Definite Integrals MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Definite Integrals - मोफत PDF डाउनलोड करा

Last updated on Mar 13, 2025

पाईये Definite Integrals उत्तरे आणि तपशीलवार उपायांसह एकाधिक निवड प्रश्न (MCQ क्विझ). हे मोफत डाउनलोड करा Definite Integrals एमसीक्यू क्विझ पीडीएफ आणि बँकिंग, एसएससी, रेल्वे, यूपीएससी, स्टेट पीएससी यासारख्या तुमच्या आगामी परीक्षांची तयारी करा.

Latest Definite Integrals MCQ Objective Questions

Definite Integrals Question 1:

समजा, f : R → R हे एक विकलनीय फल आहे, जे f(3) = 4, f'(3) = \(\frac{1}{24}\) अशी उकल करते, तर \(\displaystyle \lim_{x\to3}\int_4^{f(x)}\frac{3t^4}{x-3}dt\) चे मूल्य काढा.

  1. 64
  2. 48
  3. 32
  4. 24

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 32

Definite Integrals Question 1 Detailed Solution

गणना:

दिलेले आहे, L = \(\displaystyle \lim_{x\to3}\int_4^{f(x)}\frac{3t^4}{x-3}dt\)

= \(\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{\int_4^{f(x)}3t^4\ dt}{x-3}\) [\(\frac{0}{0}\) स्वरूप]

= \(\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{3[f(x)]^4f'(x)}{1}\)

= 3[f(3)]4f '(3)

= 3 x 44 x \(\frac{1}{24}\)

= 32

 लिमिटचे मूल्य 32 आहे.

पर्याय 3 योग्य आहे.

Definite Integrals Question 2:

\(\displaystyle \int _{ -\frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { { x }^{ 2 }\cos { x } }{ 1+{ e }^{ x } } } dx\) चे मूल्य समान आहे:

  1. \(\displaystyle \frac { { \pi }^{ 2 } }{ 4 } -2\)
  2. \(\displaystyle \frac { { \pi }^{ 2 } }{ 4 } +2\)
  3. \(\displaystyle { \pi }^{ 2 }{ -e }^{ \frac { \pi }{ 2 } }\)
  4. \(\displaystyle { \pi }^{ 2 }{ +e }^{ \frac { \pi }{ 2 } }\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\displaystyle \frac { { \pi }^{ 2 } }{ 4 } -2\)

Definite Integrals Question 2 Detailed Solution

\(\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{x^2\cos x}{1+e^x}dx=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\left(\dfrac{x^2\cos x}{1+e^x}+\dfrac{x^2\cos x}{1+e^{-x}}\right)dx\)

(जसे अंश सम फल आहे, परंतु छेद विषम फल आहे)

\(=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{x^2\cos x+e^x(x^2\cos x)}{1+e^x}dx\)

\(=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x^2\cos xdx\)

\((x^2\sin x)_{0}^{\pi/2}-\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}2x\sin x dx\)

(एकत्रीकरणाचा uv नियम)

\(=\dfrac{\pi^2}{4}-2[(-x\cos x)_{0}^{\pi/2}-\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}-\cos xdx]\)

(एकत्रीकरणाचा uv नियम)

\(=\dfrac{\pi^2}{4}-2[0+(\sin xdx)_{0}^{\pi/2}]\)

\(=\dfrac{\pi^2}{4}-2\)

हे आवश्यक निरसन आहे.

Definite Integrals Question 3:

\(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\) ची किंमत शोधा.

  1. 0
  2. 1
  3. - 1
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0

Definite Integrals Question 3 Detailed Solution

संकल्पना:

फंक्शन f(x) हे विषम फंक्शन आहे जर f(x) = - f(-x) आणि सम फंक्शन आहे जरf(x) = f(-x).

  • जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असेल तेव्हा \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
  • जेव्हा f(x) विषम फंक्शन असेल तेव्हा \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)
गणना:

दिले आहे: \(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\)

समजा f(x) = cos x

जसे की आपण आपण पाहू शकतो, f(- x) = cos (- x) = cos x = f(x).

तर, cos xहे सम फंक्शन आहे.

आपल्याला माहित आहे की, जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असते तेव्हा\(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)

\(\Rightarrow \rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx=2\int_{0 }^{\pi }cosx \ dx=2(sin\pi-sin0)=0\)

म्हणून योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.

Definite Integrals Question 4:

जर \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\) , जेथे [.] हे महत्तम पूर्णांक फल आहे. नंतर \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) चे मूल्य शोधा.

  1. 1/6
  2. 2/3
  3. 1/3
  4. 1/2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1/3

Definite Integrals Question 4 Detailed Solution

संकल्पना :

महत्तम पूर्णांक फल : (तळाचे फल)

फल f(x) = [x] याला सर्वात मोठे पूर्णांक फल म्हटले जाते आणि याचा अर्थ x पेक्षा कमी किंवा समान म्हणजे [x] ≤ x.

[x] चे डोमेन R आहे आणि श्रेणी I आहे.

NDA Chapter test 16.docx 1

गणना :

दिलेल्याप्रमाणे: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\)

दिलेल्या पूर्णांकासाठी \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) , x दरम्यान आहे 1 / 3 आणि 1 / 2 म्हणजे \(\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow 2 < \frac{1}{x} < 3\)

तर, वरील असमानतेनुसार: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right] = 2\)

\(\Rightarrow \mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx = \;\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} 2\;dx = 2 \times \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3}\)

Top Definite Integrals MCQ Objective Questions

जर \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\) , जेथे [.] हे महत्तम पूर्णांक फल आहे. नंतर \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) चे मूल्य शोधा.

  1. 1/6
  2. 2/3
  3. 1/3
  4. 1/2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1/3

Definite Integrals Question 5 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना :

महत्तम पूर्णांक फल : (तळाचे फल)

फल f(x) = [x] याला सर्वात मोठे पूर्णांक फल म्हटले जाते आणि याचा अर्थ x पेक्षा कमी किंवा समान म्हणजे [x] ≤ x.

[x] चे डोमेन R आहे आणि श्रेणी I आहे.

NDA Chapter test 16.docx 1

गणना :

दिलेल्याप्रमाणे: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\)

दिलेल्या पूर्णांकासाठी \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) , x दरम्यान आहे 1 / 3 आणि 1 / 2 म्हणजे \(\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow 2 < \frac{1}{x} < 3\)

तर, वरील असमानतेनुसार: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right] = 2\)

\(\Rightarrow \mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx = \;\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} 2\;dx = 2 \times \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3}\)

\(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\) ची किंमत शोधा.

  1. 0
  2. 1
  3. - 1
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0

Definite Integrals Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

फंक्शन f(x) हे विषम फंक्शन आहे जर f(x) = - f(-x) आणि सम फंक्शन आहे जरf(x) = f(-x).

  • जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असेल तेव्हा \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
  • जेव्हा f(x) विषम फंक्शन असेल तेव्हा \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)
गणना:

दिले आहे: \(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\)

समजा f(x) = cos x

जसे की आपण आपण पाहू शकतो, f(- x) = cos (- x) = cos x = f(x).

तर, cos xहे सम फंक्शन आहे.

आपल्याला माहित आहे की, जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असते तेव्हा\(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)

\(\Rightarrow \rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx=2\int_{0 }^{\pi }cosx \ dx=2(sin\pi-sin0)=0\)

म्हणून योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.

Definite Integrals Question 7:

समजा, f : R → R हे एक विकलनीय फल आहे, जे f(3) = 4, f'(3) = \(\frac{1}{24}\) अशी उकल करते, तर \(\displaystyle \lim_{x\to3}\int_4^{f(x)}\frac{3t^4}{x-3}dt\) चे मूल्य काढा.

  1. 64
  2. 48
  3. 32
  4. 24

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 32

Definite Integrals Question 7 Detailed Solution

गणना:

दिलेले आहे, L = \(\displaystyle \lim_{x\to3}\int_4^{f(x)}\frac{3t^4}{x-3}dt\)

= \(\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{\int_4^{f(x)}3t^4\ dt}{x-3}\) [\(\frac{0}{0}\) स्वरूप]

= \(\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{3[f(x)]^4f'(x)}{1}\)

= 3[f(3)]4f '(3)

= 3 x 44 x \(\frac{1}{24}\)

= 32

 लिमिटचे मूल्य 32 आहे.

पर्याय 3 योग्य आहे.

Definite Integrals Question 8:

जर \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\) , जेथे [.] हे महत्तम पूर्णांक फल आहे. नंतर \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) चे मूल्य शोधा.

  1. 1/6
  2. 2/3
  3. 1/3
  4. 1/2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1/3

Definite Integrals Question 8 Detailed Solution

संकल्पना :

महत्तम पूर्णांक फल : (तळाचे फल)

फल f(x) = [x] याला सर्वात मोठे पूर्णांक फल म्हटले जाते आणि याचा अर्थ x पेक्षा कमी किंवा समान म्हणजे [x] ≤ x.

[x] चे डोमेन R आहे आणि श्रेणी I आहे.

NDA Chapter test 16.docx 1

गणना :

दिलेल्याप्रमाणे: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\)

दिलेल्या पूर्णांकासाठी \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) , x दरम्यान आहे 1 / 3 आणि 1 / 2 म्हणजे \(\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow 2 < \frac{1}{x} < 3\)

तर, वरील असमानतेनुसार: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right] = 2\)

\(\Rightarrow \mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx = \;\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} 2\;dx = 2 \times \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3}\)

Definite Integrals Question 9:

\(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\) ची किंमत शोधा.

  1. 0
  2. 1
  3. - 1
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0

Definite Integrals Question 9 Detailed Solution

संकल्पना:

फंक्शन f(x) हे विषम फंक्शन आहे जर f(x) = - f(-x) आणि सम फंक्शन आहे जरf(x) = f(-x).

  • जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असेल तेव्हा \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
  • जेव्हा f(x) विषम फंक्शन असेल तेव्हा \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)
गणना:

दिले आहे: \(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\)

समजा f(x) = cos x

जसे की आपण आपण पाहू शकतो, f(- x) = cos (- x) = cos x = f(x).

तर, cos xहे सम फंक्शन आहे.

आपल्याला माहित आहे की, जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असते तेव्हा\(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)

\(\Rightarrow \rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx=2\int_{0 }^{\pi }cosx \ dx=2(sin\pi-sin0)=0\)

म्हणून योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.

Definite Integrals Question 10:

\(\displaystyle \int _{ -\frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { { x }^{ 2 }\cos { x } }{ 1+{ e }^{ x } } } dx\) चे मूल्य समान आहे:

  1. \(\displaystyle \frac { { \pi }^{ 2 } }{ 4 } -2\)
  2. \(\displaystyle \frac { { \pi }^{ 2 } }{ 4 } +2\)
  3. \(\displaystyle { \pi }^{ 2 }{ -e }^{ \frac { \pi }{ 2 } }\)
  4. \(\displaystyle { \pi }^{ 2 }{ +e }^{ \frac { \pi }{ 2 } }\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\displaystyle \frac { { \pi }^{ 2 } }{ 4 } -2\)

Definite Integrals Question 10 Detailed Solution

\(\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{x^2\cos x}{1+e^x}dx=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\left(\dfrac{x^2\cos x}{1+e^x}+\dfrac{x^2\cos x}{1+e^{-x}}\right)dx\)

(जसे अंश सम फल आहे, परंतु छेद विषम फल आहे)

\(=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{x^2\cos x+e^x(x^2\cos x)}{1+e^x}dx\)

\(=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x^2\cos xdx\)

\((x^2\sin x)_{0}^{\pi/2}-\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}2x\sin x dx\)

(एकत्रीकरणाचा uv नियम)

\(=\dfrac{\pi^2}{4}-2[(-x\cos x)_{0}^{\pi/2}-\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}-\cos xdx]\)

(एकत्रीकरणाचा uv नियम)

\(=\dfrac{\pi^2}{4}-2[0+(\sin xdx)_{0}^{\pi/2}]\)

\(=\dfrac{\pi^2}{4}-2\)

हे आवश्यक निरसन आहे.

Get Free Access Now
Hot Links: teen patti master list teen patti rummy teen patti vungo