अधिकतम और न्यूनतम MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Maxima and Minima - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 22, 2025

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Latest Maxima and Minima MCQ Objective Questions

अधिकतम और न्यूनतम Question 1:

निम्नलिखित सूची-I का सूची-II से मिलान कीजिए।

सूची-I सूची-II
(I) माना f(x) = x3/5 यदि x ≤ 1
−(x−2)3 यदि x > 1
तो फलन के आलेख पर क्रांतिक बिंदुओं की संख्या है
(P) 1
(II) समीकरण log2x + (x−1)log2x = 6 − 2x के वास्तविक हल का गुणनफल है, (Q) 3
(III) c के मानों की संख्या ऐसी है कि सरल रेखा 3x + 4y = c वक्र x4/2 = x + y को स्पर्श करती है (R) 4
(IV) यदि f(x) = ∫xx2 (t−1) dt, 1 ≤ x ≤ 2 है,तो f(x) का वैश्विक अधिकतम मान है (S) 1/2
  (T) 2

कौन सा विकल्प सही है?

  1. (I) → Q, (II) → S, (III) → P, (IV) → T
  2. (I) → S, (II) → R, (III) → P, (IV) → T
  3. (I) → Q, (II) → S, (III) → T, (IV) → V
  4. (I) → Q, (II) → P, (III) → S, (IV) → T

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : (I) → Q, (II) → S, (III) → P, (IV) → T

Maxima and Minima Question 1 Detailed Solution

संप्रत्यय:

  • क्रांतिक बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ f'(x) = 0 या व्युत्पन्न अस्तित्व नहीं होता है।
  • लघुगणक वाले समीकरणों के वास्तविक हलों की संख्या प्रतिस्थापन द्वारा द्विघात रूप में कम करके पाई जा सकती है।
  • जब कोई रेखा किसी वक्र को स्पर्श करती है, तो इसका अर्थ है कि रेखा ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है और उस बिंदु पर ढलान समान होते हैं।
  • यदि कोई फलन चर सीमाओं के साथ निश्चित समाकल का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, तो लेबनिज नियम का उपयोग करके व्युत्पन्न को नियंत्रित किया जाता है।

 

गणना:

(I) क्रांतिक बिंदुओं की संख्या

दिया गया है,

f(x) = x3/5 x ≤ 1 के लिए

    = −(x − 2)³ x > 1 के लिए

⇒ f″(x) = 0, x = 2 के लिए और x = 0 पर अस्तित्व नहीं है। 

⇒ कुल क्रांतिक बिंदु = 3 (A, B, C)

∴ (I) → Q

(II) वास्तविक हलों की संख्या

दिया गया है, log₂²x + (x − 1) log₂ x = 6 − 2x

⇒ माना y = log₂ x

⇒ y² + (x − 1)y = 6 − 2x

⇒ y में एक द्विघात बनाएँ और वास्तविक x के लिए हल करने पर,

⇒ हल: x = 1/4 और x = 2

उनका गुणनफल = 1/2

∴ (II) → S

(III) c के मानों की संख्या ऐसी है कि रेखा 3x + 4y = c वक्र x⁴/2 = x + y को स्पर्श करती है

दिया गया है, dy/dx = −1 + 2x³

⇒ dy/dx = −3/4 (रेखा का ढलान) सेट करने पर,

⇒ −1 + 2x₁³ = −3/4 ⇒ x₁ = 1/2

⇒ वक्र से: x⁴/2 = x + y

⇒ (1/2)⁴/2 = 1/2 + y₁

⇒ 1/32 = 1/2 + y₁

⇒ y₁ = −15/32

⇒ c = 3x + 4y = 3/2 + 4(−15/32) = −3/8

∴ (III) → P

(IV) f(x) = ∫x(t − 1) dt , 1 ≤ x ≤ 2

⇒ f′(x) = 2x(x² − 1) − (x − 1) = 2x³ − 3x + 1

⇒ f′(x) (1, 2) में हमेशा धनात्मक है। 

⇒ इसलिए, फलन [1, 2] में वर्धमान है। 

⇒ अधिकतम मान x = 2 पर है। 

∴ (IV) → T

अंतिम मिलान: (I) → Q, (II) → S, (III) → P, (IV) → T है। 

अधिकतम और न्यूनतम Question 2:

Comprehension:

निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार करें:

माना f(x) = cos2x + x, जहाँ x [-π/2, π/2] में है।

f(x) का न्यूनतम मान क्या है?

  1. \(-\left(1+\frac{\pi}{2}\right)\)
  2. \(-\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\)
  3. \(-\left(1+\frac{\pi}{4}\right)\)
  4. \(-2\left(\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(-\left(1+\frac{\pi}{2}\right)\)

Maxima and Minima Question 2 Detailed Solution

व्याख्या:

f(x) = cos2x + x [-π/2, π/2] पर

\(f (\frac{-\pi}{2}) =-1 - \frac{\pi}{2}\)

\(f (\frac{\pi}{2}) =-1 + \frac{\pi}{2}\)

इसलिए f(x) का न्यूनतम मान \(-1 - \frac{\pi}{2}\)

∴ विकल्प (a) सही है

अधिकतम और न्यूनतम Question 3:

Comprehension:

निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार करें:

माना f(x) = cos2x + x, जहाँ x [-π/2, π/2] में है।

f(x) का महत्तम मान क्या है?

  1. \(\rm \frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{12}\)
  2. \(\rm \frac{\sqrt3}{2}+\frac{\pi}{12}\)
  3. \(\rm \frac{\sqrt3}{2}+\frac{\pi}{9}\)
  4. \(\rm \frac{\sqrt3}{2}+\frac{\pi}{6}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\rm \frac{\sqrt3}{2}+\frac{\pi}{12}\)

Maxima and Minima Question 3 Detailed Solution

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) = cos2x + x on [-π/2, π/2].

⇒ f'(x) = - 2 sin 2x + 1

उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ के लिए, f'(x) = 0

Sin2x = 1/2

x = π/12 या 5π/12 (अंतराल में नहीं)

इसलिए f(x) का अधिकतम मान x = π/12 पर होता है

\(f(\frac{\pi}{12}) = cos\frac{\pi }{6}+ \frac{\pi }{12} \)

= \(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\pi}{12}\)

∴ विकल्प (b) सही है।

अधिकतम और न्यूनतम Question 4:

a cos x + b sin x + c का अधिकतम मान क्या है?

  1. \(\rm \sqrt{a^2+b^2+c}\)
  2. \(\rm \sqrt{a^2+b^2}+c\)
  3. \(\rm \sqrt{a^2+b^2}-c\)
  4. \(\rm \sqrt{a^2+b^2}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\rm \sqrt{a^2+b^2}+c\)

Maxima and Minima Question 4 Detailed Solution

व्याख्या:

चूँकि, acosx + bsinx का अधिकतम मान \(\sqrt{a^2+b^2}\) है

इसलिए acosx + bsinx + c का अधिकतम मान \(\sqrt{a^2+b^2} +c\) है

∴ विकल्प (b) सही है।

अधिकतम और न्यूनतम Question 5:

फलन f(x) = log10(x2 + 2x + 11) का न्यूनतम मान क्या है?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 10

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1

Maxima and Minima Question 5 Detailed Solution

व्याख्या:

f(x) = log10 (x2 + 2x + 11) के लिए न्यूनतम f'(x) = 0

\(\frac{2x + 2 }{x^2+2x+11} = 0\) .. (चूँकि x2 +2x + 11 > 0)

x = -1 पर, हमें f(x) का न्यूनतम मान प्राप्त होता है।

⇒ f(-1) = log1010 = 1

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फलन f(x) =  x2 - x + 2 का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए। 

  1. 1/2
  2. 3/4
  3. 7/4
  4. 1/4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 7/4

Maxima and Minima Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

अवकलज का प्रयोग करके निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरण है। 

  • फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए। 
  • 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करेगा। 
  • अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है: यदि f"(x), 0 से बड़ा है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

 

गणना:

f(x) = x2 - x + 2

f'(x) = 2x - 1

0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

f'(x) = 2x - 1 = 0

⇒ x = \(\frac12\)

अब, f''(x) = 2 > 0

इसलिए, हमें x = \(\frac12\) पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है 

f(\(\frac12\)) = (\(\frac12\))2 - \(\frac12\) + 2 = \(\frac74\)

अतः विकल्प (3) सही है। 

फलन |x + 3| - 2 का न्यूनतम मान क्या है?

  1. 1
  2. 2
  3. -2
  4. -5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -2

Maxima and Minima Question 7 Detailed Solution

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धारणा:

प्रत्येक x ∈ R के लिए |x| ≥ 0

गणना:

माना कि f(x) = |x + 3| - 2

जैसा कि हम जानते हैं कि प्रत्येक x ∈ R के लिए |x| ≥ 0

∴ |x + 3| ≥ 0

फलन का न्यूनतम मान प्राप्त होता है जब |x + 3| = 0

इसलिए f(x) का न्यूनतम मान = 0 – 2 = -2 

फलन f(x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12 का स्थानीय अधिकतम मान x = ______________पर होता है।

  1. 1
  2. 2
  3. -2
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 0

Maxima and Minima Question 8 Detailed Solution

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अवधारणा:

एक फलन y = f(x) के लिए:

  • सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा बढ़ते हुए से घटते हुए तक परिवर्तित करता है।
  • सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा घटते हुए से बढ़ते हुए तक परिवर्तित करता है।
  • सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं पर f'(x) = 0
  • सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट के बिंदुओं पर f''(x) < 0
  • सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट के बिंदुओं पर f''(x) > 0

 

गणना:

दिए गए फलन f(x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12 के लिए पहले स्थानीय उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदु खोजें:

f'(x) = 12x3 + 12x2 - 24x = 0

⇒ 12x(x2 + x - 2) = 0

⇒ x(x + 2)(x - 1) = 0

⇒ x = 0 या x = -2 या x = 1

f''(x) = 36x2 + 24x - 24

f''(0) = 36(0)2 + 24(0) - 24 = -24

f''(-2) = 36(-2)2 + 24(-2) - 24 = 144 - 48 - 24 = 72

f''(1) = 36(1)2 + 24(1) - 24 = 36 + 24 - 24 = 36

चूँकि x = 0 पर मान f''(0) = -24 < 0, फलन का स्थानीय अधिकतम मान x = 0 पर होता है।

फलन f(x) = eका स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात कीजिए। 

  1. 1
  2. 0
  3. 2.81
  4. फलन में स्थानीय उच्चिष्ट और निम्निष्ट नहीं हैं। 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : फलन में स्थानीय उच्चिष्ट और निम्निष्ट नहीं हैं। 

Maxima and Minima Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

निम्नलिखित चरण अवकलज का प्रयोग करके उच्चिष्ट और निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए हैं। 

  • फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए। 
  • 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और फिर हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करता है। 
  • अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है। 
  1. f``(x), 0 से कम है, तो दिए गए फलन को उच्चिष्ट कहा जाता है। 
  2. यदि f``(x), 0 से अधिक है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

गणना:

दिया गया है:

f(x) = ex

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ f’(x) = ex

अधिकतम मान f’(x) = 0 के लिए 

∴ f’(x) = ex = 0

घातांक फलन को x के किसी भी मान के लिए कभी भी शून्य नहीं माना जा सकता है, इसलिए फलन में स्थानीय उच्चिष्ट और निम्निष्ट नहीं हैं। 

फलन f(x) = x3 + 2x2 - 4x + 6 का अधिकतम मान कितने पर मौजूद है?

  1. x = -2
  2. x = 1
  3. x = 2
  4. x = -1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x = -2

Maxima and Minima Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

अवकलज का प्रयोग करके उच्चिष्ट ज्ञात करने के निम्नलिखित चरण हैं। 

  • फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए। 
  • 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करता है। 
  • अब हमें द्वितीय अवकलज ज्ञात करना है। 
  • f"(x), 0 से कम है, तो दिए गए फलन को उच्चिष्ट कहा जाता है। 

 

गणना:

यहाँ, f(x) = x3 + 2x2 - 4x + 6 

f'(x) = 3x2 + 4x - 4

f'(x) = 0 निर्दिष्ट कीजिए 

3x2 + 4x - 4 = 0 

⇒3x2 + 6x - 2x - 4 = 0

⇒ 3x(x + 2) - 2(x + 2) = 0

⇒ (3x - 2)(x + 2) = 0

इसलिए, x = -2 या x = 2/3

अब, f''(x) = 6x + 4

f''(-2) = -12 + 4 = -8 < 0

∴ x = - 2 पर, f(x) का अधिकतम मान मौजूद है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

यह दिया गया है कि x = 2 पर फलन x3 - 12x2 + kx - 8 अंतराल [0, 3] पर इसका अधिकतम मान प्राप्त करता है। तो k का मान ज्ञात कीजिए। 

  1. 23
  2. 34
  3. 36
  4. 35

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 36

Maxima and Minima Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

निम्नलिखित चरण अवकलजों का प्रयोग करके उच्चिष्ट और निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए हैं। 

  • फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए। 
  • 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और फिर हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करता है। 
  • अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है। 
  1. f``(x), 0 से कम है, तो दिए गए फलन को उच्चिष्ट कहा जाता है। 
  2. यदि f``(x), 0 से अधिक है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

 

गणना:

माना कि f(x) = x3 - 12x2 + kx – 8

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ f’(x) = 3x2 – 24x + k

यह दिया गया है कि फलन x = 2 पर अंतराल [0, 3] के इसके अधिकतम मान को प्राप्त करता है। 

∴ f’(2) = 0

⇒ 3 × 22 – (24 × 2) + k = 0

∴ k = 36

वक्र y = -x3 + 3x2 + 9x - 27 का अधिकतम ढलान है: 

  1. 0
  2. 12
  3. 16
  4. 32

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 12

Maxima and Minima Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

वक्र की ढलान m को dy/dx = 0 द्वारा दिया गया है 

और, ढलान के अधिकतम होने की स्थिति: d2y/dx2 = 0

(dy/dx)x = a अधिकतम ढलान का मान देता है।

गणना:

y = – x3 + 3x2 + 9x – 27

dy/dx = – 3x2 + 6x + 9 = वक्र का ढलान 

अब, दोहरा अवकलन:

d2y/dx2 = – 6x + 6 = – 6 (x – 1)

d2y/dx2 = 0

⇒ – 6 (x – 1) = 0

⇒ x = 1

 x के सभी मानों के लिए स्पष्ट रूप से, d3y/dx3 = – 6 < 0 है

∴ ढलान अधिकतम है यदि x = 1 है।

(dy/dx)x = 1 = – 3 (1)2 + 6 × 1 + 9 = 12

p का वह मान क्या है जिसके लिए फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\) में \(\rm x=\dfrac{\pi}{3} \) पर चरममान है?

  1. 0
  2. 1
  3. -1
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 2

Maxima and Minima Question 13 Detailed Solution

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फलन:

यदि फलन f(x) में x = a पर चरममान है, तो f'(a) = 0 है। 

 

गणना:

दिया गया है, फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\)  है। 

⇒ f'(x) = \(\rm p\;cos \; x + \dfrac {3\;cos \;3x}{3}\)

⇒ f'(x) = \(\rm p\;cos \; x + cos \;3x\)

⇒ f'(\(\rm \dfrac {\pi}{3}\)) = \(\rm p\;cos \; (\dfrac {\pi}{3}) + cos \;3(\dfrac {\pi}{3})\)

⇒ f'(\(\rm \dfrac {\pi}{3}\)) = \(\rm p\;cos \; (\dfrac {\pi}{3}) + cos \; \pi\)

फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\) में \(\rm x=\dfrac{\pi}{3}\)  पर चरममान है। 

इसलिए,  \(\rm f'(\dfrac {\pi}{3}) = 0\)

⇒ \(\rm p\;cos \; (\dfrac {\pi}{3}) + cos \; \pi\) = 0

⇒ \(\rm \dfrac p 2 -1 = 0\)

⇒ \(\rm \dfrac p 2 =1\)

⇒ \(\rm p = 2\)

अतः p का वह मान 2 है, जिसके लिए फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\) में  \(\rm x=\dfrac{\pi}{3}\) पर चरममान है। 

फलन y = 2x3 - 21x2 + 36x - 20 का न्यूनतम मान क्या है?

  1. -120
  2. -126
  3. -128
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -128

Maxima and Minima Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक फलन y = f(x) के लिए:

  • सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा बढ़ते हुए से घटते हुए तक परिवर्तित करता है।
  • सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा घटते हुए से बढ़ते हुए तक परिवर्तित करता है।
  • सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं पर f'(x) = 0।
  • सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट के बिंदुओं पर f''(x) < 0।
  • सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट के बिंदुओं पर f''(x) > 0।

 

गणना:

मान लीजिए कि फलन y = f(x) = 2x3 - 21x2 + 36x - 20 है।

∴ f'(x) = \(\rm \dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{d}{dx}(2x^3-21x^2+36x-20)\) = 6x 2 - 42x + 36।

और, f''(x) = \(\rm \dfrac{d^2}{dx^2}f(x)=\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{d}{dx}f(x)\right]=\dfrac{d}{dx}(6x^2-42x+36)\) = 12x - 42।

उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं के लिए, f'(x) = 0।

⇒ 6x2 - 42x + 36 = 0

⇒ x2 - 7x + 6 = 0

⇒ x2 - 6x - x + 6 = 0

⇒ x(x - 6) - (x - 6) = 0

⇒ (x - 6)(x - 1) = 0

⇒ x - 6 = 0 या x - 1 = 0

⇒ x = 6 या x = 1

अब, इन बिंदुओं पर f '(x) के मानों का निरीक्षण करके उच्चिष्ट/निम्निष्ट के लिए इन बिंदुओं की जाँच करें।

f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30

f''(1) = 12(1) - 42 = 12 - 42 = -30

चूंकि, f''(6) = 30 > 0, यह न्यूनतम मान का बिंदु है।

और न्यूनतम मान f(6) है:

= 2(6)3 - 21(6)2 + 36(6) - 20

= 432 - 756 + 216 - 20

-128

रेखा x2 - 7x + 12 = 0 और y2 - 13y + 42 = 0 द्वारा निर्मित वर्ग में अंकित वृत्त का केंद्र क्या है?

  1. (3.5, 6.5)
  2. (3, 6)
  3. (2, 5)
  4. (4, 7)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : (3.5, 6.5)

Maxima and Minima Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

किसी वर्ग में अंकित वृत्त का केंद्र वर्ग के केंद्र के समान है। 

गणना:

वर्ग का निर्माण करने वाली दी गयी रेखाएं निम्न हैं:

x2 - 7x + 12 = 0

⇒ (x - 4)(x - 3) = 0

⇒ x = 4 और x = 3

और, y2 - 13y + 42 = 0

⇒ (y - 7)(y - 6) = 0

⇒ y = 7 और y = 6

केंद्र के निर्देशांक भुजाओं के मध्य-बिंदु होंगे: (3.5, 6.5)

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