\(\rm \int_0^{\pi/2}\frac{d(x)}{g(x)}\) किसके बराबर है?

संप्रत्यय:

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समाकलन:

• इस विधि में समाकलन को सरल बनाने के लिए एक जटिल व्यंजक को एकल चर से बदलना शामिल है।
• त्रिकोणमितीय समाकलों के लिए उपयोगी है जहाँ पहचान और प्रतिस्थापन व्यंजक को सरल करते हैं।
• यहाँ, उपयोग की गई पहचान है:
  • \( \sin x + \cos x = \frac{2\tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} + \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} \)
  • \( 1 + \tan \frac{x}{2} = t \Rightarrow \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = dt \)
• समाकल को सीमा परिवर्तन और लघुगणकीय समाकलों के गुणों का उपयोग करके हल किया जाता है।

गणना:

दिया गया है: \( g(x) = \sin x + \cos x + 1 \)

हम \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{g(x)} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x + \cos x + 1} dx \) का मूल्यांकन करते हैं

⇒ वायर्सट्रास प्रतिस्थापन लागू करें: \( \tan \frac{x}{2} = t \)

⇒ पहचान का प्रयोग करें: \( \sin x + \cos x = \frac{2\tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} + \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} \)

⇒ हर को सरल करें:

\( \sin x + \cos x + 1 = \frac{2\tan \frac{x}{2} + 1 - \tan^2 \frac{x}{2} + 1 + \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2(1 + \tan \frac{x}{2})}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} \)

⇒ \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2(1 + \tan \frac{x}{2})} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} dx \)

मान लें \( 1 + \tan \frac{x}{2} = t \Rightarrow \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = dt \)

⇒ सीमाएँ बदलें:

• \( x = 0 \Rightarrow t = 1 \)
• \( x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 2 \)

⇒ \( \int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt = [\ln t]_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \)

∴ अंतिम उत्तर \( \ln 2 \) है