Errors and Approximations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Errors and Approximations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

माना कि \(A = 1 + \alpha + \alpha^2 + \dots\)

तब \(y = Ae^{nx}\)

दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:

⇒ \(\ln y = \ln (Ae^{nx})\)

⇒ \(\ln y = \ln A + \ln e^{nx}\)

⇒ \(\ln y = \ln A + nx\)

\(x\) के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:

⇒ \(\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 0 + n\)

⇒ \(\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = n\)

⇒ \(\frac{dy}{y} = n dx\)

\(y\) में आपेक्षिक त्रुटि \(\frac{dy}{y}\) है।

\(x\) में त्रुटि \(dx\) है।

इसलिए, \(y\) में आपेक्षिक त्रुटि \(x\) में त्रुटि का \(n\) गुना है।

⇒ \(y\) में आपेक्षिक त्रुटि = \(n \times\) (\(x\) में त्रुटि)

∴ \(y\) में आपेक्षिक त्रुटि \(x\) में त्रुटि का \(n\) गुना है।

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

अवधारणा: 

मान लीजिए x में छोटा परिवर्तन Δx है और y में संगत परिवर्तन Δy है।

\(\rm Δ y = \rm \dfrac{dy}{dx}Δ x = f'(x) Δ x \)

अब Δy = f(x + Δx) - f(x)

इसलिए , f(x + Δx) = f(x) + Δy

गणना: 

दिया गया है: f (x) = 2x2 + x + 2.

f'(x) = 4x + 1

मान लीजिये x + Δx = 2.002 = 2 + 0.002

इसलिए , x = 2 और Δx = 0.002

f(x + Δx) = f(x) + Δy

= f(x + Δx) = f(x) + f'(x)Δx

= f(2.002) = 2x2 + x + 2 + (4x + 1)Δx

= f(2.002) = 2(2)² + 2 + 2 + [4⋅(2) + 1](0.002)

= f(2.002) = 12 + (9)(0.002)

= f(2.002) = 12 + 0.018

= f(2.002) = 12.018

अवधारणा: 

मान लीजिए x में छोटा परिवर्तन Δx है और y में संगत परिवर्तन Δy है।

\(\rm Δ y = \rm \dfrac{dy}{dx}Δ x = f'(x) Δ x \)

अब Δy = f(x + Δx) - f(x)

इसलिए , f(x + Δx) = f(x) + Δy

गणना: 

दिया गया है: f(x) = 2x3 + 5x

f'(x) = 6x² + 5

मान लीजिये x + Δx = 2.05 = 2 + 0.05

इसलिए, x = 2 और Δx = 0.05

f(x + Δx) = f(x) + Δy

= f(x + Δx) = f(x) + f'(x)Δx

= f(2.05) = 2x3 + 5x + (6x2 + 5)Δx

= f(2.05) = 2(2)³ + 5(2) + [6⋅(2)² + 5](0.05)

= f(2.05) = 16 + 10 + (24 + 5)(0.05)

= f(2.05) = 26 + (29)(0.05)

= f(2.05) = 26 + 1.45 = 27.45

अवधारणा: 

मान लीजिए x में छोटा परिवर्तन Δx है और y में संगत परिवर्तन Δy है।

\(\rm Δ y = \rm \dfrac{dy}{dx}Δ x = f'(x) Δ x \)

अब Δy = f(x + Δx) - f(x)

इसलिए , f(x + Δx) = f(x) + Δy

गणना: 

दिया गया है: f(x) = 3x2 +  3

मान लीजिये x + Δx = 3.01 = 3 + 0.01

इसलिए, x = 3 और Δx = 0.01

f(x + Δx) = f(x) + Δy

= f(x + Δx) = f(x) + f'(x)Δx

= f(3.01) = 3x2 +  3 + (6x)Δx

= f(3.01) = 3(3)² + 3 + (6⋅3)(0.01)

= f(3.01) = 30 + 0.18

= f(3.01) = 30.18

अवधारणा: 

मान लीजिए x में छोटा परिवर्तन Δx है और y में संगत परिवर्तन Δy है।

इसलिए,

गणना:

हमें (17)1/4" id="MathJax-Element-79-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">\((64.02)^{1/6}\) का मान ज्ञात करना है

मान लीजिये x + Δx = 64.02 = 64 |+ 0.02

इसलिए , x = 64 और Δx = 0.02

मान लीजिये , \(\rm y = x^{1/6}\)          

x के सापेक्ष में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\(\rm \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{6}x^{-5/6} = \frac{1}{6(x)^{5/6}}\)

x = 64 पर

\(\rm \left[\frac{dy}{dx} \right ]_{x=64} = \frac{1}{192}\) और y = \((64)^{1/6} = 2\)

जैसा की हम जानते हैं कि \(\rm Δ y = \rm \frac{dy}{dx}Δ x\)

इसलिए, \(\rm Δ y = \frac{1}{192} \times (0.02) = 0.00010\)

इसलिए \((64.02)^{1/6}\) का अनुमानित मान = y + Δy = 2 + 0.00010 = 2.00010

अवधारणा: 

मान लीजिए x में छोटा परिवर्तन Δx है और y में संगत परिवर्तन Δy है।

\(\rm Δ y = \rm \dfrac{dy}{dx}Δ x = f'(x) Δ x \)

अब Δy = f(x + Δx) - f(x)

इसलिए , f(x + Δx) = f(x) + Δy

गणना: 

दिया गया है: f(x) = 3x2 +  3

मान लीजिये x + Δx = 3.01 = 3 + 0.01

इसलिए, x = 3 और Δx = 0.01

f(x + Δx) = f(x) + Δy

= f(x + Δx) = f(x) + f'(x)Δx

= f(3.01) = 3x2 +  3 + (6x)Δx

= f(3.01) = 3(3)² + 3 + (6⋅3)(0.01)

= f(3.01) = 30 + 0.18

= f(3.01) = 30.18

संकल्पना:

माना कि x में छोटा परिवर्तन Δx है और y के संबंधित परिवर्तन Δy है। 

इसलिए \(\rm \Delta y = \rm \frac{dy}{dx}\Delta x\)

गणना:

दिया गया है: y = 3x² + 2

निम्न ज्ञात करने के लिए: y में कुल परिवर्तन = Δy

x, 10 से 10.1 तक परिवर्तित होता है। 

इसलिए, Δx = 10.1 - 10 = 0.1

अब, y = 3x² + 2

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\Rightarrow \rm \frac{dy}{dx} = 6x\)

चूँकि हम जानते हैं, \(\rm \Delta y = \rm \frac{dy}{dx}\Delta x\)

\(\Rightarrow \rm \Delta y = \rm 6x\Delta x\)

x = 10 और Δx = 0.1 रखने पर 

\(\therefore \rm \Delta y = \rm 6\times 10\times 0.1 = 6\approx 6.03\)

अवधारणा: 

माना कि x में छोटा परिवर्तन Δx है और y में संबंधित परिवर्तन Δy है।

अतः \(\rm Δ y = \rm \frac{dy}{dx}Δ x\)

गणना:

हमें \(\sqrt{24.99}\) का मान खोजना होगा

माना कि x + Δx = 24.99 = 25 - 0.01

अतः, x = 25 और Δx = -0.01

मान लीजिये, \(\rm y = x^{1/2}\)

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

\(\rm \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt x}\)

x = 25 पर

\(\rm \left[\frac{dy}{dx} \right ]_{x=25} = \frac{1}{10}\) और y = \((25)^{1/2} = 5\)

जैसा कि हम जानते हैं \(\rm Δ y = \rm \frac{dy}{dx}Δ x\)

तो, \(\rm Δ y = \frac{1}{10} \times (-0.01) = -0.001\)

इसलिए, अनुमानित मूल्य है \(\sqrt{24.99} = (24.99)^{1/2}\) = y + Δy = 5 - 0.001 = 4.999

संकल्पना:

कलन का अनुप्रयोग:

अनुमान: f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x)Δx

गणना:

माना कि f(x) = √x हमारा फलन है। 

∴ f(x + Δx) ≈ √x + \(\rm{1\over2}\left({1\over\sqrt x}\right)\)Δx

x = 4 और Δx = (2.718 - 4) = -1.282 रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ f(4 - 1.282) ≈ √4 + \(\rm{1\over2}\left({1\over\sqrt4}\right)\)(-1.282)

⇒ √(2.718) ≈ 2 - \(\rm{1\over2}\left({1\over2}\right)\)(1.282)

⇒ √e ≈ 2 - 0.3205 = 1.6795

अवधारणा: 

माना कि x में छोटा परिवर्तन Δx है और y में संबंधित परिवर्तन Δy है।

अतः \(\rm Δ y = \rm \frac{dy}{dx}Δ x\)

गणना:

हमें \(\sqrt{4.24}\) का मान खोजना होगा

माना कि x + Δx = 4.24 = 4 + 0.24

अतः, x = 4 और Δx = 0.24

मान लीजिये, \(\rm y = x^{1/2}\)

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

\(\rm \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt x}\)

x = 1 पर

\(\rm \left[\frac{dy}{dx} \right ]_{x=4} = \frac{1}{2 \sqrt 4} = \frac 1 4\) और y = \((4)^{1/2} = 2\)

जैसा कि हम जानते हैं \(\rm Δ y = \rm \frac{dy}{dx}Δ x\)

तो, \(\rm Δ y = \frac{1}{4} \times (0.24) = 0.06\)

इसलिए, अनुमानित मान है \(\sqrt{4.24} = (4.24)^{1/2}\) = y + Δy = 2 + 0.06 = 2.06

धारणा:

माना कि घन का पक्ष x मीटर है,

घन का सतह क्षेत्र = S = 6 × (side)2

घन के सतह क्षेत्र में अनुमानित परिवर्तन इसके द्वारा दिया गया है: \({\rm{\Delta S\;}} = {\rm{\;}}\left( {\frac{{{\rm{ds}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right){\rm{\Delta x}}\)

गणना:

दिया गया: घन का पक्ष = x मीटर

घन के पक्ष में कमी = Δx = -2% of x            (ऋणात्मक चिह्न मात्रा को कम करने का संकेत देता है)

⇒ Δx = -0.02x

अब, घन का सतह क्षेत्र इसके द्वारा दिया जाता है,

 S = 6 × (side)² = 6x²

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

⇒ \(\frac{{{\rm{dS}}}}{{{\rm{dx}}}} = 12{\rm{x}}\)

अब

घन के सतह क्षेत्र में अनुमानित परिवर्तन = \({\rm{\Delta S\;}} = {\rm{\;}}\left( {\frac{{{\rm{ds}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right){\rm{\Delta x}}\)

\({\rm{\Delta S\;}} = {\rm{\;}}\left( {12{\rm{x}}} \right) \times - 0.02{\rm{x}} = {\rm{\;}} - 0.24{{\rm{x}}^2}\)

इसलिए घन के सतह क्षेत्र में अनुमानित परिवर्तन 0.24x² metres² है

अवधारणा: 

मान लीजिए x में छोटा परिवर्तन Δx है और y में संगत परिवर्तन Δy है।

\(\rm Δ y = \rm \dfrac{dy}{dx}Δ x = f'(x) Δ x \)

अब Δy = f(x + Δx) - f(x)

इसलिए , f(x + Δx) = f(x) + Δy

गणना: 

दिया गया है: f(x) = 2x3 + 5x

f'(x) = 6x² + 5

मान लीजिये x + Δx = 2.05 = 2 + 0.05

इसलिए, x = 2 और Δx = 0.05

f(x + Δx) = f(x) + Δy

= f(x + Δx) = f(x) + f'(x)Δx

= f(2.05) = 2x3 + 5x + (6x2 + 5)Δx

= f(2.05) = 2(2)³ + 5(2) + [6⋅(2)² + 5](0.05)

= f(2.05) = 16 + 10 + (24 + 5)(0.05)

= f(2.05) = 26 + (29)(0.05)

= f(2.05) = 26 + 1.45 = 27.45

धारणा:

माना कि एक गोले की त्रिज्या r मीटर है,

गोले का आयतन = V = \(\frac{4}{3}{\rm{\pi }}{{\rm{r}}^3}\)

एक गोले के आयतन में अनुमानित त्रुटि इसके द्वारा दी गई है:\({\rm{\Delta V\;}} = {\rm{\;}}\left( {\frac{{{\rm{dV}}}}{{{\rm{dr}}}}} \right){\rm{\Delta r}}\)

गणना:

दिया गया: एक गोले की त्रिज्या = 4 m and Δr = 0.01m

अब, गोले का आयतन इसके द्वारा दिया जाता है,

V = \(\frac{4}{3}{\rm{\pi }}{{\rm{r}}^3}\)

r के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

\( \Rightarrow \frac{{{\rm{dV}}}}{{{\rm{dr}}}} = {\rm{\;}}\frac{{4{\rm{\pi }}}}{3} \times 3{{\rm{r}}^2} = 4{\rm{\pi }}{{\rm{r}}^2}\)

अब

एक गोले के आयतन में अनुमानित त्रुटि = \({\rm{\Delta V\;}} = {\rm{\;}}\left( {\frac{{{\rm{dV}}}}{{{\rm{dr}}}}} \right){\rm{\Delta r}}\)

\(\therefore {\rm{\Delta V\;}} = {\rm{\;}}4{\rm{\pi }}{{\rm{r}}^2} \times {\rm{\Delta r}}\)

⇒ ΔV = 4π × 4² × 0.01 = 0.64π m³

इसलिए एक गोले के आयतन में अनुमानित त्रुटि 0.64π m³ है

अवधारणा:

माना एक गोले की त्रिज्या r मीटर है,

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल(A) = 4πr²

गणना:

दिया गया है:

एक गोले की त्रिज्या = 6 m और Δr = 0.02m

अब, गोले का आयतन इस प्रकार है-

A = 4πr2

r के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\(\rm = \frac{{{\rm{dS}}}}{{{\rm{dr}}}} = 8π r\)

= dS = 8πr⋅dr

= dS = 8π⋅6⋅(0.02)

= dS = 0.96π m²

अवधारणा: 

माना कि x में छोटा परिवर्तन Δx है और y में संबंधित परिवर्तन Δy है।

अतः \(\rm Δ y = \rm \frac{dy}{dx}Δ x\)

गणना:

हमें \(\sqrt{24.99}\) का अनुमानित मान खोजना होगा

माना कि x + Δx = 1.04 = 1 + 0.04

अतः, x = 1 और Δx = 0.04

मान लीजिये, \(\rm y = x^{1/4}\)

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

\(\rm \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}x^{-3/4}\)

x = 1 पर

\(\rm \left[\frac{dy}{dx} \right ]_{x=1} = \frac{1}{4}\) और y = \(1^{1/4} = 1\)

जैसा कि हम जानते हैं \(\rm Δ y = \rm \frac{dy}{dx}Δ x\)

तो, \(\rm Δ y = \frac{1}{4} \times 0.04 = 0.01\)

इसलिए, अनुमानित मान है \((1.04)^{1/4}\) = y + Δy = 1 + 0.01 = 1.01

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)