मिमी और मोटाई 't' मिमी वाले एक पतले समतलीय वलय के लिए, ध्रुवीय अक्ष के परितः परिघूर्णन त्रिज्या की गणना घूर्णी गतिकी के सिद्धांतों और वलय की ज्यामिति का उपयोग करके की जा सकती है।

गणना:

एक पतले समतलीय वलय के लिए, द्रव्यमान वितरण अनिवार्य रूप से केंद्र से 'r' दूरी पर केंद्रित होता है। परिघूर्णन त्रिज्या ध्रुवीय अक्ष (जो वलय के तल के लंबवत है और केंद्र से होकर गुजरता है) के परितः वलय के जड़त्व आघूर्ण (I) से प्राप्त होती है।

त्रिज्या 'r' और द्रव्यमान 'm' वाले एक पतले वलय के लिए इसके ध्रुवीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I) इस प्रकार दिया जाता है:

I = m x r²

परिघूर्णन त्रिज्या (k) जड़त्व आघूर्ण और द्रव्यमान से निम्नलिखित समीकरण द्वारा संबंधित है:

I = m x k²

I के लिए दो व्यंजकों को समान करके, हमें प्राप्त होता है:

m x k² = m x r²

k² = r²

k = r

सिद्धांत:

एक वृत्ताकार शाफ्ट द्वारा प्रेषित टॉर्क इसके व्यास के घन के समानुपाती होता है, जो सूत्र द्वारा दिया गया है:

\( T = \frac{\pi}{16} \cdot τ \cdot d^3 \)

दिया गया है:

• शाफ्ट A और B एक ही पदार्थ के हैं → समान अपरूपण प्रतिबल \(\tau\)
• A का व्यास B के व्यास का 3 गुना है → d_A = 3d_B

गणना:

\( \frac{T_A}{T_B} = \left( \frac{d_A}{d_B} \right)^3 = 3^3 = 27 \)

अवधारणा:

हम किसी शाफ़्ट में बल-आघूर्ण के अंतर्गत मरोड़ कठोरता और घुमाव के कोण के बीच के संबंध का विश्लेषण करने के लिए मरोड़ समीकरण का उपयोग करते हैं।

दिया गया है:

• मरोड़ समीकरण: \(\frac{T}{J} = \frac{G \cdot \theta}{L}\)
• मरोड़ कठोरता: \(G J\)
• घुमाव का कोण: \(\theta\)

चरण 1: मरोड़ समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें

घुमाव के कोण को स्पष्ट रूप से व्यक्त करने के लिए:

\(\theta = \frac{T L}{G J}\)

चरण 2: संबंध का विश्लेषण करें

समीकरण दर्शाता है:

\(\theta \propto \frac{1}{G \cdot J}\)

इसका अर्थ है:

• जब मरोड़ कठोरता (\(G J\)) बढ़ती है, तो घुमाव का कोण (\(\theta\)) घटता है।
• जब मरोड़ कठोरता घटती है, तो घुमाव का कोण बढ़ता है।

चरण 3: भौतिक व्याख्या

मरोड़ कठोरता एक शाफ़्ट के घुमाव के प्रतिरोध को दर्शाती है:

• उच्च \(G J\) (कठोर शाफ़्ट) → समान बल-आघूर्ण के अंतर्गत कम घुमाव
• निम्न \(G J\) (अधिक लचीला शाफ़्ट) → समान बल-आघूर्ण के अंतर्गत अधिक घुमाव

मरोड़ कठोरता में वृद्धि से मरोड़ के अधीन शाफ़्ट में घुमाव का कोण कम हो जाता है।

स्पष्टीकरण :

शाफ्ट पर शुद्ध मरोड़ की क्रिया के कारण दो प्रकार के अपरूपण प्रतिबल उत्पन्न होते हैं।

(i) परिधीय प्रतिबल:

• मरोड़ के अनुप्रयोग के कारण, शाफ्ट अनुप्रस्थ काट की एक परत दूसरे के सापेक्ष चलती है। इसलिए परिधीय अपरूपण प्रतिबल उत्पन्न होता है।
• इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

\(\frac{T}{J} =\;\frac{τ }{r} = \frac{{G\theta }}{L}\)  

जहाँ, T = मरोड़, J = ध्रुवीय खंड मापांक, τ = परिधीय अपरूपण प्रतिबल, r = शाफ्ट की त्रिज्या, G = शाफ्ट की दृढ़ता का मापांक, θ = घूर्णन का कोण, L = शाफ्ट की लंबाई

(ii) यह महसूस करना भी महत्वपूर्ण है कि अनुप्रस्थ काट समतलों पर कार्य करने वाला अपरूपण प्रतिबल पूरक अपरूपण प्रतिबल के सिद्धांत के बाद अनुदैर्ध्य समतलों में समान परिमाण के अपरूपण प्रतिबल के साथ होते हैं ।

व्याख्या:

कुछ अनुप्रयोगों में शाफ़्ट को एक ही समय पर बंकन आघूर्ण M और बलाघूर्ण T के तहत रखा जाता है।

सरल बंकन सिद्धांत समीकरण से:

\(\frac{M}{I} = \frac{\sigma }{y} = \frac{E}{R}\)

यदि σ_b शाफ़्ट पर बंकन आघूर्ण M के कारण उत्पन्न अधिकतम बंकन प्रतिबल है:

\({\sigma _b} = \frac{{32M}}{{\pi {d^3}}}\)

मरोड़ समीकरण:

\(\frac{T}{J} = \frac{\tau }{r} = \frac{{G\theta }}{L}\)

मरोड़ आघूर्ण T के कारण शाफ़्ट की सतह पर उत्पन्न अधिकतम अपरूपण प्रतिबल:

\(\tau = \frac{{16T}}{{\pi {d^3}}}\)

एक शाफ़्ट में उत्पन्न अधिकतम बंकन प्रतिबल से अधिकतम अपरूपण प्रतिबल:

\(\frac{\tau }{\sigma } = \frac{{\left( {\frac{{16T}}{{\pi {D^3}}}} \right)}}{{\left( {\frac{{32M}}{{\pi {D^3}}}} \right)}} = \frac{T}{{2M}}\)

Additional Information

समतुल्य बंकन आघूर्ण:

\({M_e} = \frac{1}{2}\left[ {M + \sqrt {{M^2} + {T^2}} } \right]\)

समतुल्य बलाघूर्ण:

Explanation:

Due to torque, shear stresses are developed in two mutually perpendicular planes.

(i) In the plane of the cross-section in the circumferential direction.

(ii) Normal to the plane of the cross-section in the longitudinal direction.

The shear stress produced by torque varies from zero at centre of the cross-section to maximum at the surface in the circumferential direction. Shear stresses in the direction normal to the cross-section plane are always complementary in nature and have equal magnitude.

NOTE: There is no shear stress in the radial direction.

From the figure we can see that normal to plane of the cross-section in the longitudinal direction, the stress is compressive and since longitudinal stress (shear stress) is complimentary with equal magnitude is maximum at the surface, therefore the maximum compressive stress will be equal to maximum shear stress.

संकल्पना:

मरोड़ समीकरण:

\(\frac{T}{J} = \frac{\tau }{r} = \frac{{G\theta }}{L}\)

घूर्णित शाफ़्ट की शक्ति:

\(P = \frac{{2\pi NT}}{{60}}\)

जहाँ N = rpm में गति और T = इसपर लगाया जाने वाला बलाघूर्ण। 

गणना:

दिया गया है:

समान शक्ति संचारित होती है अर्थात् P₁ = P₂ जब गति आधे तक कम हो जाती है, तो N₂ = 0.5N₁ है। 

हम जानते हैं कि

\(P = \frac{{2\pi NT}}{{60}}\)

N₁T₁ = N₂T₂

N₁T₁ = 0.5N₁T₂

T₁ = 0.5T₂

मरोड़ समीकरण से:

\(\frac{T}{J} = \frac{\tau }{r} \Rightarrow\frac{T}{J} = \frac{\tau_{max} }{R} \)

\( {\tau_{max} }=\frac{TR}{J} \)

\( {\tau_{max} }=\frac{T\times\frac{D}{2}}{\frac{\pi }{32}D^4}=\frac{16T}{\pi D^3} \)

चूँकि अपरूपण प्रतिबल भी समान है

\(\frac{T}{D^3}= constant\)

अब;

\(\frac{T_1}{D^3_1}= \frac{T_2}{D^3_2}\)

\(\frac{D^3_2}{D^3_1}= \frac{T_2}{T_1}\)

लेकिन T1 = 0.5T2

\(\frac{D^3_2}{D^3_1}= \frac{T_2}{0.5T_2}=2\)

\(\frac{D_2}{D_1}=2^{1/3}\)

D₂ = (2)1/3 D₁

अर्थात् नया व्यास वास्तविक व्यास का (2)1/3 भाग है। 

संकल्पना:

वृत्ताकार शाफ्ट के लिए: 

\(\frac{T}{J} = \frac{\tau }{r} = \frac{{G\theta }}{L}\)

जहाँ, τ =उत्पन्न अपरुपण प्रतिबल 

G = दृढ़ता मापांक

ठोस वृत्ताकार शाफ्ट के लिए:

\({\tau _{max}} = \frac{{16T}}{{\pi {d^3}}}\)

विकृति ऊर्जा,

 \(U = \frac{{{\tau ^2}}}{{4G}} \times V\) 

खोखले शाफ्ट के लिए:

\({\tau _{max}} = \frac{{16TD}}{{\pi \left( {{D^4} - {d^4}} \right)}} = \frac{{16T}}{{\pi {D^3}\left( {1 - {k^4}} \right)}}\;where\;k = \frac{d}{D}\)

\(U = \frac{{{\tau ^2}}}{{4G}}.\frac{{{D^2} + {d^2}}}{{{D^2}}} \times V\)

जहाँ, D = बाह्य व्यास,और

d = आंतरिक व्यास

V = शाफ्ट का आयतन

अवधारणा:

संग्रहित उर्जा, \(E = \frac{1}{2}K{x^2}\)

जहाँ,

x =  विक्षेपण

K = स्प्रिंग स्थिरांक/कठोरता ।

गणना:

दिया गया है:

E = 30 N-mm

x = 5 mm

\(\begin{array}{l} 30 = 0.5\;K\left( {{5^2}} \right)\\ K = 2.4N/mm \end{array}\)

सरल मरोड़ समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(\frac{T}{J} = \frac{\tau }{r} = \frac{{G\theta }}{L}\;or\;\tau = \frac{{G\theta r}}{L}\)

इसके अनुसार कतरनी तनाव शाफ्ट के अक्ष से दूरी ‘r’ के समान अनुपाती होता है और तनाव वितरण इस प्रकार है:

इसलिए अधिकतम कतरनी तनाव शाफ्ट की बाहरी सतह पर होता है जहां r = R  और केंद्र में कतरनी तनाव शून्य होता है।

बंद कुंडली तंतु के लिए:

एक सर्पिल स्रिंग में मुख्य तनाव दो प्रकार का होता है, मरोड़ के कारण कतरनी तनाव और लगाए गए लोड के कारण प्रत्यक्ष कतरनी। यह देखा गया है कि दोनों तन्य लोड के साथ-साथ स्प्रिंग पर संपीड़ित लोड के लिए, अधिकतम कतरनी तनाव हमेशा स्प्रिंग के अंदर की ओर होता है। इसलिए, स्प्रिंग की विफलता, दरार के रूप में, हमेशा स्प्रिंग के आंतरिक त्रिज्या से शुरू की जाती है।

Additional Informationसही विकल्प 3 आंतरिक तन्तु है

निकट कुंडलित हेलिकल स्प्रिंग्स में:

τmax = τtransverse ± τtorsion

τtorsion तार के बाहरी फाइबर पर अधिकतम होगा।

आन्तरिक भुजा पर,

τmax = τtorsion + τtransverse

\( = \frac{{16PR}}{{\pi {d^3}}} + \frac{{4P}}{{\pi {d^2}}}\)

\( = \frac{{16PR}}{{\pi {d^3}}}\left( {1 + \frac{d}{{4R}}} \right)\)\(\)\(\)

संकल्पना:

जड़त्वाघूर्ण:

• एक निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर रुक्ष निकाय के जड़त्वाघूर्ण को निकाय का गठन करने वाले कणों के द्रव्यमान और घूर्णन के अक्ष से उनकी सापेक्षिक दूरी के वर्ग के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है। 
• किसी कण का जड़त्वाघूर्ण निम्न है

I = mr²

जहाँ r = घूर्णन अक्ष से कण की लंबवत दूरी 

•  कई कणों (पृथक वितरक) से बने एक निकाय का जड़त्वाघूर्ण

I = m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² + m₄r₄² + -------

• सिलेंडर के अक्ष के चारों ओर द्रव्यमान 'M' और त्रिज्या 'R' वाले एक ठोस सिलेंडर का जड़त्वाघूर्ण

\(\Rightarrow I =\frac{MR^2}{2}\)

स्पष्टीकरण:

माना ठोस और खोखले शाफ्ट की सामर्थ्य T_S और T_H है

\({{\bf{T}}_{\bf{S}}} = \frac{\pi }{{16}}{{\bf{d}}^3}{τ _{per}}\)

\({{\bf{T}}_{\bf{H}}} = \frac{\pi }{{16}}{{\bf{D}}^3}\left( {1 - {{\bf{k}}^4}} \right){τ _{per}}\)

जहाँ τ_per = स्वीकार्य अपरूपण सामर्थ्य, k = आंतरिक व्यास (din) से बाहरी व्यास (D_o) का अनुपात अर्थात \(\left( \frac{d_{in}}{D_o} \right)\)

जब दोनों शाफ्टों का बाहरी व्यास समान हो, बशर्ते कि RPM, सामग्री और लंबाई समान हो, तो खोखले शाफ्ट की सामर्थ्य का ठोस शाफ्ट की सामर्थ्य से अनुपात इस प्रकार दिया जाता है

\(\frac{{{{\bf{T}}_{\bf{H}}}}}{{{{\bf{T}}_{\bf{S}}}}} = 1 - {{\bf{k}}^4}\)

यहाँ दोनों शाफ्ट का बाहरी व्यास समान है

Do = D, din = \(\frac{{\rm{D}}}{2}\)

∴ k = \(\frac{{\rm{1}}}{2}\)

\(\frac{{{{\bf{T}}_{\bf{H}}}}}{{{{\bf{T}}_{\bf{S}}}}} = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{{15}}{{16}}\)

\(\frac{{{{\bf{T}}_{\bf{S}}}}}{{{{\bf{T}}_{\bf{H}}}}}\; = \;\frac{{16}}{{15}}\)

Alternate Method 

इस समस्या को \({M \over I} = {σ \over y}\)का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है

जहां सामर्थ्य को M (खंड द्वारा प्रतिरोधित आघूर्ण) के साथ सहसंबंधित किया जा सकता है \(I_{Solid} = {\pi × D^4 \over 64} \ and\ I_{Hollow} = {\pi [D^4 - ({D/2})]^2\over 64}\)

\(Y_{Solid} = D/2\ and\ Y_{Hollow} = D/2\)

उपरोक्त मान को M/I = σ/y में रखने पर

हमें M = (I/Y) × σ मिलता है (यह मानते हुए कि दोनों पर समान प्रतिबल है), हम कह सकते हैं कि सामर्थ्य केवल I/Y पर निर्भर करती है

उपरोक्त समीकरण से I और Y का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

\({{Strength \ of \ Solid} \over {Strength \ of \ hollow\ shaft} } = {I\over Y}\)

\({{{\pi \times D^4\over 64 } \times {D \over 2} } \over {{\pi [D^4 - {(D/2})^2]\over 64 } \times {D \over 2} }} = {1 \over (15/16)} = {16 \over 15}\)

अवधारणा:

ठोस शाफ्ट:

• इसे ठोस शाफ्ट के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसका उपयोग छोटी शाफ्ट के सापेक्ष पंपों के चालन के लिए किया जाता है, जो 30 से 50 फुट से कम लम्बी होती है।
• इनका उपयोग लगभग सभी प्रोसेस पंपों और सर्कुलेटरों (परिसंचारको) को चलाने के लिए किया जाता है।
• वे अधिक धनात्मक शाफ्ट और संरेखण प्रदान करती हैं जो विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जब पंप में पैकिंग के स्थान पर मैकेनिकल सील होते हैं। ठोस शाफ्ट का उपयोग पंप के अक्षीय समायोजन के लिए किया जाता है।

गणना:

दिया गया है,

शाफ्ट A का व्यास = 50 mm

शाफ्ट B का व्यास = 100 mm

मरोड़ समीकरण के अनुसार,

\(T = \;\tau \; \times \;{Z_P}\)

\(T\alpha \;{Z_P}\)

\({Z_P} = \;\frac{\pi }{{16\;}}{d^3}\)

\({T_B}/{T_A} = ({Z_P})_B/({Z_P})_A = {d_B}^3/{{d_A}^3}\)

\(\frac{{{T_B}}}{{{T_A}}} = \left( {{2^3}} \right) = 8\;\)