अधिकतम और न्यूनतम MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Maxima and Minima - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 22, 2025
Latest Maxima and Minima MCQ Objective Questions
अधिकतम और न्यूनतम Question 1:
निम्नलिखित सूची-I का सूची-II से मिलान कीजिए।
सूची-I | सूची-II |
---|---|
(I) माना f(x) = x3/5 यदि x ≤ 1 −(x−2)3 यदि x > 1 तो फलन के आलेख पर क्रांतिक बिंदुओं की संख्या है |
(P) 1 |
(II) समीकरण log2x + (x−1)log2x = 6 − 2x के वास्तविक हल का गुणनफल है, | (Q) 3 |
(III) c के मानों की संख्या ऐसी है कि सरल रेखा 3x + 4y = c वक्र x4/2 = x + y को स्पर्श करती है | (R) 4 |
(IV) यदि f(x) = ∫xx2 (t−1) dt, 1 ≤ x ≤ 2 है,तो f(x) का वैश्विक अधिकतम मान है | (S) 1/2 |
(T) 2 |
कौन सा विकल्प सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
- क्रांतिक बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ f'(x) = 0 या व्युत्पन्न अस्तित्व नहीं होता है।
- लघुगणक वाले समीकरणों के वास्तविक हलों की संख्या प्रतिस्थापन द्वारा द्विघात रूप में कम करके पाई जा सकती है।
- जब कोई रेखा किसी वक्र को स्पर्श करती है, तो इसका अर्थ है कि रेखा ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है और उस बिंदु पर ढलान समान होते हैं।
- यदि कोई फलन चर सीमाओं के साथ निश्चित समाकल का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, तो लेबनिज नियम का उपयोग करके व्युत्पन्न को नियंत्रित किया जाता है।
गणना:
(I) क्रांतिक बिंदुओं की संख्या
दिया गया है,
f(x) = x3/5 x ≤ 1 के लिए
= −(x − 2)³ x > 1 के लिए
⇒ f″(x) = 0, x = 2 के लिए और x = 0 पर अस्तित्व नहीं है।
⇒ कुल क्रांतिक बिंदु = 3 (A, B, C)
∴ (I) → Q
(II) वास्तविक हलों की संख्या
दिया गया है, log₂²x + (x − 1) log₂ x = 6 − 2x
⇒ माना y = log₂ x
⇒ y² + (x − 1)y = 6 − 2x
⇒ y में एक द्विघात बनाएँ और वास्तविक x के लिए हल करने पर,
⇒ हल: x = 1/4 और x = 2
उनका गुणनफल = 1/2
∴ (II) → S
(III) c के मानों की संख्या ऐसी है कि रेखा 3x + 4y = c वक्र x⁴/2 = x + y को स्पर्श करती है
दिया गया है, dy/dx = −1 + 2x³
⇒ dy/dx = −3/4 (रेखा का ढलान) सेट करने पर,
⇒ −1 + 2x₁³ = −3/4 ⇒ x₁ = 1/2
⇒ वक्र से: x⁴/2 = x + y
⇒ (1/2)⁴/2 = 1/2 + y₁
⇒ 1/32 = 1/2 + y₁
⇒ y₁ = −15/32
⇒ c = 3x + 4y = 3/2 + 4(−15/32) = −3/8
∴ (III) → P
(IV) f(x) = ∫xx²(t − 1) dt , 1 ≤ x ≤ 2
⇒ f′(x) = 2x(x² − 1) − (x − 1) = 2x³ − 3x + 1
⇒ f′(x) (1, 2) में हमेशा धनात्मक है।
⇒ इसलिए, फलन [1, 2] में वर्धमान है।
⇒ अधिकतम मान x = 2 पर है।
∴ (IV) → T
अंतिम मिलान: (I) → Q, (II) → S, (III) → P, (IV) → T है।
अधिकतम और न्यूनतम Question 2:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार करें:
माना f(x) = cos2x + x, जहाँ x [-π/2, π/2] में है।
f(x) का न्यूनतम मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
f(x) = cos2x + x [-π/2, π/2] पर
\(f (\frac{-\pi}{2}) =-1 - \frac{\pi}{2}\)
\(f (\frac{\pi}{2}) =-1 + \frac{\pi}{2}\)
इसलिए f(x) का न्यूनतम मान \(-1 - \frac{\pi}{2}\)
∴ विकल्प (a) सही है
अधिकतम और न्यूनतम Question 3:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार करें:
माना f(x) = cos2x + x, जहाँ x [-π/2, π/2] में है।
f(x) का महत्तम मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
f(x) = cos2x + x on [-π/2, π/2].
⇒ f'(x) = - 2 sin 2x + 1
उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ के लिए, f'(x) = 0
Sin2x = 1/2
x = π/12 या 5π/12 (अंतराल में नहीं)
इसलिए f(x) का अधिकतम मान x = π/12 पर होता है
\(f(\frac{\pi}{12}) = cos\frac{\pi }{6}+ \frac{\pi }{12} \)
= \(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\pi}{12}\)
∴ विकल्प (b) सही है।
अधिकतम और न्यूनतम Question 4:
a cos x + b sin x + c का अधिकतम मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
चूँकि, acosx + bsinx का अधिकतम मान \(\sqrt{a^2+b^2}\) है
इसलिए acosx + bsinx + c का अधिकतम मान \(\sqrt{a^2+b^2} +c\) है
∴ विकल्प (b) सही है।
अधिकतम और न्यूनतम Question 5:
फलन f(x) = log10(x2 + 2x + 11) का न्यूनतम मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
f(x) = log10 (x2 + 2x + 11) के लिए न्यूनतम f'(x) = 0
⇒ \(\frac{2x + 2 }{x^2+2x+11} = 0\) .. (चूँकि x2 +2x + 11 > 0)
x = -1 पर, हमें f(x) का न्यूनतम मान प्राप्त होता है।
⇒ f(-1) = log1010 = 1
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फलन f(x) = x2 - x + 2 का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 6 Detailed Solution
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अवकलज का प्रयोग करके निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरण है।
- फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए।
- 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करेगा।
- अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है: यदि f"(x), 0 से बड़ा है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है।
गणना:
f(x) = x2 - x + 2
f'(x) = 2x - 1
0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
f'(x) = 2x - 1 = 0
⇒ x = \(\frac12\)
अब, f''(x) = 2 > 0
इसलिए, हमें x = \(\frac12\) पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है
f(\(\frac12\)) = (\(\frac12\))2 - \(\frac12\) + 2 = \(\frac74\)
अतः विकल्प (3) सही है।
फलन |x + 3| - 2 का न्यूनतम मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 7 Detailed Solution
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प्रत्येक x ∈ R के लिए |x| ≥ 0
गणना:
माना कि f(x) = |x + 3| - 2
जैसा कि हम जानते हैं कि प्रत्येक x ∈ R के लिए |x| ≥ 0
∴ |x + 3| ≥ 0
फलन का न्यूनतम मान प्राप्त होता है जब |x + 3| = 0
इसलिए f(x) का न्यूनतम मान = 0 – 2 = -2
फलन f(x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12 का स्थानीय अधिकतम मान x = ______________पर होता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 8 Detailed Solution
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एक फलन y = f(x) के लिए:
- सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा बढ़ते हुए से घटते हुए तक परिवर्तित करता है।
- सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा घटते हुए से बढ़ते हुए तक परिवर्तित करता है।
- सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं पर f'(x) = 0।
- सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट के बिंदुओं पर f''(x) < 0।
- सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट के बिंदुओं पर f''(x) > 0।
गणना:
दिए गए फलन f(x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12 के लिए पहले स्थानीय उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदु खोजें:
f'(x) = 12x3 + 12x2 - 24x = 0
⇒ 12x(x2 + x - 2) = 0
⇒ x(x + 2)(x - 1) = 0
⇒ x = 0 या x = -2 या x = 1
f''(x) = 36x2 + 24x - 24
f''(0) = 36(0)2 + 24(0) - 24 = -24
f''(-2) = 36(-2)2 + 24(-2) - 24 = 144 - 48 - 24 = 72
f''(1) = 36(1)2 + 24(1) - 24 = 36 + 24 - 24 = 36
चूँकि x = 0 पर मान f''(0) = -24 < 0, फलन का स्थानीय अधिकतम मान x = 0 पर होता है।
फलन f(x) = ex का स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 9 Detailed Solution
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निम्नलिखित चरण अवकलज का प्रयोग करके उच्चिष्ट और निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए हैं।
- फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।
- 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और फिर हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करता है।
- अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है।
- f``(x), 0 से कम है, तो दिए गए फलन को उच्चिष्ट कहा जाता है।
- यदि f``(x), 0 से अधिक है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है।
गणना:
दिया गया है:
f(x) = ex
x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
⇒ f’(x) = ex
अधिकतम मान f’(x) = 0 के लिए
∴ f’(x) = ex = 0
घातांक फलन को x के किसी भी मान के लिए कभी भी शून्य नहीं माना जा सकता है, इसलिए फलन में स्थानीय उच्चिष्ट और निम्निष्ट नहीं हैं।
फलन f(x) = x3 + 2x2 - 4x + 6 का अधिकतम मान कितने पर मौजूद है?
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 10 Detailed Solution
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अवकलज का प्रयोग करके उच्चिष्ट ज्ञात करने के निम्नलिखित चरण हैं।
- फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।
- 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करता है।
- अब हमें द्वितीय अवकलज ज्ञात करना है।
- f"(x), 0 से कम है, तो दिए गए फलन को उच्चिष्ट कहा जाता है।
गणना:
यहाँ, f(x) = x3 + 2x2 - 4x + 6
f'(x) = 3x2 + 4x - 4
f'(x) = 0 निर्दिष्ट कीजिए
3x2 + 4x - 4 = 0
⇒3x2 + 6x - 2x - 4 = 0
⇒ 3x(x + 2) - 2(x + 2) = 0
⇒ (3x - 2)(x + 2) = 0
इसलिए, x = -2 या x = 2/3
अब, f''(x) = 6x + 4
f''(-2) = -12 + 4 = -8 < 0
∴ x = - 2 पर, f(x) का अधिकतम मान मौजूद है।
अतः विकल्प (1) सही है।
यह दिया गया है कि x = 2 पर फलन x3 - 12x2 + kx - 8 अंतराल [0, 3] पर इसका अधिकतम मान प्राप्त करता है। तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 11 Detailed Solution
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निम्नलिखित चरण अवकलजों का प्रयोग करके उच्चिष्ट और निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए हैं।
- फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।
- 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और फिर हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करता है।
- अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है।
- f``(x), 0 से कम है, तो दिए गए फलन को उच्चिष्ट कहा जाता है।
- यदि f``(x), 0 से अधिक है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है।
गणना:
माना कि f(x) = x3 - 12x2 + kx – 8
x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
⇒ f’(x) = 3x2 – 24x + k
यह दिया गया है कि फलन x = 2 पर अंतराल [0, 3] के इसके अधिकतम मान को प्राप्त करता है।
∴ f’(2) = 0
⇒ 3 × 22 – (24 × 2) + k = 0
∴ k = 36
वक्र y = -x3 + 3x2 + 9x - 27 का अधिकतम ढलान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 12 Detailed Solution
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वक्र की ढलान m को dy/dx = 0 द्वारा दिया गया है
और, ढलान के अधिकतम होने की स्थिति: d2y/dx2 = 0
(dy/dx)x = a अधिकतम ढलान का मान देता है।
गणना:
y = – x3 + 3x2 + 9x – 27
dy/dx = – 3x2 + 6x + 9 = वक्र का ढलान
अब, दोहरा अवकलन:
d2y/dx2 = – 6x + 6 = – 6 (x – 1)
d2y/dx2 = 0
⇒ – 6 (x – 1) = 0
⇒ x = 1
x के सभी मानों के लिए स्पष्ट रूप से, d3y/dx3 = – 6 < 0 है
∴ ढलान अधिकतम है यदि x = 1 है।
(dy/dx)x = 1 = – 3 (1)2 + 6 × 1 + 9 = 12
p का वह मान क्या है जिसके लिए फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\) में \(\rm x=\dfrac{\pi}{3} \) पर चरममान है?
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 13 Detailed Solution
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यदि फलन f(x) में x = a पर चरममान है, तो f'(a) = 0 है।
गणना:
दिया गया है, फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\) है।
⇒ f'(x) = \(\rm p\;cos \; x + \dfrac {3\;cos \;3x}{3}\)
⇒ f'(x) = \(\rm p\;cos \; x + cos \;3x\)
⇒ f'(\(\rm \dfrac {\pi}{3}\)) = \(\rm p\;cos \; (\dfrac {\pi}{3}) + cos \;3(\dfrac {\pi}{3})\)
⇒ f'(\(\rm \dfrac {\pi}{3}\)) = \(\rm p\;cos \; (\dfrac {\pi}{3}) + cos \; \pi\)
फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\) में \(\rm x=\dfrac{\pi}{3}\) पर चरममान है।
इसलिए, \(\rm f'(\dfrac {\pi}{3}) = 0\)
⇒ \(\rm p\;cos \; (\dfrac {\pi}{3}) + cos \; \pi\) = 0
⇒ \(\rm \dfrac p 2 -1 = 0\)
⇒ \(\rm \dfrac p 2 =1\)
⇒ \(\rm p = 2\)
अतः p का वह मान 2 है, जिसके लिए फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\) में \(\rm x=\dfrac{\pi}{3}\) पर चरममान है।
फलन y = 2x3 - 21x2 + 36x - 20 का न्यूनतम मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 14 Detailed Solution
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एक फलन y = f(x) के लिए:
- सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा बढ़ते हुए से घटते हुए तक परिवर्तित करता है।
- सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा घटते हुए से बढ़ते हुए तक परिवर्तित करता है।
- सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं पर f'(x) = 0।
- सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट के बिंदुओं पर f''(x) < 0।
- सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट के बिंदुओं पर f''(x) > 0।
गणना:
मान लीजिए कि फलन y = f(x) = 2x3 - 21x2 + 36x - 20 है।
∴ f'(x) = \(\rm \dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{d}{dx}(2x^3-21x^2+36x-20)\) = 6x 2 - 42x + 36।
और, f''(x) = \(\rm \dfrac{d^2}{dx^2}f(x)=\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{d}{dx}f(x)\right]=\dfrac{d}{dx}(6x^2-42x+36)\) = 12x - 42।
उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं के लिए, f'(x) = 0।
⇒ 6x2 - 42x + 36 = 0
⇒ x2 - 7x + 6 = 0
⇒ x2 - 6x - x + 6 = 0
⇒ x(x - 6) - (x - 6) = 0
⇒ (x - 6)(x - 1) = 0
⇒ x - 6 = 0 या x - 1 = 0
⇒ x = 6 या x = 1
अब, इन बिंदुओं पर f '(x) के मानों का निरीक्षण करके उच्चिष्ट/निम्निष्ट के लिए इन बिंदुओं की जाँच करें।
f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30
f''(1) = 12(1) - 42 = 12 - 42 = -30
चूंकि, f''(6) = 30 > 0, यह न्यूनतम मान का बिंदु है।
और न्यूनतम मान f(6) है:
= 2(6)3 - 21(6)2 + 36(6) - 20
= 432 - 756 + 216 - 20
= -128
रेखा x2 - 7x + 12 = 0 और y2 - 13y + 42 = 0 द्वारा निर्मित वर्ग में अंकित वृत्त का केंद्र क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Maxima and Minima Question 15 Detailed Solution
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किसी वर्ग में अंकित वृत्त का केंद्र वर्ग के केंद्र के समान है।
गणना:
वर्ग का निर्माण करने वाली दी गयी रेखाएं निम्न हैं:
x2 - 7x + 12 = 0
⇒ (x - 4)(x - 3) = 0
⇒ x = 4 और x = 3
और, y2 - 13y + 42 = 0
⇒ (y - 7)(y - 6) = 0
⇒ y = 7 और y = 6
केंद्र के निर्देशांक भुजाओं के मध्य-बिंदु होंगे: (3.5, 6.5)