Properties of Definite Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Definite Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

I=\( \int_{a}^{b}f(x)dx\) = \( \int_{a}^{b}f(a+b-x)dx\)

गणना:

⇒ I =\( \int_{a}^{b}\)x f(x)dx ------------(1)

⇒ I = \( \int_{a}^{b}\)(a +b -x) f(a + b - x)dx---(2)

समीकरण 1+2 को जोड़ने पर,

⇒ 2I=\( \int_{a}^{b}\)x f(x)dx +\( \int_{a}^{b}\)(a + b -x)f(a + b - x)dx

दिया गया है, f(a + b -x)=f(x)

⇒ 2I = \( \int_{a}^{b}\)(b + a)f(x)dx

⇒ I = \({(b+a)\over2 } \int_{a}^{b}\)f(x)dx

अतः विकल्प 1 सही है। 

गणना:

दिया गया है, I = x2 cos2x dx

⇒ I = x² -

⇒ I = -

⇒ I = - (x - )

⇒ I = - ( + )

⇒ I =

=

= -

∴ समाकल का मान - है ।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

व्याख्या:

मान लीजिये f(t) = \(ln (t+\sqrt{1+t^2}\)

f(-t) = \(ln (\sqrt{1+t^2} -t\)

= \(ln( \frac{1}{t+ \sqrt{1+t^2}})\)

= \(-ln(t+\sqrt{1+t^2})\) = -f(t)

इसलिए f(t) एक विषम फलन है

अब g(t) = tan f(t)

तब, g(-t) = tan f(-t)

= -tan (f(t)) = -g(t)

इसलिए g(t) भी एक विषम फलन है

जब g(t) एक विषम फलन है, तब

\(\rm \int_{-\pi}^\pi g(t)dt\) = 0

इसलिए विकल्प (b) सही है

व्याख्या:

माना f(t) = \(ln (t+\sqrt{1+t^2}\)

f(-t) = \(ln (\sqrt{1+t^2} -t\)

= \(ln( \frac{1}{t+ \sqrt{1+t^2}})\)

= \(-ln(t+\sqrt{1+t^2})\) = -f(t)

इसलिए, f(t) एक विषम फलन है

अब g(t) = tan f(t)

तब, g(-t) = tan f(-t)

= -tan (f(t)) = -g(t)

इसलिए g(t) भी एक विषम फलन है

अतः, कथन I और II दोनों सही हैं।

इसलिए, विकल्प (c) सही है

अवधारणा:

• इस समस्या में सममिति पर आधारित निश्चित समाकलों के गुण का उपयोग करके निश्चित समाकलों के मूल्यांकन शामिल हैं।
• हम इस सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: ∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a − x) dx
• इसके अलावा, यदि f(x) + f(a − x) = अचर, तो ∫₀^a f(x) dx = अचर × a / 2
• हम दिए गए समाकल को सरल बनाने और प्रत्यक्ष समाकलन से बचने के लिए इस गुण को लागू करते हैं।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका​एँ शामिल हैं:
  • cosec x = 1 / sin x
  • cot x = cos x / sin x

गणना:

मान लीजिएI = ∫₀^π/2 (1 − cot x) / (cosec x + cos x) dx

पहचान का प्रयोग करें: ∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a − x) dx

मान लीजिए,a = π/2

f(x) = (1 − cot x) / (cosec x + cos x) परिभाषित करें

अब f(π/2 − x) ज्ञात करें

⇒ f(π/2 − x) = [1 − cot(π/2 − x)] / [cosec(π/2 − x) + cos(π/2 − x)]

⇒ = [1 − tan x] / [sec x + sin x]

अब f(x) + f(π/2 − x) को जोड़ने पर,

⇒ = [(1 − cot x) / (cosec x + cos x)] + [(1 − tan x) / (sec x + sin x)]

इस व्यंजक को सीधे समाकलित करना कठिन है, लेकिन संख्यात्मक रूप से हम सत्यापित कर सकते हैं कि समाकल अच्छी तरह से व्यवहार करता है।

वैकल्पिक रूप से, प्रतिस्थापन द्वारा हल करने पर:

आइए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके मूल व्यंजक को सरल करने पर:

⇒ cot x = cos x / sin x, cosec x = 1 / sin x

तब अंश: 1 − cot x = (sin x − cos x) / sin x

हर: cosec x + cos x = (1 + sin x x cos x) / sin x

इसलिए, समाकल बन जाता है:

⇒ [(sin x − cos x)/sin x] ÷ [(1 + sin x x cos x)/sin x]

⇒ (sin x − cos x) / (1 + sin x x cos x)

अब, I = ∫₀^π/2 (sin x − cos x) / (1 + sin x x cos x) dx

समाकल को विभाजित करने पर:

⇒ ∫₀^π/2 sin x / (1 + sin x x cos x) dx − ∫₀^π/2 cos x / (1 + sin x x cos x) dx

मान लीजिये I₁ = ∫₀^π/2 sin x / (1 + sin x x cos x) dx

मान लीजिये I₂ = ∫₀^π/2 cos x / (1 + sin x x cos x) dx

अब I₁ में प्रतिस्थापन x → π/2 − x का प्रयोग करने पर,

⇒ sin(π/2 − x) = cos x, cos(π/2 − x) = sin x

इसलिए I₁ = I₂

⇒ I = I₁ − I₂ = 0

∴ समाकल का मान 0 है।

संकल्पना:

\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)

गणना:

I = \(\rm \int_0^1 x \sqrt{x^2 + 4}\;dx\)

माना कि x² + 4 = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2xdx = dt

⇒ xdx = \(\rm \frac {dt}{2}\)

अब,

I = \(\rm \frac{1}{2}\int_4^5 \sqrt{t}\;dt\)

= \(\rm \frac{1}{2} \left[\frac{t^{3/2}}{\frac{3}{2}} \right ]_4^5\)

= \(\rm \frac{1}{3} \left[5^{3/2} - 4^{3/2} \right ]\)

= \(\rm \frac{1}{3}[5\sqrt 5 - 8]\)

अवधारणा:

\(\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)\;dx = \;\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( {a + b - x} \right)\;dx\)

गणना:

यहां, हमें समाकल \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\sqrt {tanx} }}{{1 + \sqrt {tanx} }}\) के मूल्य को ज्ञात करना होगा

Let \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\sqrt {tanx} }}{{1 + \sqrt {tanx} }}dx\)---------(1)

जैसा कि हम जानते हैं कि, \(\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)\;dx = \;\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( {a + b - x} \right)\;dx\)

⇒ \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\sqrt {cotx} }}{{1 + \sqrt {cotx} }} dx\)----------(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ \(2I = \;\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{\pi }{2}\;} \left[ {\frac{{\sqrt {\tan x} }}{{1 + \sqrt {\tan x} }} + \frac{{\sqrt {\cot x} }}{{1 + \sqrt {\cot x} }}} \right] dx\)

⇒ \(2I = \;\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} dx = \frac{\pi }{2}\;\)

⇒ \(I = \frac{\pi}{4}\)

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

संकल्पना:

\(\rm \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx = \displaystyle\int_{a}^{b} f(a+b-x) dx\)

गणना:

माना कि I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin^8 x}}{\sqrt{\sin^8 x}+ \sqrt{\cos^8 x}}dx\)      ----(i)

⇒ I =  \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin^8 (π/2 -x)}}{\sqrt{\sin^8 (π/2 -x)}+ \sqrt{\cos^8 (π/2 -x)}}dx\)

⇒ I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos^8 x}}{\sqrt{\sin^8 x}+ \sqrt{\cos^8 x}}dx\)      ----(ii)

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ 2I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos^8 x}+ \sqrt{sin^8x}}{\sqrt{\cos^8 x}+ \sqrt{\sin^8 x}}dx\)

⇒ 2I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2}dx\)

⇒ 2I = \(\rm[x]^\frac{\pi}{2}_0\)

⇒ I = \(\dfrac{\pi}{4}\)

अवधारणा:

निश्चित समाकल:

यदि ∫ f(x) dx = g(x) + C तो \(\rm \int_a^b f(x)\ dx = \left[ g(x)\right]_a^b\) = g(b) - g(a)

गुण:

• सम फलनों के लिए: f(-x) = f(x) और \(\rm \int_{-a}^ {\ \ a}f(x)\ dx=2\int_{0}^af(x)\ dx\).
• विषम फलनों के लिए: f(-x) = -f(x) और \(\rm \int_{-a}^ {\ \ a}f(x)\ dx=0\)
• \(\rm \int_a^bf(x)\ dx=\int_a^bf(a+b-x)\ dx\)
• यदि f(x) = f(2a - x) तो \(\rm \int_0^{2a}f(x)\ dx=2\int_0^af(x)\ dx\)

गणना:

इसका अवलोकन किया जा सकता है कि sin (-θ) = -sin θ

माना कि f(x) = |sin x|

x = -x रखें

⇒ f(-x) = |sin -x| = |-sin x| = |sin x| = f(x)

∴ |sin x| एक समान फलन है।

इसलिए, निश्चित समाकलों के गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

\(\rm \int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\sin x|\ dx\)

= 2\(\rm \int_{0}^{\pi/2}\sin x\ dx\)

= 2\(\rm \left[-\cos x\right]_{0}^{\pi/2}\)

= -2\(\rm \left[\cos \pi/2-\cos 0\right]\)

= -2[0 - 1]

= 2

संकल्पना:

समाकल गुण:

\(\rm \mathop \smallint \limits_{ - {\rm{a}}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;dx}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\mathop \smallint \limits_0^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}},\rm If\;f\left( { - {\rm{x}}} \right) = f\left( x \right)}\\ {0,\;\rm If\;f\left( { - {\rm{x}}} \right) = - f\left( x \right)} \end{array}} \right.\)

गणना:

\(\rm I = \mathop \smallint \nolimits_{ - 2}^2 \left( {sinx + cosx} \right)dx\)

माना कि f₁(x) = sinx और f₂(x) = cosx है। 

f₁(x) = sinx

f₁(-x) = sin(-x) = -sinx = -f₁(x)

f₂(x) = cosx

f₂(-x) = cox(-x) = cosx = f₂(x)

समाकलन गुण f₁(x) = 0 से

I  = \(\rm 2\mathop \smallint \nolimits_0^2 cosx\;dx\)

= 2 \(\rm[sinx]^2_0\)

= 2[sin 2 - sin 0]

= 2sin 2

संकल्पना:

यदि f(x) विषम फलन है, तो f(-x) = -f(x) है। 

निश्चित समाकल का गुण

यदि  f(x) सम फलन है, तो \(\mathop \smallint \nolimits_{ - {\rm{a}}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 2\mathop \smallint \nolimits_0^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\) है। 

यदि f(x) विषम फलन है, तो \(\mathop \smallint \nolimits_{ - {\rm{a}}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} =0\) है। 

गणना:

माना कि I = \(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \rm \dfrac{sin^5 \ x \ cos^3 \ x}{x^4}dx\) है। 

माना कि f(x) = \(\rm \dfrac{sin^5 \ x \ cos^3 \ x}{x^4}\) है। 

x को -x से प्रतिस्थापित करने पर, 

⇒ f(-x) = \(\rm \dfrac{sin^5 \ (-x) \ cos^3 \ (-x)}{(-x)^4}\)

चूँकि हम जानते हैं sin (-θ) = - sin θ और cos (-θ) = cos θ है। 

= \(\rm \dfrac{-sin^5 \ x \ cos^3 \ x}{x^4}\)

⇒ f(-x) = -f(x)      

इसलिए, f(x) विषम फलन है। 

अतः I = 0     

संकल्पना:

निश्चित समाकल गुण:

\(\mathop \smallint \limits_{\rm{0}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;dx}} = \mathop \smallint \limits_{\rm{0}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} - {\rm{x}}} \right){\rm{\;dx}}\)

गणना:

माना कि, I = \(\rm\int_{0}^{π/2}\) log cot x dx  है।             ....(i)

अब गुण का प्रयोग करने पर,\(\mathop \smallint \limits_{\rm{0}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;dx}} = \mathop \smallint \limits_{\rm{0}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} - {\rm{x}}} \right){\rm{\;dx}}\)

I = \(\rm\int_{0}^{π/2}\) log cot ( \(\rm \frac{\pi}{2}\) - x ) dx 

I = \(\rm\int_{0}^{π/2}\) log tan x dx                    .... (ii)

समीकरण (i) और (ii) का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2I = \(\rm\int_{0}^{π/2}\) (log cot x + log tan x ) dx 

⇒ 2I = \(\rm\int_{0}^{π/2}\) log ( tan x × cot x ) dx              [∵ log m + log n = log mn]

⇒ 2I = \(\rm\int_{0}^{π/2}\) log 1 dx 

⇒ 2I = 0                                                      [ ∵ log 1 = 0 ]   

⇒  I = 0 

सही विकल्प 1 है।

धारणा:

निश्चित समाकलों का गुण: \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \mathop \smallint \nolimits_0^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} - {\rm{x}}} \right){\rm{dx}}\)

गणना:

I = \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{1}{{1 + \tan {\rm{x}}}}{\rm{dx}}\)                            …. (1)

निश्चित समाकलों के गुण का उपयोग करके: 

I = \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{1}{{1 + \tan \left( {\frac{{\rm{\pi }}}{2} - {\rm{x}}} \right)}}{\rm{dx}}\)

I \(= \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{1}{{1 + \cot {\rm{x}}}}{\rm{dx}}\)                          ..... (2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

2I = \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{1}{{1 + \tan {\rm{x}}}}{\rm{dx}} + \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{1}{{1 + \cot {\rm{x}}}}{\rm{dx}}\)

\(=\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \left[ {\frac{1}{{1 + \tan {\rm{x}}}} + \frac{1}{{1 + \cot {\rm{x}}}}} \right]{\rm{dx}} \)

\(= \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \left[ {\frac{1}{{1 + \tan {\rm{x}}}} + \frac{{\tan {\rm{x}}}}{{1 + \tan {\rm{x}}}}} \right]{\rm{dx}} \)

\(= \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \left[ {\frac{{1 + \tan {\rm{x}}}}{{1 + \tan {\rm{x}}}}} \right]{\rm{dx}}\)

\( = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} 1{\rm{dx}}\)

\( = {\rm{\;}}\left[ x \right]_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \)

\(= \frac{{\rm{\pi }}}{2}\)

∴ I \(= \frac{{\rm{\pi }}}{4}\)

अवधारणा:

निश्चित समाकल के गुण:

\(\rm \int\limits_a^b f(x) dx\) = \(\rm \int\limits_a^b f(b+a -x) dx\)

गणना:
I = \(\rm \int\limits_2^8 {\frac{{\sqrt {10 - x} }}{{\sqrt x + \sqrt {10 - x} }}} dx\) ... (i) 

I = \(\rm\int\limits_2^8 {\frac{{\sqrt {10 - (8+2-x)} }}{{\sqrt{8+2- x} + \sqrt {10 - (8+2-x)} }}} dx\)

I = \(\rm\int\limits_2^8 {\frac{{\sqrt { x} }}{{\sqrt {10 - x} +\sqrt x }}} dx\) ... (ii)

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें मिलता है

2I = \(\rm\int\limits_2^8 {\frac{{\sqrt {10 - x}+\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt {10 - x} }}} dx\)

2I = \(\rm\int\limits_2^8 dx\)

2I = \(\rm\left[x\right]_2^8\)

2I = 8 - 2 = 6

I = 3

संकल्पना:

निश्चित समाकल का गुण:

\(\rm \int\limits_a^b f(x) dx\) = \(\rm \int\limits_a^b f(b+a -x) dx\)

गणना:
I = \(\rm \int\limits_0^5 {\frac{{\sqrt {5- x} }}{{\sqrt x + \sqrt {5- x} }}} dx\)       ...(i)

I = \(\rm\int\limits_0^5 {\frac{{\sqrt {5 - (5+0-x)} }}{{\sqrt{5+0- x} + \sqrt {5- (5+0-x)} }}} dx\)

I = \(\rm\int\limits_0^5 {\frac{{\sqrt { x} }}{{\sqrt {5 - x} +\sqrt x }}} dx\)    ...(ii)

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

2I = \(\rm\int\limits_0^5 {\frac{{\sqrt {5- x}+\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt {5- x} }}} dx\)

2I = \(\rm\int\limits_0^5dx\)

2I = \(\rm\left[x\right]_0^5\)

2I = 5 - 0 = 5

I = 2.5