Definite Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Definite Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

\(\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {e^{\left| x \right|}}dx.\)

\(= \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 {e^{ - x}}dx + \mathop \smallint \limits_0^1 {e^x}dx\)

\(= \left[ { - {e^{ - x}}} \right]_1^0 + \left[ {{e^x}} \right]_0^1\)

= [-e^-0 + e¹] + [e¹ - e⁰]

= -1 + e¹ + e - 1

\(I = \mathop \smallint \limits_1^e \sqrt x \ln \left( x \right)dx\)        ………..(1)

\(\ln \left( x \right) = t \Rightarrow x = {e^t}\)रखने पर,

इसलिए, \(dx = {e^t}dt\)

समीकरण (1) से हमें प्राप्त होता है 

\(I = \mathop \smallint \limits_1^e {e^{t/2}}t{e^t}dt = \mathop \smallint \limits_1^e t{e^{\frac{{3t}}{2}}}dt\)

ILATE सूत्र का प्रयोग करने पर

\(\begin{array}{l} I = \left[ {t. \smallint {e^{\frac{{3t}}{2}}}dt - \smallint \left\{ {\frac{{dt}}{{dt}}\mathop \smallint {e^{3t/2}}dt} \right\}dt} \right]_1^e\\ = \left[ {t.\frac{{{e^{3t/2}}}}{{3/2}} - \smallint \left( {1 \times \frac{{{e^{3t/2}}}}{{3/2}}} \right)dt} \right]_1^e\\ = \left[ {\frac{2}{3}t.{e^{\frac{{3t}}{2}}} - \frac{4}{9}{e^{\frac{{3t}}{2}}}} \right]_1^e\\ = \left[ {\frac{2}{3}{\rm{ln}}\left( x \right).{x^{3/2}} - \frac{4}{9}{x^{\frac{3}{2}}}} \right]_1^e\\ = \left[ {\frac{2}{3}\ln \left( e \right).{e^{3/2}} - \frac{4}{9}{e^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{3}\ln \left( 1 \right).{{\left( 1 \right)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{9}{{\left( 1 \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right]\\ = \frac{2}{3}{e^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{9}{e^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{9}\\ = \frac{2}{9}{e^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{9}\ or\ \frac{2}{9}\sqrt {{e^3}} + \frac{4}{9} \end{array}\)

संप्रत्यय:

निश्चित समाकलों का गुणधर्म (सममिति):

• यदि \( f(x) \) \( [0, a] \) पर सतत है, तो \( \int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a - x)\,dx \).
• यह गुणधर्म त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं वाले समाकलों के मूल्यांकन में मदद करता है जब सीमाएँ सममित होती हैं।
• प्रयुक्त मानक परिणाम: \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x + \cos x + 1} dx = \ln 2 \).
• दो सममित समाकलों को मिलाने से व्यंजकों को सरल बनाया जा सकता है और जटिल पदों को समाप्त किया जा सकता है।

गणना:

मान लीजिये \( I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x + 1} dx \)

⇒ प्रतिस्थापन \( x \rightarrow \frac{\pi}{2} - x \) का उपयोग करते हुए

⇒ \( I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x + 1} dx \)

⇒ दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:

\( 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x + 1} dx \)

⇒ \( 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(1 - \frac{1}{\sin x + \cos x + 1} \right) dx \)

⇒ \( 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x + \cos x + 1} dx \)

⇒ \( 2I = \frac{\pi}{2} - \ln 2 \)

⇒ \( I = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2} \)

∴ समाकल का मान \( \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2} \) है।

संकल्पना:

निश्चित समाकल गुण:

\(\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;dx}} = \mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{x}}} \right){\rm{\;dx}}\)
गणना:

माना कि f(x) = x(1 – x)⁹

अब गुण का प्रयोग करने पर, \(\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;dx}} = \mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{x}}} \right){\rm{\;dx}}\)

\(\mathop \smallint \nolimits_0^1 {\rm{x}}{(1 - {\rm{x}})^9}{\rm{dx}} = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {1 - {\rm{x}}} \right){\left\{ {1 - \left( {1 - {\rm{x}}} \right)} \right\}^9}{\rm{dx}}\)

\(= \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {1 - {\rm{x}}} \right){{\rm{x}}^9}{\rm{dx}}\)

\(= \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {{{\rm{x}}^9} - {{\rm{x}}^{10}}} \right){\rm{dx}}\)

\(= \left[ {\frac{{{{\rm{x}}^{10}}}}{{10}} - \frac{{{{\rm{x}}^{11}}}}{{11}}} \right]_0^1\)

= 1/10 – 1/11

= 1/110

∴ समाकलन \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 {\rm{x}}{(1 - {\rm{x}})^9}{\rm{dx}}\) का मान 1/110 है।

संकल्पना:

\(\rm \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\; \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c\)

गणना:

माना कि I = \(\displaystyle\int_0^2 \rm \dfrac{dx}{x^2+4}\) है। 

= \(\displaystyle\int_0^2 \rm \dfrac{dx}{x^2+2^2}\)

\(= \rm [\frac{1}{2}\; \tan^{-1}(\frac{x}{2})] _{0}^{2}\)

\(= \rm [\frac{1}{2}\; \tan^{-1}1 -\frac{1}{2}\; \tan^{-1}0 ]\)

\(= \rm \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{4} - 0\)

= \(\rm \dfrac{\pi}{8}\)

संकल्पना:

\(\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{x}}} \right){\rm{dx}}\)

गणना:

माना कि I = \(\rm \int _{0}^{2π} \frac{\sin 2x}{a -b\cos x}dx\)  है।        ----(1)

गुण f(a + b – x) का प्रयोग करने पर,

I = \(\rm \int _{0}^{2π} \frac{\sin 2(2π -x)}{a -b\cos (2π -x) }dx\)   

चूँकि हम जानते हैं, sin (2π - x) = - sin x और cos (2π - x) = cos x

I = \(\rm \int _{0}^{2π} \frac{-\sin 2x}{a -b\cos x}dx\)         ----(2)       

I = -I

2I = 0

∴ I = 0

संकल्पना:

\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)

गणना:

I = \(\rm \int_{1}^{\infty} \frac{4}{x^4}dx\)

= \(\rm \int_{1}^{\infty}4{x^{-4}}dx\)

= \(\rm \left[\frac{4x^{-3}}{-3} \right ]_1^{\infty}\)

= \(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{x^3} \right ]_1^{\infty}\)

= \(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{\infty} - \frac{1}{1}\right ]\)

= \(\rm \frac{-4}{3}[0-1]\)

= \(\frac 4 3\)

अवधारणा:

\(\rm \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx = \displaystyle\int_{a}^{b} f(a+b-x) dx\)

गणना:

मान लीजिए कि, I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+ \sqrt{\cos x}}dx\)             ....(1)

I = \(\rm \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)}+ \sqrt{\cos (\dfrac{\pi}{2}-x)}}dx\)

I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+ \sqrt{\sin x}}dx\)                           ....(2)

(1) और (2) जोड़कर हमारे पास है

2I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos x}+ \sqrt{sinx}}{\sqrt{\cos x}+ \sqrt{\sin x}}dx\)

2I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2}dx\)

2I = \(\rm[x]^\frac{\pi}{2}_0\)

I = \(\dfrac{\pi}{4}\)

संकल्पना:

\(\rm \dfrac{d(\ln x)}{dx} = \dfrac{1}{x}\)

गणना:

माना कि I = \(\rm \int_{1}^{e}\frac{dx}{x\sqrt{2+\ln x}}\) है। 

माना कि (2 + ln x) = t²  है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ (0 + \(\rm \frac 1 x\))dx = 2tdt

⇒ \(\rm \frac 1 x\)dx = 2tdt

अब, 

\(\rm I=\rm \int_{\sqrt 2}^{\sqrt 3}\frac{2tdt}{\sqrt{t^2}}\\=2\int_{\sqrt 2}^{\sqrt 3}\frac{tdt}{t}\\=2\int_{\sqrt 2}^{\sqrt 3}dt\\=2[t]_{\sqrt 2}^{\sqrt 3}\\=2(\sqrt 3- \sqrt 2)\)

संकल्पना:

\(\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{x}}} \right){\rm{dx}}\)

गणना:

माना कि I = \(\rm \int _0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x\;dx\) है।            .... (1)

गुण f(a + b – x) का प्रयोग करने पर,

I = \(\rm \int _0^{\pi} \sin^6 (\pi -x) \cos^5 (\pi -x)\;dx\)

चूँकि हम जानते हैं, sin (π - x) = sin x और cos (π - x) = -cos x

I = -\(\rm \int _0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x\;dx\)                .... (2)

I = -I

2I = 0

∴ I = 0

संकल्पना:

f(x) = |x| निम्न के बराबर होगा

• x, यदि x > 0
• -x, यदि x < 0
• 0, यदि x = 0

∫ dx = x + C  (C स्थिरांक है।)

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/n+1 + C

गणना:

माना कि \(I = \int^{-1}_{-2}\frac{x}{|x|}dx\)  है।

उपरोक्त संकल्पना का प्रयोग करने पर, x ∈ (-2, -1) के रूप में

⇒ \(I=∫^{-1}_{-2}\frac{x}{-x}dx\)

⇒ \(I=-1∫^{-1}_{-2}(1)dx\)

⇒ \(I=-[x]^{-1}_{-2}\)  

⇒ I = -[-1 - (-2)] 

∴  \(\int^{-1}_{-2}\frac{x}{|x|}dx\) = -1

संकल्पना:

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\)+ C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ ex dx = ex+ C

गणना:

I = \(\rm\int {2x+1\over\left({x^2+x+1}\right)^2}dx\)

माना कि x2 + x + 1 = t है। 

⇒ (2x + 1) dx = dt

I = \(\rm \int {dt\over t^2}\)

I = \(\rm {t^{-1}\over{-1}}\)

I = \(\rm -1\over t\)

I = \(\rm -1\over x^2+x+1\)

सीमाओं को रखने पर

I = \(\rm \left[-1\over x^2+x+1\right]_{-1}^1\)

I = \(\rm {-1\over 1^2+1+1} - \left({-1\over (-1)^2+(-1)+1}\right)\)

I = \(\rm 1-{1\over3}\) = \(\boldsymbol{2\over3}\)

धारणा:

• \(\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 0\)

गणना:

हम जानते हैं, \(\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 0\)

यहां, समाकलन की सीमा समान है (यानी., π/4)

\(\therefore \mathop \smallint \nolimits_{\frac{{\rm{\pi }}}{4}}^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \frac{{\cos \left( {{{\rm{e}}^{3{\rm{x}}}}} \right)}}{{{{\rm{x}}^4} + {{\rm{x}}^3} + 1}} = 0\)

इसलिए, विकल्प (3) सही है।