Unit Digit MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Unit Digit - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

1221 + 1537

ആശയം:

കൃതിയെ(പവർ) 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക ശേഷം കൃതിയുടെ  സ്ഥാനത്ത് ശിഷ്ടം എഴുതുക.

കണക്ക് കൂട്ടൽ: 

1221 + 1537 ൻ്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം

⇒ 121 + 151

⇒ 2 + 5

⇒ 7

നൽകിയത്: 7

366 × 641 × 753  

ആശയം:

ഒരു സംഖ്യയുടെ കൃതിയുടെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം ഓരോ നാലാമത്തെ തവണയും ആവർത്തിക്കുന്നു

കണക്കുകൂട്ടൽ:

3⁶⁶ ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം

⇒ 66/4

⇒ 2 (3 ന്റെ ചാക്രികത 4 ആയതിനാൽ)

അതിനാൽ, അന്തിമ അക്കം = 3²

⇒ 9

 6⁴¹ ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കമാണ് = 6

 753 ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കമാണ്

⇒ 53/4

⇒ 1  (7 ന്റെ ചാക്രികത 4 ആയതിനാൽ)

അതിനാൽ, അന്തിമ അക്കം = 7¹

⇒ 7

ഇപ്പോൾ രണ്ടും ഗുണിക്കുക 

⇒ 9 × 6 × 7 = 378

∴ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കമാണ് 8.

തന്നിരിക്കുന്ന പ്രയോഗം 105 × 521 × 711 ആണ്

10 ⁵ ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം = 0 (10 ന്റെ ഗുണിതത്തിന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം എല്ലായ്‌പ്പോഴും പൂജ്യമായിരിക്കും)

5 ²¹ = 5 എന്ന യൂണിറ്റ് അക്കം (5 ന്റെ ഗുണിതത്തിന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം എല്ലായ്പ്പോഴും 5 ആയിരിക്കും)

7 ^{11 ന്} ,

71 ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം = 7 

 72 ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം = 9 

73 ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം = 3 

74 ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം = 1 

75 ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം = 7 

മുകളിലെ പ്രക്രിയയിൽ നിന്ന്  യൂണിറ്റ് അക്കം 4 ആം കൃതിക്ക്  ശേഷം ആവർത്തിക്കുകയാണെന്ന് കാണാം..

⇒ (7 ^{4 × 2} ) × 7 ³ ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം = 3 

⇒ 105 × 521 × 711 = 0 × 5 × 3 = 0

ആശയം:
ഒരു സംഖ്യയുടെ കൃതിയുടെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം ഓരോ നാലാമത്തെ തവണയും ആവർത്തിക്കുന്നു

കണക്കുകൂട്ടൽ:

431 + 3681 - 24326

⇒ (4)(7 × 4) + 3 + (36)(20 × 4) + 1 - (243)(6 × 4) + 2

⇒ (43 + 361 - 2432) ഇതിന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കത്താൽ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു 

⇒ 343 ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം = 4

⇒ 361 ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം = 6

⇒ 2432 ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം = 9

അതിനാൽ,  ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം നൽകുന്നത് (4 + 6 - 9) = 1

∴ (4)31 + (36)81 - (243)26 ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കമാണ് = 1

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

4 × 38 × 764 × 1256

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

ഏതൊരു അക്കത്തിന്റെയും ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനമാണ് ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം അഥവാ യൂണിറ്റ് ഡിജിറ്റ്.

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

4 × 8 × 4 × 6

⇒ 32 × 24

രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെയും ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനം എടുത്ത് ഗുണിക്കുക.

⇒ 2 × 4 = 8

∴ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം 8 ആണ്.

(164)¹⁶⁹ + (333)³³⁷ – (727)⁷²⁶ ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കമാണ് 

ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം പരിശോധിക്കാൻ, കൃതിയെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

4¹⁶⁹ + 3³³⁷ – 7⁷²⁶

⇒ 69/4 = ശിഷ്ടം 1

⇒ 37/4 = ശിഷ്ടം 1

⇒ 26/4 = ശിഷ്ടം 2

⇒ 4¹ + 3¹ – 7²

⇒ 4 + 3 – 9

⇒ 7 – 9

or, 17 – 9

⇒ 8

അതിനാൽ, x എന്ന സംഖ്യയുടെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം 8 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

(7 95 - 3 58 )

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

7 ന്റെ ചാക്രികത 4 ആണ്

3 ന്റെ ചാക്രികത 4 ആണ്

കണക്കുകൂട്ടൽ :

795 = 7(4 × 23) + 3 = 1 × 73 = 343

⇒  795 എന്നതിന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം= 3

358 = 3(4 × 14) + 2 = 1 × 32 = 9

⇒ 358എന്നതിന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം = 9

(795 – 358) എന്നതിന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം= 3 – 9 = -6 അല്ലെങ്കിൽ 10 - 6 = 4

∴ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം 4 ആയിരിക്കും

കുറിപ്പ്: 3 - 9 = -6 കാരണം നമുക്ക് ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം കണ്ടെത്തണം. ഫലം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ അതിലേക്ക് 10 കൂട്ടുക.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

7¹ ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം = 7, 7² = 9, 7³ = 3, 7⁴ = 1

795 ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം = 7^{23 × 4} × 7³ = 3

3¹ ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം = 3, 3² = 9, 3³ = 7, 3⁴ = 1

358 ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം = 3^{14 × 4} × 3² = 9

795 ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം 3 ആണ്, അത് 9 നേക്കാൾ കുറവാണ്. 

അപ്പോൾ 3 ന് 13 ഉള്ള രീതിയിൽ എടുക്കുക (തെളിയിക്കുക എന്ന നിയമ പ്രകാരം)

N ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം = 795 - 358 = 13 - 9 = 4

∴ N ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം 4 ആണ്

2543 ൻ്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം 5 ആണ്.

56⁴² ൻ്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം 6 ആണ്.

456²⁵ ൻ്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം 6 ആണ്.

23⁴² ൻ്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം 9 ആണ്.

76²³ ൻ്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം 6 ആണ്.

∴ യൂണിറ്റ് അക്കങ്ങളുടെ ഫലമായ മൂല്യം = [(5 × 6) + 6 + 9 + 6] = (30 + 6 + 9 + 6) = 51

അതിനാൽ, ക്രിയയുടെ യൂണിറ്റ് അക്കം 1 ആണ്.

2342: ഇവിടെ, ഓരോ നാലാമത്തെ കൃതിക്കും ശേഷം, 3 ന്റെ യൂണിറ്റ് സ്ഥാനത്തെ കൃതികൾ ആവർത്തിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, നമ്മൾ കൃതിയെ 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ച്, ശിഷ്ടത്തിന്റെ മൂല്യം പരിശോധിക്കുന്നു.

42/4 → 2 (ശിഷ്ടം)

അതിനാൽ, യൂണിറ്റ് അക്കം 32 = 9 ആയിരിക്കും.

മറ്റ് സംഖ്യകളുടെ യൂണിറ്റ് അക്കങ്ങൾ 5, 6 എന്നിവയിൽ അവസാനിക്കുന്നു, കൃതിയുടെ യൂണിറ്റ് അക്കങ്ങൾ സംഖ്യയിൽ തന്നെയുണ്ട്.

ആശയം:

ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം കണ്ടെത്താൻ, തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം പരിഗണിക്കുകയും കൃതിയിൽ നിന്ന് അതിന്റെ ചാക്രികത കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക.

ഉദാഹരണം: 2⁵

∵ 2 ഒരു ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കമായി ഓരോ 4 കൃതിക്ക്  ശേഷം ആവർത്തിക്കുന്നു, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32

⇒ 2 ന്റെ ചാക്രികത = 4

2⁵ ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം = 2¹ = 2

സമാനമായി, 3 ന്റെ ചാക്രികത = 4

കണക്കുകൂട്ടൽ:

(1373)³⁶ – (1442)²⁰ ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം 

⇒ (3)³⁶ – (2)²⁰ ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം

⇒ {(3)^{9 × 4} – (2)^{5 × 4}} ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം

⇒ {(3)⁴ – (2)⁴} ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം

⇒ {81 – 16} ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം

⇒ 65 ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം

നൽകിയത്: 7

366 × 641 × 753  

ആശയം:

ഒരു സംഖ്യയുടെ കൃതിയുടെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം ഓരോ നാലാമത്തെ തവണയും ആവർത്തിക്കുന്നു

കണക്കുകൂട്ടൽ:

3⁶⁶ ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം

⇒ 66/4

⇒ 2 (3 ന്റെ ചാക്രികത 4 ആയതിനാൽ)

അതിനാൽ, അന്തിമ അക്കം = 3²

⇒ 9

 6⁴¹ ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കമാണ് = 6

 753 ന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കമാണ്

⇒ 53/4

⇒ 1  (7 ന്റെ ചാക്രികത 4 ആയതിനാൽ)

അതിനാൽ, അന്തിമ അക്കം = 7¹

⇒ 7

ഇപ്പോൾ രണ്ടും ഗുണിക്കുക 

⇒ 9 × 6 × 7 = 378

∴ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കമാണ് 8.

ഉപയോഗിച്ച ആശയം: 

10⁰ = 1               1 അക്കം 

10¹ = 10             2 അക്കം 

10² = 100          3 അക്കം 

10ⁿ —            (n + 1) അക്കം 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

2274 × 25¹³⁷

⇒ 2²⁷⁴ × (5²)¹³⁷

⇒ 2²⁷⁴ × 5²⁷⁴

⇒ (10)²⁷⁴

⇒ അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം = (274 + 1) അക്കം 

⇒ 275 അക്കം 

∴ ആവശ്യമായ ഉത്തരം 275 അക്കമാണ്

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

1221 + 1537

ആശയം:

കൃതിയെ(പവർ) 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക ശേഷം കൃതിയുടെ  സ്ഥാനത്ത് ശിഷ്ടം എഴുതുക.

കണക്ക് കൂട്ടൽ: 

1221 + 1537 ൻ്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം

⇒ 121 + 151

⇒ 2 + 5

⇒ 7

തന്നിരിക്കുന്നത്:

32015

കണക്കുകൂട്ടൽ:

3 ചാക്രികത നിയമം പാലിക്കുന്നു.

31 ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം = 3

32 ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം = 9

33 ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം = 7

34 ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം = 1

ഇപ്പോൾ, 

2015 നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 

ശിഷ്ടം = 3

∴ 32015 ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം= 33 = 7 (അവസാന അക്കം)

 32015 എന്ന സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നമ്മൾ ബേസ് 3 യുടെ അവസാന അക്കത്തിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത് 3 ഉം കൃത്യങ്കഭാഗം 2015 ഉം.

നമുക്കറിയാം,

അവസാന അക്കത്തിന്റെ ക്രമം ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇത് 3,9,7,1,3,9,7,1,3 …… അങ്ങനെ തുടരുന്നു.

അതിനാൽ, അവസാന അക്കം ആവർത്തിക്കുന്നതും നാലക്ക നീളമുള്ളതും ആണ്. അതായത്, 3, 9, 7, 1. 3 ന്റെ കൃതി 2015 ൽ എത്തുന്നതുവരെ നമ്മൾ ഈ പട്ടിക എഴുതുന്നത് തുടരുകയാണെങ്കിൽ, 2015 നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ഈ ക്രമം എത്ര തവണ ആവർത്തിക്കുമെന്ന് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

2015 നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ശിഷ്ടം 3 ഓടുകൂടിയ 503 ആണ് ലഭിക്കുന്നത്, ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ക്രമം പൂർണ്ണമായും 503 തവണ ആവർത്തിക്കുകയും, മൂന്നാം അക്കത്തിൽ അവസാനിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നാണ്, അതായത് 3.

∴ 32015  എന്ന സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം 7 ആണ്.

71 = 7

72 = 49

73 = 343

74 = 2401

75 = 16807

അതിനാൽ, ഇതിൽ നിന്ന് യൂണിറ്റ് സ്ഥാനങ്ങൾ 7, 9, 3, 1എന്നീ  ക്രമത്തിൽ ആവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്കറിയാം

അതിനാൽ, ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു സൂത്രവാക്യം സാമാന്യവൽക്കരിക്കാനാകും

സംഖ്യ 74n – 3 ആണെങ്കിൽ, യൂണിറ്റ് സ്ഥാനം 7 ആണ്.

74n – 2 ആണെങ്കിൽ, യൂണിറ്റ് സ്ഥാനം 9 ആണ്.

74n – 1 ആണെങ്കിൽ, യൂണിറ്റ് സ്ഥാനം 3 ആണ്.

74n ആണെങ്കിൽ, യൂണിറ്റ് സ്ഥാനം 1 ആണ്.

എല്ലാ n ≥ 1 നും 

അതിനാൽ, 73 എന്നത് 4 × 19 – 3 എന്ന് എഴുതാം.