दी गई आकृति में, Δ PQR में, PQ = 8 सेमी, ∠P = 90° है और माध्यिका PS, माध्यिका QT पर X पर लंब है। QT की लंबाई क्या है?

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This question was previously asked in
AAI Junior Assistant (Fire Service) Official Paper (Held On: 15 Nov 2022 Shift 1)
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  1. 6√6 सेमी
  2. 8√3 सेमी
  3. 4√6 सेमी
  4. 6√3 सेमी

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 4√6 सेमी
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ST 1: English
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Detailed Solution

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दिया गया:

दी गई आकृति में, Δ PQR में, PQ = 8 सेमी, ∠P = 90° तथा माध्यिका PS, माध्यिका QT के लंबवत है।

प्रयुक्त सूत्र:

जब दो माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं जिसे "केन्द्रक" कहते हैं, जो प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

गणना:

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जब दो माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं जिसे "केन्द्रक" कहते हैं, जो प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः, PX : XS = 2a : a

QX : XT = 2b : b

अब, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए

Δ PQX में,

PX2 + QX2 = PQ2

⇒ (2a)2 + (2b)2 = 82

⇒ 4a2 + 4b2 = 64     --- (1)

Δ PXT में,

PX2 + XT2 = PT2

⇒ (2a)2 + b2  = PT2

⇒ 4a2 + b2 = PT2    ---- (2)

Δ PQT में ,

QT= PQ2 + PT2

⇒ QT2 = 82 + 4a2 + b2

⇒ (2b + b)2 = 64 + (64 - 4b2) + b2    (समीकरण (1) से)

⇒ (3b)2 = 64 + 64 - 4b2 + b2

⇒ 9b2 = 128 - 3b2

⇒ 12b2 = 128

⇒ b= 128/12 = 32/3

⇒ b = √(32/3) = √(32 × 3)/ (3 × 3) = √(96/9) = √96 / 3

तो, QT = 3b = 3 × √96 / 3 = √96 = 4√6 सेमी

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (3) है।

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