Lagrange's Mean Value Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Lagrange's Mean Value Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

दिया गया है:

सभी \(x \in [0, 2024]\) के लिए, \(f(x)\) अवकलनीय है।

\(f(0) = -2\) और \(f'(x) \ge 5\).

माध्य मान प्रमेय द्वारा, एक \(c \in (0, 2024)\) का अस्तित्व इस प्रकार है कि

\(f'(c) = \frac{f(2024) - f(0)}{2024 - 0}\)

⇒ \(f'(c) = \frac{f(2024) - (-2)}{2024}\)

⇒ \(f(2024) = 2024 f'(c) - 2\)

चूँकि \(f'(x) \ge 5\) है, हमारे पास \(f'(c) \ge 5\) है।

⇒ \(f(2024) \ge 2024 \times 5 - 2\)

⇒ \(f(2024) \ge 10120 - 2\)

⇒ \(f(2024) \ge 10118\)

∴ \(f(2024)\) का न्यूनतम संभव मान 10118 है।

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

अवधारणा:

लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय (LMVT)

मान लीजिए कि f(x) [a, b] में परिभाषित एक फलन इस प्रकार है कि:

• f(x) [a, b] में संतत है। 
• f(x) (a, b) में अवकलनीय है। 

तब, कम से कम एक बिंदु का अस्तित्व इस प्रकार है कि c ∈ (a, b) ऐसे है कि

\(f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}\)

गणना:

दिया गया है, f ''(x) < 0

⇒ f'(x) [1, 3] में ह्रासमान है

मान लीजिए C₁ ∈ (1, 2) है। LMVT का उपयोग करने पर:

f '(C1) = \(\displaystyle \frac{f(2)-f(1)}{2-1}\) = f(2) - f(1)

मान लीजिए C2 ∈ (2, 3) है। LMVT का उपयोग करने पर:

f '(C2) = \(\displaystyle \frac{f(3)-f(2)}{3-2}\) = f(3) - f(2)

चूँकि, f'(x) एक ह्रासमान फलन है

⇒ f '(C2) < f '(C1) 

⇒ f(3) - f(2) < f(2) - f(1)

⇒ f(3) + f(1) < 2f(2)

∴ f(3) + f(1) < 2f(2)

सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा:

यदि f [a, b] में सतत और (a, b) में अवकलनीय फलन है, तो c ∈ (a, b) के लिए,

f '(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

गणना:

मान लीजिए, g(x) = (f(x))³

चूँकि, f : [2, 7] → [0, ∞) एक सतत एवं अवकलनीय फलन है।

⇒ g(x) : [2, 7] → [0, ∞) एक सतत एवं अवकलनीय फलन है।

लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय का उपयोग करके, हम पाते है:

g'(c) = \(\frac{g(7)-g(2)}{7-2}\)

⇒ 3(f(c))2f '(c) = \(\frac{(f(7))^3-(f(2))^3}{5}\)

⇒ \(\frac{(f(7))^3-(f(2))^3}{f^2(c)f'(c)}\) = 3×5 = 15

∴ k का मान 15 है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

व्याख्या -

LMVT f(x) पर [0,1] में लागू होता है, इसलिए यह [0,1] में सतत और अवकलनीय है।

अब, f(0) = 11, f(1) = 16

f ′(x) = 3x2 − 8x + 8

f’(c) = (f(1) - f(0))/(1-0)

= (16 - 11)/1

⇒ 3c2 − 8c + 8 = 5

⇒ 3𝑐2 − 8𝑐 + 3 = 0

c = (8±2√7)/6 = (4±√7)/3

चूँकि c ∈ (0,1) है।

हमें c = (4 - √7)/3 प्राप्त है

इसलिए, सही विकल्प (1) है।

स्पष्टीकरण -

\(f(-7) = -3\) और \(f’(x) ≤ 2\)

\([-7, 0]\) में LMVT लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(\frac{(f(-7) - f(0))}{-7} = f’(c) ≤ 2\)

\(\frac{(-3-f(0))}{-7} ≤ 2\)

\(f(0) + 3 ≤ 14\)

\(f(0) ≤ 11\)

\([-7, -1] \) में LMVT लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(\frac{(f(-7) - f(-1))}{-7 +1} = f’(c) ≤ 2\)
\(\frac{-3 - f(-1)}{-6} = f’(c) ≤ 2\)

\(f(-1) + 3 = ≤ 12\)

\(f(-1) ≤ 9\)

इसलिए \(f(-1) + f(0) ≤ 20\)

अतः विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय: यदि एक फलन f निम्नलिखित को संतुष्ट करने वाले बंद अंतराल [a, b] पर परिभाषित है:

• फलन f बंद अंतराल [a, b] पर निरंतर है। 
• फलन f खुले अंतराल (a, b) पर अवकलनीय है। 

तो यहाँ मान x = c इस प्रकार मौजूद है जिससे f'(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) है। 

गणना:

दिया गया फलन f(x) = \(\rm x+\frac1x\) अंतराल [1, 3] में अवकलनीय और निरंतर दोनों है। 

f'(x) = \(\rm 1-\frac1{x^2}\)

माध्य मान प्रमेय से यहाँ a c ∈ [1, 3] मौजूद है, जिससे:

f'(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\left(3+\frac13\right)-\left(1+\frac11\right)}{2}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\frac43}{2}=\frac23\)

⇒ \(\rm \frac1{c^2}=1-\frac23=\frac13\)

⇒ c = √3

अवधारणा:

माध्यमान प्रमेय यह बताती है कि यदि f(x) अंतराल [a, b] पर संतत है और अंतराल (a, b) पर अवकलनीय है, तो (a, b) में कम से कम एक c इस प्रकार है कि f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

गणना:

दिया गया है: f(x) = x(x - 2), x ϵ [1, 2]

f'(x) = x - 2 + x

f'(x) = 2x - 2

f'(x) =2(x - 1)

f'(c) = 2(c - 1)

माध्यमान प्रमेय यह बताती है कि (a, b) में कम से कम एक c इस प्रकार है कि f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

यहाँ, b = 2 ⇒  f(2) = 2(2 - 2) = 0

a = 1 ⇒  f(1) = 1(1 - 2) = - 1

⇒ 2 (c - 1) = \(\frac{0-(-1)}{2-1} \)

⇒ 2(c - 1) = 1

⇒ c - 1 = \(\frac{1}{2}\)

∴ c = \(\frac{3}{2}\) ∈ (1, 2)

सही उत्तर 3/2 है।

संकल्पना:

माध्य मान प्रमेय: माना कि f : [a, b] → R, [a, b] पर निरंतर और (a, b) पर अवकलनीय फलन है। तो यहाँ (a, b) में कुछ c मौजूद है जिससे

f'(c) = \(\rm\frac{[f (b) - f(a)] }{(b - a)}\) है। 

वर्णन:

दिया गया है कि

\(f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

माध्य मान प्रमेय के अनुसार f'(x) को कुछ मान a < xt < b के लिए परिभाषित किया जाएगा, जहां f(x) अवकलनीय है।

अत: सही उत्तर a < xt < b है।

अवधारणा:

माध्यमान प्रमेय बताता है कि यदि अंतराल [a, b] पर f(x) संतत हो और अंतराल [a, b] पर अवकलनीय हो तो (a, b) में कम से कम एक c का अस्तित्व इस प्रकार है कि f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) है। 

गणना:

दिया है: f(x) = x + \(\rm\frac{1}{x}\), x ϵ [1, 3]

 f'(x) = 1 - \(\frac{1}{x^2}\)  

माध्य मान प्रमेय बताता है कि (a, b)  में कम से कम एक c का अस्तित्व इस प्रकार है कि

f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

यहां, b = 3 ⇒ f(3) = 3 + \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{10}{3}\)

a = 1 ⇒  f(1) = 1 + 1 = 2

अब, f'(c) = \(\frac{\frac{10}{3}-2}{3-1}\)

 \(1-\frac{1}{c^2}\)   = \(\frac{\frac{10-6}{3}}{2}\) 

 \(1-\frac{1}{c^2}=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\)

 \(1-\frac{1}{c^2}=\frac{2}{3}\)

 \(\frac{1}{c^2}=1-\frac{2}{3}\)

  \(\frac{1}{c^2}\) =  \(\frac{1}{3}\)

⇒ c² = 3

⇒ c = ± √3

∴  c = √3 ∈ (1, 3)

सही उत्तर √3 है। 

संकल्पना:

[a, b] में माध्य मान प्रमेय के लिए

\(f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}\)

गणना:

f(x) = log_e x

\(f'\left( x \right) = \frac{1}{x}\;\therefore f'\left( c \right) = \frac{1}{c}\)

\(\frac{1}{c} = \frac{{f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right)}}{{3 - 1}} = \frac{{{{\log }_e}3 - {{\log }_e}1}}{{3 - 1}}\)

\(\frac{1}{c} = \frac{{{{\log }_e}3}}{2}\)

\(c = \frac{2}{{{{\log }_e}3}} = 2{\log _3}e\)

स्पष्टीकरण -

\(f(-7) = -3\) और \(f’(x) ≤ 2\)

\([-7, 0]\) में LMVT लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(\frac{(f(-7) - f(0))}{-7} = f’(c) ≤ 2\)

\(\frac{(-3-f(0))}{-7} ≤ 2\)

\(f(0) + 3 ≤ 14\)

\(f(0) ≤ 11\)

\([-7, -1] \) में LMVT लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(\frac{(f(-7) - f(-1))}{-7 +1} = f’(c) ≤ 2\)
\(\frac{-3 - f(-1)}{-6} = f’(c) ≤ 2\)

\(f(-1) + 3 = ≤ 12\)

\(f(-1) ≤ 9\)

इसलिए \(f(-1) + f(0) ≤ 20\)

अतः विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय: यदि एक फलन f निम्नलिखित को संतुष्ट करने वाले बंद अंतराल [a, b] पर परिभाषित है:

• फलन f बंद अंतराल [a, b] पर निरंतर है। 
• फलन f खुले अंतराल (a, b) पर अवकलनीय है। 

तो यहाँ मान x = c इस प्रकार मौजूद है जिससे f'(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) है। 

गणना:

दिया गया फलन f(x) = \(\rm x+\frac1x\) अंतराल [1, 3] में अवकलनीय और निरंतर दोनों है। 

f'(x) = \(\rm 1-\frac1{x^2}\)

माध्य मान प्रमेय से यहाँ a c ∈ [1, 3] मौजूद है, जिससे:

f'(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\left(3+\frac13\right)-\left(1+\frac11\right)}{2}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\frac43}{2}=\frac23\)

⇒ \(\rm \frac1{c^2}=1-\frac23=\frac13\)

⇒ c = √3

संकल्पना

लग्रांज माध्य मान प्रमेय (LMVT)

मान लीजिए f(x), [a, b] में परिभाषित एक ऐसा फलन है कि

f (x), [a, b] में संतत है और (a, b) में अवकलनीय है

तब कम से कम एक बिंदु ऐसा मौजूद होता है कि C (a, b) ऐसा हो कि

\(f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}\)

गणना

दिया गया है:

f(x) = x(x -1)2 

⇒ f(0) = 0

f(2) = 2 

⇒  f(0) ≠ f(2)

इस प्रकार माध्य मान प्रमेय लागू होता है

तब, \(f'(x) = \frac{{f(2) - f(0)}}{{2 - 0}}\)

\( \Rightarrow 3{x^2} - 4x + 1 = \frac{{2 - 0}}{{2 - 0}} = 1 \)

\(\Rightarrow 3{x^2} - 4x = 0\)

\( \Rightarrow x(3x - 4) = 0 \)

\(\Rightarrow x = 0,x = 4/3.\)

हम x = 4/3 ϵ (0, 2) ही लेंगे  

संकल्पना

लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय (LMVT)

मान लीजिए f(x), [a, b] में परिभाषित एक ऐसा फलन है कि

f (x), [a, b] में संतत है और (a, b) में अवकलनीय है

तब कम से कम एक बिंदु ऐसा मौजूद होता है कि c ∈ (a, b) ऐसा हो कि

\(f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}\)

गणना

दिया गया है: फलन f, (1, 6) पर एक दुगना अवकलनीय फलन है।

f(2) = 8, f'(2) = 5, f'(x) ≥ 1, f"(x) ≥ 4, ∀ x ∈ (1, 6)

\(f''(x) = \frac{{f'\left( 5 \right) - f'\left( 2 \right)}}{{5 - 2}} ≥ 4\)       ----(i)

\( \Rightarrow f'(5) ≥ 17\)

\(f'\left( x \right) = \frac{{f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right)}}{{5 - 2}} ≥ 1 \)       ----(ii)

\(\Rightarrow f\left( 5 \right) ≥ 11\)

∴ f'(5) + f(5) ≥ 28

संकल्पना:

अवकलन सूत्र

\(\rm \frac{d}{dx} x^{n} = nx^{n - 1}\)

गणना:

हमारे पास  f(a) = f(0) = 0 और f(b) = f( \(\rm \frac{1}{2}\) ) = \(\rm \frac{3}{8}\)

⇒ \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{\frac{3}{8} - 0}{\frac{1}{2} - 0} = \frac{3}{4} \)

अब हमारे पास f(x) = x3 −3x2+ 2x है

⇒ f′(x) = 3x2− 6x + 2

⇒ f′(c) = 3c2 − 6c + 2

इन सभी मानों को लाग्रेंज के माध्य मान प्रमेय में रखने पर

\(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\) ,(a < c, b) हम प्राप्त करते हैं

⇒ \(\rm \frac{3}{4} \) = 3c2 − 6c + 2

⇒ c = \(\rm 1 \pm \frac{\sqrt{21}}{6}\)

इसलिए, c = \(\rm 1 - \frac{\sqrt{21}}{6}\)