Quadratic Equation MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Quadratic Equation - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

12x² - ax + 7 = ax² + 9x + 3

⇒ 12x² - ax + 7 - ax² - 9x - 3 = 0

⇒ (12 - a)x² - x(a + 9) + 4 = 0

ഒരു (ആവർത്തിച്ചുള്ള) പരിഹാരത്തിന് മാത്രം, b² - 4ac = 0

⇒ (a + 9)² - 16(12 - a) = 0

⇒ a² + 18a + 81 - 192 + 16a = 0

⇒ a² + 34a - 111 = 0

⇒ (a + 37)(a - 3) = 0

നൽകിയത്:

രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യം = x2 - 3x + 4 = 0

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യം: ax2 + bx + c = 0

മൂലങ്ങളുടെ തുക = α + β = \(\dfrac{-b}{a}\)

മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം = α x β = \(\dfrac{c}{a}\)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

മൂലങ്ങളുടെ തുക = α + β= \(\dfrac{-(-3)}{1}\) = 3

മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം = α x β = \(\dfrac{4}{1}\) = 4

∴ x2 - 3x + 4 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിലെ മൂലങ്ങളുടെ തുകയും ഗുണനഫലവും യഥാക്രമം 3 ഉം 4 ഉം ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

സമവാക്യം x2 − 4x + k = 0

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ഒരു രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അതിനാൽ ഒരു മൂലത്തിന്റെ മൂല്യം നൽകുന്നതിലൂടെ ഒരാൾക്ക് അജ്ഞാതമായ ചരവും അതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ മൂലവും കണ്ടെത്താനാകും.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൽ x എന്നത് 3 എന്ന് നൽകാം 

അതിനാൽ,

x² – 4x + k = 0

⇒ 9 – 12 + k = 0

⇒ k = 3

സമവാക്യത്തിൽ k യുടെ മൂല്യം നൽകുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് 

x² – 4x + 3 = 0

⇒ x² – 3x – x + 3 = 0

⇒ x(x – 3) – 1(x – 3) = 0

⇒ (x – 3)(x – 1) = 0

⇒ x = 3, 1 

∴ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ മൂലമാണ് 1.

കൊടുത്തിരിക്കുന്നത്:

സമവാക്യം 2(p + q)2x2 + 2(p + q)x + 1 = 0

ഉപയോഗിക്കുന്ന സങ്കല്പം:

രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യം Ax² + Bx + C = 0

മൂലങ്ങൾ സാങ്കൽപ്പികമാണെങ്കിൽ, B² - 4ac < 0

കണക്കുകൂട്ടൽ:

കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സമവാക്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക

ഇപ്പോൾ, A = 2(p + q)2, B = 2(p + q) & C = 1

⇒ (2(p + q))² - 4 x 2(p + q)2 x 1 < 0

⇒ - 6(p + q)2

D = - 6(p + q)2

∴ മൂലങ്ങൾ സാങ്കൽപ്പികവും വ്യത്യസ്തവുമാണ്.

നൽകിയത്:

3x2 + px + q = 0

x = -1 ഉം x = -2 ഉം പരിഹാരങ്ങളാണ്

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

ax2 + bx + c = 0 എന്ന രണ്ടാംകൃതി  സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങള്‍ α ഉം β ഉം ആണെങ്കില്‍

പരിഹാരം നല്‍കിയ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

കണക്കുകൂട്ടല്‍

x = - 1 എന്നു വച്ചാല്‍:

⇒ 3(-1)2 + p(-1) + q = 0

⇒ q - p = - 3 ..(1)

x = - 2 എന്നു വച്ചാല്‍:

⇒ 3(-2)2 + p(-2) + q = 0

⇒ q - 2p = - 12 ..(2)

1 ഉം 2 ഉം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ,

p = 9 ഉം q = 6 ഉം

(3p - 2q) = 3 x 9 - 2 x 6

= 27 - 12

= 15

ഉത്തരം 15 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

3x² – ax + 6 = ax² + 2x + 2

⇒ 3x² – ax² – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x² – (a + 2)x + 4 = 0

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ഒരു രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യത്തിന്  (ax2 + bx + c=0) തുല്യ മൂലങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് പൂജ്യമായിരിക്കണം അതായത്, b2 – 4ac = 0

കണക്കുകൂട്ടൽ:

⇒ D = B² – 4AC = 0

⇒ (a + 2)² – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a² + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a² + 20a – 44 = 0

⇒ a² + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

x2 – x – 1 = 0

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

സമവാക്യം ax² + bx + c = 0 ആകട്ടെ.

മൂലങ്ങളുടെ തുക = -b/a

മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം = c/a

കണക്കുകൂട്ടൽ:

x2 – x – 1 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങൾ α, β, എന്നിവയാണെങ്കിൽ, 

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

ഇനി മൂലങ്ങൾ (α/β), (β/α) എന്നിവയാണെങ്കിൽ,

⇒ മൂലങ്ങളുടെ തുക = (α/β) + (β/α)

⇒ മൂലങ്ങളുടെ തുക = (α² + β²)/αβ

⇒ മൂലങ്ങളുടെ തുക = [(α + β)² – 2αβ]/αβ

⇒ മൂലങ്ങളുടെ തുക = (1)² – 2(-1)]/(-1) = -3

⇒ മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം = (α/β) × (β/α) = 1

സമവാക്യം,

⇒ x² – (മൂലങ്ങളുടെ തുക)x + മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം = 0

⇒ x² – (-3)x + (1) = 0

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

രണ്ട് മൂലങ്ങൾ 2 + √5, 2 - √5 എന്നിവയാണ്.

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ദ്വിമാന സമവാക്യം ഇതാണ്:

x2 - (മൂലങ്ങളുടെ ആകെത്തുക)x + മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം = 0

കണക്കുകൂട്ടൽ:

രണ്ട് മൂലങ്ങൾ A,B ആണെന്നിരിക്കട്ടെ.

A = 2 + √5, B = 2 - √5

⇒ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4

⇒ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1

അപ്പോൾ സമവാക്യം ഇതാണ്

∴ x2 - 4x - 1 = 0

ഒരു ദ്വിമാന സമവാക്യത്തിന്, ax2 + bx + c = 0,

മൂലങ്ങളുടെ ആകെത്തുക = (-b/a) = 4/1

മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം = c/a = -1/1

അപ്പോൾ, b = -4

അതിനാൽ, x ന്റെ ഗുണകത്തിന്റെ ചിഹ്നം നെഗറ്റീവ് ആണ്.

3x² + ax + 4 എന്നതിനെ x – 5 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം.

⇒ 3 × 25 + 5a + 4 = 0

⇒ 5a = -79

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു മൂലം \(5 - 2\sqrt 5 \) ആണ്.

ആശയം:

ദ്വിമാന സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു മൂലം ഈ രൂപത്തിലാണെങ്കിൽ, \(\left( {a + \sqrt b } \right)\), മറ്റ് മൂലങ്ങൾ ജോഡിയായിരിക്കണം \(\left( {a - \sqrt b } \right)\) നേരെ തിരിച്ചും.

ദ്വിമാന സമവാക്യം: x ² - (മൂലത്തിന്റെ ആകെത്തുക) + (മൂലത്തിന്റെ ഗുണനഫലം) = 0

കണക്കുകൂട്ടൽ:

α = \(5 - 2\sqrt 5 \) , β = \(5 + 2\sqrt 5 \) ആണെന്നിരിക്കട്ടെ 

മൂലത്തിന്റെ ആകെത്തുക = α + β = \(5 - 2\sqrt 5 + 5 + 2\sqrt 5 = 10\)

മൂലത്തിന്റെ ഗുണനഫലം = α β = \(\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)\) = 25 - 20 = 5

ഇപ്പോൾ, ദ്വിമാന സമവാക്യം = x² - 10x + 5 = 0

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ ദ്വിമാന സമവാക്യം x² - 10x + 5 = 0 ആണ്.

ആശയം:

ഒരു ദ്വിമാന സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങൾ ആ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു മൂലത്തിന്റെ മൂല്യം ചേർത്ത്,

ഒരാൾക്ക് അജ്ഞാത ചരം (വേരിയബിൾ) കണ്ടെത്താനാകും, അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ മൂലം.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

നമുക്ക് x2 – 12x + k = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ, x = 3 എന്ന് കൊടുക്കാം.

⇒ 9 – 36 + k = 0

⇒ k = 27

K യുടെ മൂല്യം സമവാക്യത്തിൽ കൊടുക്കുമ്പോൾ,

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: x2 – 12x + 27 = 0

⇒ x2 – 9x – 3x + 27 = 0

⇒ x(x – 9) – 3 (x – 9) = 0

⇒ (x – 3)(x – 9) = 0

⇒ x = 3, 9

∴ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ മൂലം 9 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

സമവാക്യം x2 − 4x + k = 0

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ഒരു രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അതിനാൽ ഒരു മൂലത്തിന്റെ മൂല്യം നൽകുന്നതിലൂടെ ഒരാൾക്ക് അജ്ഞാതമായ ചരവും അതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ മൂലവും കണ്ടെത്താനാകും.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൽ x എന്നത് 3 എന്ന് നൽകാം 

അതിനാൽ,

x² – 4x + k = 0

⇒ 9 – 12 + k = 0

⇒ k = 3

സമവാക്യത്തിൽ k യുടെ മൂല്യം നൽകുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് 

x² – 4x + 3 = 0

⇒ x² – 3x – x + 3 = 0

⇒ x(x – 3) – 1(x – 3) = 0

⇒ (x – 3)(x – 1) = 0

⇒ x = 3, 1 

∴ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ മൂലമാണ് 1.

നൽകിയത്:

 5x2 + (5p – 1)x – (2p + 5) എന്ന ബഹുപദസമവാക്യത്തിന്റെ പൂജ്യത്തിന്റെ ആകെത്തുക = 1/4 × പൂജ്യങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം 

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

ബഹുപദസമവാക്യത്തിന്റെ പ്രാമാണിക രൂപം, ax2 + bx + c = 0

പൂജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക = - b/a

പൂജ്യങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം = c/a

കണക്കുകൂട്ടൽ:

പൂജ്യത്തിന്റെ ആകെത്തുക = - (5p - 1)/5  

പൂജ്യത്തിന്റെ ഗുണനഫലം = - (2p + 5)/5 

ചോദ്യം അനുസരിച്ച്;

⇒ - (5p - 1)/5 = 1/4 × [- (2p + 5)/5]

⇒ (5p - 1) = (2p + 5)/4 

⇒ 20p - 4 = 2p + 5 

⇒ 20p - 2p = 5 + 4 

⇒ 18p = 9 

⇒ p = 9/18 = 1/2 

∴ p യുടെ മൂല്യമാണ് = 1/2 

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

 ax2 - 4ax + 15 = 0 ന്റെ ഒരു മൂലം 3/2 ആണ് 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ax2 - 4ax + 15 = 0; ന്റെ മൂലം ആണ് 3/2 എങ്കിൽ, ഇത് സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

⇒ 9a/4 - 6a + 15 = 0

⇒ -15a/4 = -15

⇒ a = 4

സമവാക്യം ആകുന്നത് 4x2 - 16x + 15 = 0

⇒ 4x2 - 10x - 6x + 15 = 0

⇒ (2x - 5)(2x - 3) = 0

⇒ x = 3/2, 5/2

ഇപ്പോൾ, മൂലങ്ങളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക = (3/2)² + (5/2)²

⇒ 34/4 = 17/2

∴  മൂലങ്ങളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ മൂല്യം 17/2 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

സമവാക്യം 3x² + 5x + 3 = 0

ആശയം:

ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, D =  b2 - 4ac

D ≥ 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങൾ രേഖീയവും 

D <0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങൾ  സാങ്കൽപ്പികവുമാണ്.

വിശദീകരണം:

3x2 + 5x + 3 = 0

a = 3, b = 5, c = 3

⇒ D = 5² - (4 × 3 × 3) = -11

∴ D < 0, സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങൾ സാങ്കല്പികമാണ്.