Definite Integrals MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Definite Integrals - मोफत PDF डाउनलोड करा

गणना:

दिलेले आहे, L = \(\displaystyle \lim_{x\to3}\int_4^{f(x)}\frac{3t^4}{x-3}dt\)

= \(\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{\int_4^{f(x)}3t^4\ dt}{x-3}\) [\(\frac{0}{0}\) स्वरूप]

= \(\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{3[f(x)]^4f'(x)}{1}\)

= 3[f(3)]⁴f '(3)

= 3 x 4⁴ x \(\frac{1}{24}\)

= 32

∴ लिमिटचे मूल्य 32 आहे.

पर्याय 3 योग्य आहे.

\(\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{x^2\cos x}{1+e^x}dx=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\left(\dfrac{x^2\cos x}{1+e^x}+\dfrac{x^2\cos x}{1+e^{-x}}\right)dx\)

(जसे अंश सम फल आहे, परंतु छेद विषम फल आहे)

\(=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{x^2\cos x+e^x(x^2\cos x)}{1+e^x}dx\)

\(=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x^2\cos xdx\)

\((x^2\sin x)_{0}^{\pi/2}-\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}2x\sin x dx\)

(एकत्रीकरणाचा uv नियम)

\(=\dfrac{\pi^2}{4}-2[(-x\cos x)_{0}^{\pi/2}-\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}-\cos xdx]\)

(एकत्रीकरणाचा uv नियम)

\(=\dfrac{\pi^2}{4}-2[0+(\sin xdx)_{0}^{\pi/2}]\)

\(=\dfrac{\pi^2}{4}-2\)

हे आवश्यक निरसन आहे.

संकल्पना:

फंक्शन f(x) हे विषम फंक्शन आहे जर f(x) = - f(-x) आणि सम फंक्शन आहे जरf(x) = f(-x).

• जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असेल तेव्हा \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
• जेव्हा f(x) विषम फंक्शन असेल तेव्हा \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)

दिले आहे: \(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\)

समजा f(x) = cos x

जसे की आपण आपण पाहू शकतो, f(- x) = cos (- x) = cos x = f(x).

तर, cos xहे सम फंक्शन आहे.

आपल्याला माहित आहे की, जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असते तेव्हा\(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)

\(\Rightarrow \rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx=2\int_{0 }^{\pi }cosx \ dx=2(sin\pi-sin0)=0\)

म्हणून योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.

संकल्पना :

महत्तम पूर्णांक फल : (तळाचे फल)

फल f(x) = [x] याला सर्वात मोठे पूर्णांक फल म्हटले जाते आणि याचा अर्थ x पेक्षा कमी किंवा समान म्हणजे [x] ≤ x.

[x] चे डोमेन R आहे आणि श्रेणी I आहे.

गणना :

दिलेल्याप्रमाणे: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\)

दिलेल्या पूर्णांकासाठी \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) , x दरम्यान आहे 1 / 3 आणि 1 / 2 म्हणजे \(\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow 2 < \frac{1}{x} < 3\)

तर, वरील असमानतेनुसार: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right] = 2\)

संकल्पना :

महत्तम पूर्णांक फल : (तळाचे फल)

फल f(x) = [x] याला सर्वात मोठे पूर्णांक फल म्हटले जाते आणि याचा अर्थ x पेक्षा कमी किंवा समान म्हणजे [x] ≤ x.

[x] चे डोमेन R आहे आणि श्रेणी I आहे.

गणना :

दिलेल्याप्रमाणे: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\)

दिलेल्या पूर्णांकासाठी \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) , x दरम्यान आहे 1 / 3 आणि 1 / 2 म्हणजे \(\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow 2 < \frac{1}{x} < 3\)

तर, वरील असमानतेनुसार: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right] = 2\)

संकल्पना:

फंक्शन f(x) हे विषम फंक्शन आहे जर f(x) = - f(-x) आणि सम फंक्शन आहे जरf(x) = f(-x).

• जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असेल तेव्हा \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
• जेव्हा f(x) विषम फंक्शन असेल तेव्हा \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)

दिले आहे: \(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\)

समजा f(x) = cos x

जसे की आपण आपण पाहू शकतो, f(- x) = cos (- x) = cos x = f(x).

तर, cos xहे सम फंक्शन आहे.

आपल्याला माहित आहे की, जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असते तेव्हा\(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)

\(\Rightarrow \rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx=2\int_{0 }^{\pi }cosx \ dx=2(sin\pi-sin0)=0\)

म्हणून योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.

गणना:

दिलेले आहे, L = \(\displaystyle \lim_{x\to3}\int_4^{f(x)}\frac{3t^4}{x-3}dt\)

= \(\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{\int_4^{f(x)}3t^4\ dt}{x-3}\) [\(\frac{0}{0}\) स्वरूप]

= \(\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{3[f(x)]^4f'(x)}{1}\)

= 3[f(3)]⁴f '(3)

= 3 x 4⁴ x \(\frac{1}{24}\)

= 32

∴ लिमिटचे मूल्य 32 आहे.

पर्याय 3 योग्य आहे.

संकल्पना :

महत्तम पूर्णांक फल : (तळाचे फल)

फल f(x) = [x] याला सर्वात मोठे पूर्णांक फल म्हटले जाते आणि याचा अर्थ x पेक्षा कमी किंवा समान म्हणजे [x] ≤ x.

[x] चे डोमेन R आहे आणि श्रेणी I आहे.

गणना :

दिलेल्याप्रमाणे: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\)

दिलेल्या पूर्णांकासाठी \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) , x दरम्यान आहे 1 / 3 आणि 1 / 2 म्हणजे \(\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow 2 < \frac{1}{x} < 3\)

तर, वरील असमानतेनुसार: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right] = 2\)

संकल्पना:

फंक्शन f(x) हे विषम फंक्शन आहे जर f(x) = - f(-x) आणि सम फंक्शन आहे जरf(x) = f(-x).

• जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असेल तेव्हा \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
• जेव्हा f(x) विषम फंक्शन असेल तेव्हा \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)

दिले आहे: \(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\)

समजा f(x) = cos x

जसे की आपण आपण पाहू शकतो, f(- x) = cos (- x) = cos x = f(x).

तर, cos xहे सम फंक्शन आहे.

आपल्याला माहित आहे की, जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असते तेव्हा\(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)

\(\Rightarrow \rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx=2\int_{0 }^{\pi }cosx \ dx=2(sin\pi-sin0)=0\)

म्हणून योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.

\(\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{x^2\cos x}{1+e^x}dx=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\left(\dfrac{x^2\cos x}{1+e^x}+\dfrac{x^2\cos x}{1+e^{-x}}\right)dx\)

(जसे अंश सम फल आहे, परंतु छेद विषम फल आहे)

\(=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{x^2\cos x+e^x(x^2\cos x)}{1+e^x}dx\)

\(=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x^2\cos xdx\)

\((x^2\sin x)_{0}^{\pi/2}-\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}2x\sin x dx\)

(एकत्रीकरणाचा uv नियम)

\(=\dfrac{\pi^2}{4}-2[(-x\cos x)_{0}^{\pi/2}-\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}-\cos xdx]\)

(एकत्रीकरणाचा uv नियम)

\(=\dfrac{\pi^2}{4}-2[0+(\sin xdx)_{0}^{\pi/2}]\)

\(=\dfrac{\pi^2}{4}-2\)

हे आवश्यक निरसन आहे.