Definite Integrals MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Definite Integrals - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్
Last updated on Apr 28, 2025
Latest Definite Integrals MCQ Objective Questions
Definite Integrals Question 1:
\(\int_1^2 \frac{x^4-1}{x^6-1} d x=\)
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 1 Detailed Solution
Definite Integrals Question 2:
\(\int_{\log 4}^{\log 5} \frac{e^{2 x}+e^x}{e^{2 x}-5 e^x+6} d x=\)
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 2 Detailed Solution
Definite Integrals Question 3:
\(\int_0^{32 \pi} \sqrt{1-\cos 4 x} d x=\)
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 3 Detailed Solution
Definite Integrals Question 4:
\(\int_0^{16} \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} d x=\)
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 4 Detailed Solution
Definite Integrals Question 5:
\(\displaystyle\int_{\frac{-3}{4}}^{\frac{\pi-6}{8}} \log (\sin (4 x+3)) d x=\)
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 5 Detailed Solution
Top Definite Integrals MCQ Objective Questions
\(\rm \int_{1}^{\infty} \frac{4}{x^4}dx\) విలువ ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFపద్ధతి:
\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)
సాధన:
I = \(\rm \int_{1}^{\infty} \frac{4}{x^4}dx\)
= \(\rm \int_{1}^{\infty}4{x^{-4}}dx\)
= \(\rm \left[\frac{4x^{-3}}{-3} \right ]_1^{\infty}\)
= \(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{x^3} \right ]_1^{\infty}\)
= \(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{\infty} - \frac{1}{1}\right ]\)
= \(\rm \frac{-4}{3}[0-1]\)
= \(\frac 4 3\)
\(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\) , ఇక్కడ [.] అనేది గొప్ప పూర్ణాంకం ఫంక్షన్. ఆపై \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) విలువను కనుగొనండి
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFభావన :
గొప్ప పూర్ణాంకం ఫంక్షన్ : (ఫ్లోర్ ఫంక్షన్)
f (x) = [x] ఫంక్షన్‌ని గొప్ప పూర్ణాంకం అని పిలుస్తారు మరియు దీని అర్థం x అంటే [x] ≤ x కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన గొప్ప పూర్ణాంకం.
[x] డొమైన్ R మరియు పరిధి I.
గణన :
ఇవ్వబడింది: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\)
ఇచ్చిన సమగ్రం కోసం \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) , x మధ్య ఉంటుంది 1 / 3 మరియు 1 / 2 అనగా \(\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2 < \frac{1}{x} < 3\)
కాబట్టి, పై అసమానత ప్రకారం: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right] = 2\)
\(\Rightarrow \mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx = \;\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} 2\;dx = 2 \times \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3}\)\(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\)
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFభావన:
f(x) = - f(-x) అయితే f(x) ఫంక్షన్ బేసి ఫంక్షన్ మరియు f(x) = f(-x) అయితే సరి ఫంక్షన్.
- f(x) సరి ఫంక్షన్ అయినప్పుడు \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
- f(x) బేసి ఫంక్షన్ అయినప్పుడు \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
ఇవ్వబడింది: \(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\)
f(x) = cos x అని అనుకుందాం
మనం చూడగలిగినట్లుగా, f(- x) = cos (- x) = cos x = f(x).
కాబట్టి, cos x అనేది సరి ఫంక్షన్.
మనకు తెలిసినట్లుగా, f(x) సరి ఫంక్షన్ అయినప్పుడు \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
\(\Rightarrow \rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx=2\int_{0 }^{\pi }cosx \ dx=2(sin\pi-sin0)=0\)
కాబట్టి, సరైన ఎంపిక 1.
Definite Integrals Question 9:
\(\rm \int_{1}^{\infty} \frac{4}{x^4}dx\) విలువ ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 9 Detailed Solution
పద్ధతి:
\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)
సాధన:
I = \(\rm \int_{1}^{\infty} \frac{4}{x^4}dx\)
= \(\rm \int_{1}^{\infty}4{x^{-4}}dx\)
= \(\rm \left[\frac{4x^{-3}}{-3} \right ]_1^{\infty}\)
= \(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{x^3} \right ]_1^{\infty}\)
= \(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{\infty} - \frac{1}{1}\right ]\)
= \(\rm \frac{-4}{3}[0-1]\)
= \(\frac 4 3\)
Definite Integrals Question 10:
\(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\) , ఇక్కడ [.] అనేది గొప్ప పూర్ణాంకం ఫంక్షన్. ఆపై \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) విలువను కనుగొనండి
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 10 Detailed Solution
భావన :
గొప్ప పూర్ణాంకం ఫంక్షన్ : (ఫ్లోర్ ఫంక్షన్)
f (x) = [x] ఫంక్షన్‌ని గొప్ప పూర్ణాంకం అని పిలుస్తారు మరియు దీని అర్థం x అంటే [x] ≤ x కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన గొప్ప పూర్ణాంకం.
[x] డొమైన్ R మరియు పరిధి I.
గణన :
ఇవ్వబడింది: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\)
ఇచ్చిన సమగ్రం కోసం \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) , x మధ్య ఉంటుంది 1 / 3 మరియు 1 / 2 అనగా \(\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2 < \frac{1}{x} < 3\)
కాబట్టి, పై అసమానత ప్రకారం: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right] = 2\)
\(\Rightarrow \mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx = \;\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} 2\;dx = 2 \times \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3}\)Definite Integrals Question 11:
\(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\)
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 11 Detailed Solution
భావన:
f(x) = - f(-x) అయితే f(x) ఫంక్షన్ బేసి ఫంక్షన్ మరియు f(x) = f(-x) అయితే సరి ఫంక్షన్.
- f(x) సరి ఫంక్షన్ అయినప్పుడు \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
- f(x) బేసి ఫంక్షన్ అయినప్పుడు \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
ఇవ్వబడింది: \(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\)
f(x) = cos x అని అనుకుందాం
మనం చూడగలిగినట్లుగా, f(- x) = cos (- x) = cos x = f(x).
కాబట్టి, cos x అనేది సరి ఫంక్షన్.
మనకు తెలిసినట్లుగా, f(x) సరి ఫంక్షన్ అయినప్పుడు \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
\(\Rightarrow \rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx=2\int_{0 }^{\pi }cosx \ dx=2(sin\pi-sin0)=0\)
కాబట్టి, సరైన ఎంపిక 1.
Definite Integrals Question 12:
\(\displaystyle \int _{\frac {13\pi}{6}}^{\frac {7\pi}{3}} \sqrt{1-\sin 2x}dx\) = α + β√2 + γ√3 అయితే, β - α - γ విలువ ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 12 Detailed Solution
గణన:
\(\displaystyle \int _{\frac {13\pi}{6}}^{\frac {7\pi}{3}} \sqrt{1-\sin 2x}dx\)
= \(\displaystyle \int_{\frac {13\pi}{6}}^{\frac {7\pi}{3}} |\sin x-\cos x| dx\)
= \(\displaystyle \int_{\frac {13\pi}{6}}^{\frac {9\pi}{4}} (\cos x -\sin x) dx+\int_{\frac {9\pi}{4}}^{\frac {7\pi}{3}} (\sin x -\cos x) dx\)
= -1 + 2√2 - √3 = α + β√2 + γ√3
⇒ α = -1, β = 2 మరియు γ = -1
∴ β - α - γ = 2 + 1 + 1 = 4
∴ β - α - γ విలువ 4.
సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.
Definite Integrals Question 13:
\(\int_1^2 \frac{x^4-1}{x^6-1} d x=\)
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 13 Detailed Solution
Definite Integrals Question 14:
\(\int_{\log 4}^{\log 5} \frac{e^{2 x}+e^x}{e^{2 x}-5 e^x+6} d x=\)
Answer (Detailed Solution Below)
Definite Integrals Question 14 Detailed Solution
Definite Integrals Question 15:
\(\int_0^{32 \pi} \sqrt{1-\cos 4 x} d x=\)