इकाई अंक MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Unit Digit - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है

दिया गया व्यंजक:  (234)100 + (234)101 

उपयोग की गई संकल्पना

इकाई अंक 4 वाली किसी प्राकृत संख्या के लिए,

यदि घात सम संख्या है अर्थात 2, 4, 6,...

तब इकाई का अंक 6 होगा

और यदि घात विषम संख्या है अर्थात 1, 3, 5,...

तब इकाई का अंक 4 होगा

गणना

दिया गया व्यंजक (234)100 + (234)101 है  

⇒ (234)100[1 + 234]

⇒ (234)100 × 235

यहाँ घात 100 (सम) है और संख्या 234 है (इकाई का अंक 4 है)

⇒ इकाई का अंक 6 होगा

अब, 6 × 5 = 30 (इकाई का अंक 0 है)

∴ सही उत्तर 0 है।

दिया गया है:

{(341)491 × (625)317 × (6374)1793} का गुणनफल और हमें इसका इकाई अंक ज्ञात करना है।

प्रयुक्त सूत्र:

किसी गुणनफल का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए, हम अलग-अलग संख्याओं के इकाई अंकों को उनकी संबंधित घातों तक गुणा करते हैं।

गणना:

(341)⁴⁹¹ के लिए, 341 का इकाई अंक 1 है। 1 से समाप्त होने वाली किसी भी संख्या को किसी भी घात तक बढ़ाने पर उसका इकाई अंक 1 होगा।

(625)³¹⁷ के लिए, 625 का इकाई अंक 5 है। 5 से समाप्त होने वाली किसी भी संख्या को किसी भी घात तक बढ़ाने पर उसका इकाई अंक 5 होगा।

(6374)¹⁷⁹³ के लिए, 6374 का इकाई अंक 4 है। 4 से समाप्त होने वाली संख्याओं के इकाई अंक की चक्रियता घात 2 पर स्वयं को दोहराती है: 4¹ का इकाई अंक 4 है, और 4² का इकाई अंक 6 है, फिर यह दोहराता रहता है।

चूँकि 1793 विषम है, 4 की विषम घात पर इकाई अंक 4 होगा।

अब, 1 (341⁴⁹¹ से) × 5 (625³¹⁷ से) × 4 (6374¹⁷⁹³ से) = 20

∴ दिए गए गुणनफल में इकाई अंक 0 है।

दिया गया है:

हमें (593)²³ × (124)²⁶ के इकाई अंक को ज्ञात करना है।

गणना:

सबसे पहले, (593)²³ के इकाई अंक को देखते हैं:

593 का इकाई अंक 3 है। 3 की घातों का चक्र 3, 9, 7, 1 है, जो हर 4 घातों पर दोहराता है।
23 mod 4

⇒ 3 (क्योंकि 23 को 4 से विभाजित करने पर शेषफल 3 आता है)।

इसलिए, (593)²³ का इकाई अंक 7 है (चक्र में तीसरा अंक)।

अब, (124)²⁶ के इकाई अंक को देखते हैं:

124 का इकाई अंक 4 है। 4 की घातों का इकाई अंक, हर दूसरी घात पर 4 और 6 के बीच बदलता रहता है।

26 सम है, इसलिए ⇒ (124)²⁶ का इकाई अंक 6 है।

इसलिए, गुणनफल (593)23 × (124)26 का इकाई अंक, प्रत्येक घटक के इकाई अंकों (7 × 6) को गुणा करके ज्ञात किया जाता है:

चूँकि, 7 x 6 का इकाई अंक 2 है, इसलिए (593)²³ × (124)²⁶ का इकाई अंक 2 है।

दिया गया है:

(1829)⁴² संख्या के इकाई स्थान पर कौन-सा अंक है?

प्रयुक्त सूत्र:

किसी घात पर उठाई गई संख्या के इकाई अंक को ज्ञात करने के लिए, हम आधार संख्या की घातों में इकाई अंकों की चक्रीयता का उपयोग करते हैं।

गणना:

1829 का इकाई अंक 9 है।

9 की घातों के इकाई अंक एक चक्रीय पैटर्न का अनुसरण करते हैं:

9¹ = 9 → इकाई अंक = 9

9² = 81 → इकाई अंक = 1

9³ = 729 → इकाई अंक = 9

9⁴ = 6561 → इकाई अंक = 1

चक्रीय पैटर्न: 9, 1

अब, शेषफल ज्ञात करने के लिए घात (42) को चक्र की लंबाई (2) से विभाजित करें:

⇒ 42 ÷ 2 = 21 शेषफल 0

जब शेषफल 0 होता है, तो इकाई अंक चक्र में अंतिम संख्या से मेल खाता है।

चक्र (9, 1) से, अंतिम संख्या 1 है।

∴ (1829)⁴² के इकाई स्थान पर अंक 1 है।

दिया गया है:

संख्या = (1624)²⁴

प्रयुक्त सूत्र:

किसी संख्या की घात के इकाई स्थान पर अंक केवल आधार के इकाई स्थान के अंक पर निर्भर करता है।

4 की घातों के इकाई अंकों का चक्र है:

4¹ = 4

4² = 16 (इकाई अंक 6 है)

4³ = 64 (इकाई अंक 4 है)

4⁴ = 256 (इकाई अंक 6 है)

4 की घातों के इकाई अंक का पैटर्न 4, 6, 4, 6, ... है।

यदि घातांक विषम है, तो इकाई अंक 4 है।

यदि घातांक सम है, तो इकाई अंक 6 है।

गणना:

आधार (1624) का इकाई अंक 4 है।

घातांक 24 है, जो एक सम संख्या है।

4 की घातों के इकाई अंकों के पैटर्न के अनुसार, जब घातांक सम होता है, तो परिणाम का इकाई अंक 6 होता है।

इसलिए, (1624)²⁴ का इकाई अंक 6 है।

∴ संख्या (1624)²⁴ के इकाई स्थान पर अंक 6 है।

दिया गया है:

(432)⁴¹² × (499)⁴³¹

अवधारणा:

9^{सम संख्या.} = इकाई अंक 1

9^{विषम संख्या.} = इकाई अंक 9

गणना:

(432)⁴¹² × (499)⁴³¹

इकाई अंक लेने पर,

⇒ 2⁴¹² × 9⁴³¹

जैसा कि हम जानते हैं, 2¹ का इकाई अंक = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 6

⇒ 2⁴⁽¹⁰³⁾ × 9⁴³¹

⇒ 6 × 9

⇒ 54

∴ (432)⁴¹² × (499)⁴³¹ का इकाई अंक 4 है।

संख्या 432412 का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए हमें आधार संख्या 432 के अंतिम अंक अर्थात 2 और घातंकीय भाग 412 पर ध्यान देना है। 

हम जानतें हैं

अंतिम अंक के स्वरूप पर ध्यान दें। यह 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2 …… इत्यादि है।

इस प्रकार अंतिम अंक की, चार अंकों के बाद पुनरावृत्ति होती है और अर्थात 1, 2, 8, 6। यदि हम इस तालिका को तब तक लिखते रहें जब तक कि 2 की घात 412 तक नहीं पहुंच जाती है, तो इस स्वरूप की कितनी बार पुनरावृत्ति हो रही है 412 को 4 द्वारा विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है।

412 को 4 से विभाजित करने पर, भागफल 103 और शेषफल 0 है जो बताता है कि स्वरूप पूरी तरह से 103 बार दोहराया जाता है और फिर अंक 4 पर समाप्त होता है।(यदि यह पूरी तरह से विभाज्य है तो हम घात 4 लेते हैं)

∴ संख्या 432412 का अंतिम अंक 6 है

9सम संख्या. = इकाई अंक 1

9विषम संख्या. = इकाई अंक 9

∴ संख्या 9431 का अंतिम अंक 9 है

∴ (432)412 × (499)431 का इकाई अंक 4 है।

(164)¹⁶⁹ + (333)³³⁷ – (727)⁷²⁶ का इकाई अंक

इकाई अंक की जाँच करने के लिए घात को 4 से विभाजित करने पर,

4¹⁶⁹ + 3³³⁷ – 7⁷²⁶

⇒ 69/4 = शेषफल 1

⇒ 37/4 = शेषफल 1

⇒ 26/4 = शेषफल 2

⇒ 4¹ + 3¹ – 7²

⇒ 4 + 3 – 9

⇒ 7 – 9

या, 17 – 9

⇒ 8

फैक्टोरियल की गणना,

⇒ 1! = 1

⇒ 2! = 1 × 2 = 2

⇒3! = 1 × 2 × 3 = 6

⇒4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

⇒ 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

जैसा कि हम देख सकते हैं कि इकाई अंक 5 है! 0 है, इसलिए, 6!, 7!, …, 50 का इकाई अंक! शून्य होगा

इकाई का अंक (1! + 2! + 3! + 4! + …………… + 50!)

⇒ इकाई का अंक (1! + 2! + 3! + 4!)

⇒ इकाई का अंक (1 + 2 + 6 + 24)

∴ (33) की इकाई का अंक = 3

वैकल्पिक विधि 1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 120

∴ इकाई अंक = 1+ 2+ 6 + 4 + 0 = 13 = 3

दिया हुआ:

(795 – 358) 

उपयोग की गई अवधारणा:

7 की चक्रीयता 4 है

3 की चक्रीयता 4 है

गणना:

795 = 7(4 × 23) + 3 = 1 × 73 = 343

⇒ 795 की इकाई अंक = 3 

3⁵⁸ = 3^{(4 × 14) + 2} = 1 × 3² = 9

⇒ 3⁵⁸ की इकाई अंक = 9 

(795 – 358) की इकाई अंक = 3 – 9 = -6

नोट: 3 - 9 = -6 क्योंकि हमें यूनिट अंक ढूंढना है। इकाई अंक खोजने के लिए हमें दसवें अंक से 1 उधार लेना होगा। इसलिए, 13 - 9 = 4

प्रयुक्त अवधारणा :

क्रमगुणित को निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है:

n! = n × (n - 1) × (n - 2) × … × 3 × 2 × 1

गणना:

1! = 1 = 1 ⇒ इकाई अंक = 1

2! = 2 × 1 = 2 ⇒ इकाई अंक = 2

3! = 3 × 2 × 1 = 6 ⇒ इकाई अंक = 6

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ⇒ इकाई अंक = 4

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 ⇒ इकाई अंक = 0

6! = 6 × 5! = 720 ⇒ इकाई अंक = 0

अतः, आवश्यक इकाई अंक 3 है।

गणना:

71 का इकाई स्थान = 7, 72 = 9, 73 = 3, 74 = 1

795 का इकाई स्थान = 7^{23 × 4} × 7³ = 3

31 का इकाई स्थान = 3, 32 = 9, 33 = 7, 34 = 1

358 का इकाई स्थान = 314 × 4 × 32 = 9

795 का इकाई 3 है, जो 9 से कम है

फिर 3 को 13 लीजिए (कैरी नियम से)

N का इकाई स्थान = 795 - 358 = 13 - 9 = 4

∴ N का इकाई अंक 4 है।

25⁴³ का इकाई अंक 5 है।

56⁴² की इकाई अंक 6 है।

456²⁵ का इकाई अंक 6 है।

23⁴² का इकाई अंक 9 है।

76²³ की इकाई अंक 6 है।

∴ इकाई अंकों का परिणामी मान = [(5 × 6) + 6 + 9 + 6] = (30 + 6 + 9 + 6) = 51

इसलिए, व्यंजक का इकाई अंक 1 है।

Important Points

2342: यहां, हमें यह जानने की आवश्यकता है कि 3 की घातों का इकाई स्थान हर चौथी घात के बाद दोहराता है।

तो हम घात को 4 से विभाजित करते हैं और शेषफल के मान की जांच करते हैं।

42/4 → 2 (शेषफल)

तो, इकाई अंक होगा 32 = 9

अन्य संख्याओं के इकाई अंक 5 और 6 के साथ समाप्त होते हैं, घातों के इकाई अंक संख्या में ही हैं।

अवधारणा:

इकाई अंक ज्ञात करने के लिए, दी गयी संख्या का इकाई अंक लेते हैं और घात से इसकी चक्रीयता ज्ञात करते हैं। 

उदाहरण: 2⁵

∵ इकाई अंक के रूप में 2 को प्रत्येक 4 घात के बाद दोहराया जाता है, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32

⇒ 2 की चक्रीयता = 4

2⁵ का इकाई अंक = 2¹ = 2

उसी प्रकार, 3 की चक्रीयता = 4

गणना:

(1373)³⁶ – (1442)²⁰ का इकाई अंक 

⇒ (3)³⁶ – (2)²⁰ का इकाई अंक 

⇒ {(3)^{9 × 4} – (2)^{5 × 4}} का इकाई अंक 

⇒ {(3)⁴ – (2)⁴} का इकाई अंक 

⇒ {81 – 16} का इकाई अंक 

⇒ 65 का इकाई अंक 

अवधारणा:

किसी संख्या की घात का इकाई अंक प्रत्येक चौथी बार स्वयं की पुनरावृति करता है। 

गणना:

353 - 638 + 2756

⇒ (3)(13 × 4) + 1 - (6)(9 × 4) + 2 + (27)(14 × 4)

⇒ (31 - 6² + 274) के इकाई अंक द्वारा इकाई अंक निर्धारित किया जाएगा। 

⇒ 31 का इकाई अंक = 3

⇒ 62 का इकाई अंक = 6

⇒ 274 का इकाई अंक = 1

अतः इकाई अंक (3 - 6 + 1) = - 2 होगा। 

चूँकि इकाई अंक ऋणात्मक नहीं हो सकता है, हम इसमें 10 जोड़ देंगे क्योंकि ये संख्याएँ दशमलव रूप में हैं।

∴ (3)53 - (6)38 + (27)⁵⁶ का इकाई अंक = - 2 + 10 = 8

दिया है:

3674 × 8596 + 5699 × 1589

प्रयुक्त अवधारणा:

इकाई स्थान पर रखे गए अंकों को इकाई के अंक भी कहा जाता है।

गणना:

इकाई अंक खोजने के लिए उनके इकाई अंकों का गुणा करें = 4 × 6 + 9 × 9 

इकाई अंक ज्ञात करने के लिए उनके इकाई अंक जोड़े = 24 + 81 

तो, इकाई अंक = 4 + 1 = 5 है|