Derivative as rate measure MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Derivative as rate measure - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

परिवर्तन की दर और लघुगणकीय अवकलन:

• दी गई समस्या में, कण वक्र के अनुदिश गति करता है, और हमें वक्र पर वे बिंदु ज्ञात करने के लिए कहा गया है जहाँ x-निर्देशांक, y-निर्देशांक की तुलना में 8 गुना तेजी से बदल रहा है।
• समय के सापेक्ष x में परिवर्तन की दर (dx/dt) समय के सापेक्ष y में परिवर्तन की दर (dy/dt) से संबंधित है जैसा कि समस्या में दिया गया है।
• अव्यक्त अवकलन का उपयोग करके, हम दोनों निर्देशांकों में परिवर्तन की दरों पर विचार करते हुए, समय के सापेक्ष दिए गए समीकरण को अवकलित करते हैं।
• यह यह पता लगाने के लिए लघुगणकीय अवकलन का एक अनुप्रयोग है कि समय के सापेक्ष चर कैसे बदलते हैं।

गणना:

दिया गया है, वक्र का समीकरण है:

6x = y³ + 2

कण इस वक्र के अनुदिश गति करता है, और x-निर्देशांक में परिवर्तन की दर, y-निर्देशांक में परिवर्तन की दर का 8 गुना है। हमें वे बिंदु ज्ञात करना है जहाँ यह स्थिति लागू होती है।

चरण 1: समय (t) के सापेक्ष दोनों पक्षों को अवकलित करें:

d/dt[6x] = d/dt[y³ + 2]

श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

6(dx/dt) = 3y² (dy/dt)

चरण 2: हमें दिया गया है कि dx/dt = 8(dy/dt) है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

6 x 8(dy/dt) = 3y² (dy/dt)

चरण 3: दोनों पक्षों से (dy/dt) को निरस्त करें (यह मानते हुए कि dy/dt ≠ 0):

48 = 3y²

चरण 4: y के लिए हल करें:

y² = 48 / 3 = 16

y = ±4

चरण 5: संगत x-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए मूल समीकरण में y = 4 और y = -4 के मानों को प्रतिस्थापित करें:

y = 4 के लिए:

6x = 4³ + 2 = 64 + 2 = 66

x = 66 / 6 = 11

y = -4 के लिए:

6x = (-4)³ + 2 = -64 + 2 = -62

x = -62 / 6 = -31 / 3

चरण 6: वक्र पर बिंदु हैं:

(11, 4) और (-31/3, -4)

इसलिए, वक्र पर बिंदु (11, 4) और (-31/3, -4) हैं, जो विकल्प (3) से सुमेलित हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

बेलन का आयतन (V) = \(\pi r^2 h\)

जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई (इस स्थिति में गहराई) है।

गणना:

दिया गया है:

बेलनाकार टैंक का व्यास (d) = 20 m

टैंक भरने की दर \(\frac{dV}{dt}\) = 314 m³/h

टैंक की त्रिज्या r = d/2 = 20/2 = 10 m

⇒ \(V = \pi (10)^2 h = 100\pi h\)

समय t के सापेक्ष V को अवकलित करने पर:

⇒ \(\frac{dV}{dt} = 100\pi \frac{dh}{dt}\)

\(\frac{dV}{dt}\) का दिया गया मान प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ \(314 = 100\pi \frac{dh}{dt}\)

\(\pi = 3.14\):

⇒ \(314 = 100 \times 3.14 \times \frac{dh}{dt}\)

⇒ \(314 = 314 \frac{dh}{dt}\)

⇒ \(\frac{dh}{dt} = \frac{314}{314} = 1\) m/h

इसलिए, विकल्प 4 सही उत्तर है।

प्रयुक्त अवधारणा:

घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(6a^2\)

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(4\pi r^2\)

गणना

मान लीजिए, घन की भुजा = a

मान लीजिए, गोले की त्रिज्या = r

दिया गया है, \(a = 2r\)

घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (\(S_c\)) = \(6a^2\)

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (\(S_s\)) = \(4\pi r^2\)

समय (t) के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\(\frac{dS_c}{dt} = 12a \frac{da}{dt}\)

\(\frac{dS_s}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}\)

दिया गया है, \(\frac{da}{dt} = \frac{dr}{dt}\)

\(\frac{dS_c}{dt} = 12(2r) \frac{dr}{dt} = 24r \frac{dr}{dt}\)

\(\frac{dS_s}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}\)

पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि का अनुपात है:

\(\frac{dS_c/dt}{dS_s/dt} = \frac{24r \frac{dr}{dt}}{8\pi r \frac{dr}{dt}}\)

\(\frac{dS_c/dt}{dS_s/dt} = \frac{24}{8\pi} = \frac{3}{\pi}\)

∴ पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि का अनुपात 3 : π है।

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

प्रयुक्त सूत्र:

गोले का आयतन, \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल, \(S = 4\pi r^2\)

गणना

दिया गया है:

गोले का आयतन = V

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = S

⇒ \(S = 4\pi r^2\)

⇒ \(r^2 = \frac{S}{4\pi}\)

⇒ \(r = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}\)

⇒ \(r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi}}\)

\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)

⇒ \(V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi}}\right)^3\)

⇒ \(V = \frac{4}{3}\pi \times \frac{1}{8} \times \left(\frac{S}{\pi}\right)^{\frac{3}{2}}\)

⇒ \(V = \frac{\pi}{6} \times \frac{S\sqrt{S}}{\pi\sqrt{\pi}}\)

⇒ \(V = \frac{1}{6} \times \frac{S\sqrt{S}}{\sqrt{\pi}}\)

⇒ \(V = \frac{1}{6\sqrt{\pi}} S^{\frac{3}{2}}\)

\(\frac{dV}{dS} = \frac{1}{6\sqrt{\pi}} \times \frac{3}{2} S^{\frac{1}{2}}\)

⇒ \(\frac{dV}{dS} = \frac{3}{12\sqrt{\pi}} \sqrt{S}\)

⇒ \(\frac{dV}{dS} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{S}{\pi}}\)

∴ एक गोले के आयतन में उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल S के सापेक्ष परिवर्तन की दर \(\frac{1}{4} \sqrt{\frac{S}{\pi}}\) है।

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

हमें दिया गया है कि \(\frac{dr}{dt} = 5 \, cm/sec\)

इससे, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(r = 5t + c \, cm\)

\(t= 0\) पर, कोई लहर नहीं थी। इसलिए \(c = 0\) है। 

इस प्रकार, हमें प्राप्त होता है कि \(r = 5t\)

अब मान लीजिए \(A\) सबसे बाहरी लहर के भीतर के क्षेत्र का क्षेत्रफल है।

तब, \(A = \pi r^2 \, cm^2\)

इसलिए, \(A = 25\pi t^2\)

\(t\) के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है,

\(\frac{dA}{dt} = 50\pi t\).

इसलिए, 2 सेकंड पर क्षेत्रफल में वृद्धि \(100\pi \, cm^2/sec\) है।

संकल्पना:

'x' के परिवर्तन की दर को \(\rm \frac {dx}{dt}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिया गया है कि, y = 2x – x² और \(\rm \frac {dx}{dt}\) = 3 इकाई/सेकेंड

तो, वक्र का ढलान, \(\rm \frac {dy}{dx}\) = 2 - 2x = m

⇒\(\rm \frac {dm}{dt}\)  = 0 - 2 × \(\rm \frac {dx}{dt}\)

= -2(3)

= प्रति सेकेंड -6 इकाई

इसलिए, जब x प्रति सेकेंड 3 इकाई की दर से बढ़ता है, तो वक्र का ढलान प्रति सेकेंड 6 इकाई की दर से बढ़ता है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

अवधारणा :

• यदि y = f(x) तो dy/dx, x के संबंध में y के परिवर्तन की दर को दर्शाता है; x= a पर इसके मान को निम्न द्वारा निरूपित किया जाता है: \({\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]_{x = a}}\)
• घटती दर को ऋणात्मक चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है जबकि बढ़ती दर को धनात्मक चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है।
• सिलेंडर का आयतन = πr2h द्वारा दिया जाता है जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

गणना:

दिया हुआ: dr/dt = 3m/s और dh/dt = - 4m/s

जैसा कि हम जानते हैं कि,

• सिलेंडर का आयतन = πr2h द्वारा दिया जाता है जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

माना कि V = πr2h

अब t के संबंध में v का अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

\(\Rightarrow \frac{{dV}}{{dt}} = 2\pi rh \cdot \frac{{dr}}{{dt}} + \pi {r^2} \cdot \frac{{dh}}{{dt}}\)

अब r = 4m, h = 6m, dr/dt = 3m/s और dh/dt = - 4m/s प्रतिस्थापित करके हम प्राप्त करते हैं

\(\Rightarrow {\left( {\frac{{dV}}{{dt}}} \right)_{\left( {r = 4,\;\;\;h = 6} \right)}} = 2\pi \cdot \left( 4 \right) \cdot \left( 6 \right) \cdot \left( 3 \right) + \pi \cdot {\left( 4 \right)^2} \cdot \left( { - \;4} \right) = 80\pi \)

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

संकल्पना:

• r इकाई वाले वृत्त का क्षेत्रफल निम्न हैं: πr² वर्ग इकाई 
• चर t के संबंध में फलन f(x) के मान के परिवर्तन की दर को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm \frac{d}{dt}f(x)\).

• अवकलज का श्रृंखला नियम:\(\rm \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\).

• \(\rm \frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\).

गणना:

माना कि वृत्त की त्रिज्या r मीटर है और माना कि t सेकेंड में समय है। 

यह दिया गया है कि \(\rm \frac{dr}{dt}=-\frac{2}{\pi}\ m/sec\).

अब, वृत्त का क्षेत्रफल: A = πr2 m².

अवकलज के श्रृंखला नियम का प्रयोग करने पर:

\(\rm \frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\times \frac{dr}{dt}\)

⇒ \(\rm \frac{dA}{dt}=2\pi r\times\frac{-2}{\pi}\ m^2/sec\)

⇒ \(\rm \frac{dA}{dt}=-4r\ m^2/sec\)

जब त्रिज्या 10 m है, तो क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर निम्न होगी: -40 m²/sec.

सूचना: परिवर्तन की दर का ऋणात्मक मान कमी को दर्शाता है।  

गणना:

दी गयी त्रिज्या R = 12 सेमी 

वृत्ताकार गुब्बारे का आयतन V = \(\rm{4π\over 3}× R^3\)

R के संबंध में त्रिज्या V के परिवर्तन की दर =\(\rm{dV\over dR}\)

\(\rm{dV\over dR}\) = \(\rm{d\over dR}\left[{4π\over 3}× R^3\right]\)​​

\(\rm{dV\over dR}\) = \(\rm{4π\over 3}×3R^2\) = 4π R²

चूँकि R = 12 सेमी है। 

\(\rm{dV\over dR}\) = 4π × 144 सेमी² 

\(\rm{dV\over dR}\) = 576π 

संकल्पना:

एक फलन f(x) के मान के परिवर्तन की दर को चर t के संबंध में निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm \frac {df(x)}{dt}\)

गणना:

दिया गया है घन की भुजा L = 5 सेमी और \(\rm dL\over dt\) = 2 सेमी/सेकेंड

अब घन का आयतन V = L³ 

\(\rm dV\over dt\) = \(\rm dV\over dL\) × \(\rm dL\over dt\)

\(\rm dV\over dt\) = \(\rm dL^3\over dL\) × 2

\(\rm dV\over dt\) = 3L² × 2

\(\rm dV\over dt\) = 6 × 5² 

\(\rm dV\over dt\) = 150 सेमी³/सेकेंड

अवधारणा:

माना कि f एक वास्तविक मूल्यवान फलन है जो दो फलनों u और v का एक संयोजन है; यानी, f = v o u। मान लीजिए कि t = u(x) और यदि दोनों \(\frac{{dt}}{{dx}}\) और \(\frac{{dv}}{{dt}}\) मौजूद हैं

तो श्रृंखला नियम द्वारा फलन (f) का अवकलन \(\frac{{df}}{{dx}} = {\rm{\;}}\frac{{dv}}{{dt}} \times \frac{{dt}}{{dx}}\) के द्वारा दिया जाता है

समाधान:

त्रिज्या r के साथ एक वृत्त A का क्षेत्रफल A = πr2 द्वारा दिया गया है

∴ क्षेत्र (A) के परिवर्तन की दर समय (t) के संबंध में श्रृंखला नियम द्वारा दी गई है - \(\frac{{dA}}{{dt}} = \frac{{d\left( {\pi {r^2}} \right)}}{{dt}} = \frac{{d\left( {\pi {r^2}} \right)}}{{dt}}.\frac{{dr}}{{dt}} = 2\pi r.\frac{{dr}}{{dt}}\)

यह दिया गया है कि: \(\frac{{dr}}{{dt}} = 5\) cm

\(\therefore \frac{{dA}}{{dt}} = 2\pi \left( 8 \right)\left( 5 \right) = 80\pi \)

इसलिए जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 cm होगी तो संलग्न क्षेत्र 80π cm2/s की दर से बढ़ेगा।

अवधारणा:

एक चर t के संबंध में फलन f(x) के मान के परिवर्तन की दर \(\rm \frac {df(x)}{dt}\) निम्न द्वारा दी गई है:

गणना:

दिया गया है घन की भुजा = 10cm और \(\rm dL\over dt\) = 4 cm/s

अब घन का आयतन V = L3 

\(\rm dV\over dt\) = \(\rm dV\over dL\) × \(\rm dL\over dt\)

\(\rm dV\over dt\) = \(\rm dL^3\over dL\) × 4

\(\rm dV\over dt\) = 3L2 × 4

\(\rm dV\over dt\) = 12 × 102 

\(\rm dV\over dt\) = 1200 cm3/s

गणना:

दिया गया है कि घन की भुजा (L) दर = \(\rm{dL\over dt}\)= 2 सेमी/सेकेंड से परिवर्तित होती है। 

घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल V = 6L²

पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर A =\(\rm{dA\over dt}\)= \(\rm{dA\over dL}×{dL\over dt}\)

\(\rm{dA\over dt}\) = \(\rm{d\over dL}\left[6L^2\right]× {dL\over dt}\)​​

\(\rm{dA\over dt}\) = \(\rm 12L × 2\) = 24L

चूँकि \(\rm{dA\over dt}\) = 216 सेमी²/सेकेंड है। 

216 = 24 × L

L = \(\rm{216\over 24}\) = 9 सेमी

हल:

ex In a + ea In x + ea In a

= \(e^{lna^{x}}+e^{lnx^{a}}+e^{lna^{a}}\)

= a^x + x^a + a^a

अब प्रथम अवकलज है

\(\frac{d}{dx}(a^{x}+x^{a}+a^{a})\)

= \(\frac{d}{dx}(a^{x})+\frac{d}{dx}(x^{a})+\frac{d}{dx}(a^{a})\)

= a^xln a + ax^a-1 + 0

= axln a + axa-1

गणना:

दिया गया है कि घन का किनारा (L) दर = \(\rm{dL\over dt}\)= 4 सेमी/सेकेंड से बढ़ता है। 

घन का आयतन V = L³

आयतन के वृद्धि की दर V =\(\rm{dV\over dt}\)= \(\rm{dV\over dL}×{dL\over dt}\)

\(\rm{dV\over dt}\) = \(\rm{d\over dL}\left[L^3\right]× {dL\over dt}\)​​

\(\rm{dV\over dt}\) = \(\rm 3L^2 × 4\) = 12L2 

चूँकि L = 20 सेमी है। 

\(\rm{dV\over dt}\) = 12 × 20² 

\(\rm{dV\over dt}\) = 12 × 400 = 4800 सेमी³/सेकेंड