Triangles MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Triangles - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 3, 2025
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Triangles Question 1:
त्रिभुज ABC में, AB = 12 सेमी, BC = 16 सेमी और AC = 20 सेमी है। त्रिभुज के अंदर एक वृत्त अंकित है। वृत्त की त्रिज्या (सेमी में) क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 1 Detailed Solution
दिया गया है:
त्रिभुज ABC में, AB = 12 सेमी, BC = 16 सेमी, AC = 20 सेमी
प्रयुक्त सूत्र:
त्रिभुज का क्षेत्रफल (Δ) = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
जहाँ s = अर्ध-परिमाप = \(\frac{a+b+c}{2}\)
अंकित वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac{\Delta}{s}\)
गणनाएँ:
a = 12 सेमी, b = 16 सेमी, c = 20 सेमी
s = \(\frac{12+16+20}{2}\) = 24 सेमी
क्षेत्रफल (Δ) = \(\sqrt{24(24-12)(24-16)(24-20)}\)
⇒ क्षेत्रफल (Δ) = \(\sqrt{24×12×8×4}\)
⇒ क्षेत्रफल (Δ) = \(\sqrt{9216}\)
⇒ क्षेत्रफल (Δ) = 96 सेमी2
त्रिज्या (r) = \(\frac{96}{24}\)
⇒ त्रिज्या (r) = 4 सेमी
∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।
Triangles Question 2:
△ABC में, AB = AC = 12 सेमी, BC = 5 सेमी और AC पर एक बिंदु D इस प्रकार है कि DB = BC है। CD का माप क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 2 Detailed Solution
दिया गया है:
त्रिभुज ABC में, AB = AC = 12 सेमी।
BC = 5 सेमी।
AC पर एक बिंदु D इस प्रकार है कि DB = BC है।
प्रयुक्त सूत्र:
किसी त्रिभुज में कोज्या नियम: भुजाओं a, b, c और भुजा c के विपरीत कोण C वाले किसी भी त्रिभुज में,
c2 = a2 + b2 - 2ab cos(C).
गणना:
△ABC में, AB = 12 सेमी, AC = 12 सेमी, BC = 5 सेमी।
चूँकि AB = AC, △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
कोज्या नियम का उपयोग करके △ABC में cos(∠C) ज्ञात करें:
AB2 = BC2 + AC2 - 2 × BC × AC × cos(∠C)
122 = 52 + 122 - 2 × 5 × 12 × cos(∠C)
144 = 25 + 144 - 120 × cos(∠C)
0 = 25 - 120 × cos(∠C)
120 × cos(∠C) = 25
cos(∠C) = 25 / 120
cos(∠C) = 5 / 24
अब △DBC पर विचार करें।
हमें दिया गया है DB = BC है। चूँकि BC = 5 सेमी, तो DB = 5 सेमी।
हम जानते हैं कि ∠C दोनों त्रिभुजों के लिए उभयनिष्ठ है। मान लीजिए CD = x सेमी।
CD ज्ञात करने के लिए △DBC में कोज्या नियम लागू करें:
DB2 = BC2 + CD2 - 2 × BC × CD × cos(∠C)
52 = 52 + x2 - 2 × 5 × x × (5 / 24)
25 = 25 + x2 - (50x / 24)
0 = x2 - (25x / 12)
चूँकि x = CD 0 नहीं हो सकता है (क्योंकि D, AC पर एक बिंदु है), हम x से विभाजित कर सकते हैं:
0 = x - (25 / 12)
x = 25 / 12 सेमी
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।
Triangles Question 3:
∆LMN में, माध्यिकाएँ MX और NY एक-दूसरे पर लंबवत हैं और Z पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि MX = 20 cm और NY = 30 cm है, तो ∆LMN का क्षेत्रफल (cm² में) क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 3 Detailed Solution
दिया गया:
∆LMN, मध्यिका MX और NY के साथ
MX ⊥ NY
MX, NY को Z पर प्रतिच्छेद करता है
MX = 20 cm
NY = 30 cm
प्रयुक्त सूत्र:
एक त्रिभुज का केन्द्रक प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
∆LMN का क्षेत्रफल = 3 × ∆MNZ का क्षेत्रफल (चूँकि Z केन्द्रक है)
गणना:
चूँकि Z केन्द्रक है, यह माध्यिकाओं को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
MZ : ZX = 2 : 1
⇒ MZ = (2/3) × MX = (2/3) × 20 = 40/3 cm
⇒ ZX = (1/3) × MX = (1/3) × 20 = 20/3 cm
NZ : ZY = 2 : 1
⇒ NZ = (2/3) × NY = (2/3) × 30 = 20 cm
⇒ ZY = (1/3) × NY = (1/3) × 30 = 10 cm
चूँकि MX ⊥ NY, ∆MNZ एक समकोण त्रिभुज है जिसके पाद NZ और MZ हैं।
∆MNZ का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई = 1/2 × NZ × MZ
⇒ ∆MNZ का क्षेत्रफल = 1/2 × 20 × (40/3)
⇒ ∆MNZ का क्षेत्रफल = 10 × (40/3) = 400/3 cm 2
∆LMN का क्षेत्रफल = 3 × ∆MNZ का क्षेत्रफल
⇒ ∆LMN का क्षेत्रफल = 3 × (400/3)
⇒ ∆LMN का क्षेत्रफल = 400 cm 2
∴ ∆LMN का क्षेत्रफल 400 cm 2 है।
Triangles Question 4:
त्रिभुज ABC में, ∠A = 2∠B है। ∠A का समद्विभाजक BC को D पर इस प्रकार मिलता है कि CD = 4 सेमी और BD = 6 सेमी है। भुजा AC की लंबाई ज्ञात कीजिए:
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 4 Detailed Solution
दिया गया है:
त्रिभुज ABC, ∠A = 2∠B
AD, ∠A का समद्विभाजक है।
CD = 4 सेमी
BD = 6 सेमी
त्रिभुज ABC का चित्र
प्रयुक्त सूत्र:
सर्वांगसम त्रिभुज: संगत भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं।
गणना:
DC = 4 सेमी
BC = 6 + 4 = 10 सेमी
अब त्रिभुज ACB और त्रिभुज DCA में
त्रिभुज ACB में, ∠A = 2∠B = 2X
∠BAC = 2X, ∠ABC = X
और, अब त्रिभुज DCB में
∠ADC = 2X (आंतरिक कोणों का योग बाह्य कोण के बराबर होता है।)
∠DAC = X (चूँकि AD, ∠A का समद्विभाजक है)
और AC दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है।
फिर ASA(कोण-भुजा-कोण) से त्रिभुज ACB और त्रिभुज DCA सर्वांगसम हैं।
तब,
AC/DC = CB/CA
AC2 = DC × CB
AC2 = 4 × 10
AC = 2√10
इसलिए, भुजा AC की लंबाई 2√10 सेमी है।
Triangles Question 5:
त्रिभुज ABC में, O कोण B और कोण A के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु है। यदि कोण BOC = 108° है, तो कोण BAO ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 5 Detailed Solution
दिया गया है:
त्रिभुज ABC में, O कोण B और कोण A के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु है।
कोण BOC = 108°
प्रयुक्त अवधारणा:
यदि त्रिभुज ABC के कोण ABC और कोण ACB के समद्विभाजक बिंदु O पर मिलते हैं, तो ∠BOC = 90° + \(\frac{1}{{2}} \)∠A
कोण समद्विभाजक प्रमेय - त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो भागों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
गणना:
यदि त्रिभुज ABC के कोण ABC और कोण ACB के समद्विभाजक बिंदु O पर मिलते हैं, तो ∠BOC = 90° + \(\frac{1}{{2}} \)∠A
⇒ 108° = 90° + \(\frac{1}{{2}} \)∠A
⇒ \(\frac{1}{{2}} \)∠A = (108° – 90°)
⇒ \(\frac{1}{{2}}\)∠A = 18°
⇒ ∠A = 36°
अब,
हम जानते हैं कि, त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो भागों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
इसलिए,
⇒ ∠BAO = \(\frac{∠ A}{{2}}\)
⇒ ∠BAO = \(\frac{36}{{2}}\)
⇒ ∠BAO = 18°
∴ कोण BAO का मान = 18°
Confusion Points ∠A, ∠B और ∠C के समद्विभाजक एक ही बिंदु अर्थात् O पर प्रतिच्छेद करेंगे।
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त्रिभुज ABC में, AB = 12 सेमी और AC = 10 सेमी, और ∠BAC = 60° है। भुजा BC की लंबाई का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
त्रिभुज ABC में, AB = 12 सेमी और AC = 10 सेमी और ∠BAC = 60° है।
प्रयुक्त अवधारणा:
कोसाइन के नियम के अनुसार, यदि a, b, और c त्रिभुज ΔABC की तीन भुजाएँ हैं और ∠C AC और AB के बीच का कोण है, तो a2 = b2 + c2 - 2bc × cos∠A
गणना:
अवधारणा के अनुसार,
BC2 = AB2 + AC2 - 2 × AB × AC × cos60°
⇒ BC2 = 122 + 102 - 2 × 12 × 10 × 1/2
⇒ BC2 = 124
⇒ BC ≈ 11.13
∴ BC की माप 11.13 सेमी है।
पूर्णांक मानों की भुजाओं वाले त्रिभुज का परिमाप 13 के बराबर है। ऐसे कितने त्रिभुज सम्भव हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त अवधारणा:
यदि त्रिभुज का परिमाप "p" है।
माना कुल सम्भावित त्रिभुज "t" है।
यदि p = सम है, तो
t = p2/48
यदि p = विषम है, तो
t = (p + 3)2/48
गणना:
प्रश्नानुसार,
कुल सम्भावित त्रिभुज = (13 + 3)2/48
⇒ 5.33 ≈ 5
∴ कुल सम्भावित त्रिभुज 5 हैं।
उस त्रिभुज ABC के परिवृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ क्रमशः 16, 30, 34 इकाई हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
त्रिभुज की पहली भुजा (a) = 16 इकाई
त्रिभुज की दूसरी भुजा (b) = 30 इकाई
त्रिभुज की तीसरी भुजा (c) = 34 इकाई
प्रयुक्त सूत्र:
हीरोन का सूत्र:
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √{s × (s - a) × (s - b) × (s - c)}
जहाँ, अर्ध-परिमाप (s) = (a + b + c)/2
और a, b और c एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
त्रिभुज की परिवृत्त-त्रिज्या = (a × b × c)/(4 × त्रिभुज का क्षेत्रफल)
गणना:
अर्ध-परिमाप = (16 + 30 + 34)/2 = 80/2 = 40 इकाई
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √{s × (s - a) × (s - b) × (s - c)}
⇒ √{40 × (40 - 16) × (40 - 30) × (40 - 34)}
⇒ √{40 × 24 × 10 × 6} = √57600 = 240 इकाई2
त्रिभुज की परिवृत्त-त्रिज्या = (a × b × c)/(4 × त्रिभुज का क्षेत्रफल)
⇒ (16 × 30 × 34)/(4 × 240) = 17 इकाई
∴ सही उत्तर 17 इकाई है।
Shortcut Trick
गणना:
दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ पाइथागोरस त्रिक हैं।
अत: कर्ण = 34 इकाई
और समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या = 34/2 = 17 इकाई
एक त्रिभुज की तीन भुजाओं की लंबाई 30 सेमी, 42 सेमी और x सेमी है। निम्न में से कौन-सा विकल्प सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
त्रिभुज की पहली भुजा = 30 सेमी
त्रिभुज की दूसरी भुजा = x सेमी
त्रिभुज की तीसरी भुजा = 42 सेमी
प्रयुक्त अवधारणा:
(तीसरी भुजा - पहली भुजा) < दूसरी भुजा < (तीसरी भुजा + पहली भुजा)
गणना:
दूसरी भुजा का परिसर = (42 - 30) < x < (42 + 30)
⇒ 12 < x < 72
∴ सही उत्तर विकल्प 3 है।
ABC एक त्रिभुज है और D भुजा BC पर एक बिंदु है। यदि BC = 16 cm, BD = 11 cm और ∠ADC = ∠BAC है, तो AC की लंबाई बराबर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
BC = 16 cm, BD = 11 cm और ∠ADC = ∠BAC
संकल्पना:
यदि दो त्रिभुजों के दो कोण और एक भुजा बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होंगे।
गणना:
ΔABC और ΔADC में
⇒ ∠ADC = ∠BAC
⇒ ∠C = दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ कोण
⇒ AC = उभयनिष्ठ भुजा
इसलिए, ΔABC और ΔADC समरूप त्रिभुज हैं।
⇒ \({BC\over AC}={AC\over DC}\)
⇒ AC2 = BC × DC
⇒ AC2 = 16 × 5 = 80
⇒ AC = 4√5
∴ अभीष्ट परिणाम 4√5 होगा।
एक त्रिभुज ABC में, कोण B = 90° और B से AC पर लंब की लंबाई p है। यदि BC = 10 सेमी और AC = 12 सेमी, तो p का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
ABC कोण B पर समकोण त्रिभुज है, BC = 10 सेमी है।
AC = 12 सेमी, B से AC तक लंबवत लंबाई p है।
प्रयुक्त सूत्र:
Δ का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
गणना:
Δ ABC में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,
AC2 = AB2 + BC2
144 = AB2 + 100
AB2 = 44
AB = √44
यहाँ, हम क्षेत्रफल को दो प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं,
1) AC को आधार और लंबाई p को लंब मानकर।
2) BC को आधार और AB को लंब मानकर
ΔABC का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल
⇒ 1/2 × 10 × √44 = 1/2 × 12 × p
⇒ 5 × 2√11 = 6p
⇒ p = (5√11)/3 सेमी
∴ सही उत्तर (5√11)/3 सेमी है।
त्रिभुज ABC में, AD कोण A का कोण समद्विभाजक है। यदि AB = 8.4 सेमी और AC = 5.6 सेमी और DC = 2.8 सेमी है, तो भुजा BC की लम्बाई कितनी होगी?
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
AB = 8.4 सेमी, और AC = 5.6 सेमी, DC = 2.8 सेमी
प्रयुक्त अवधारणा:
त्रिभुज का कोण समद्विभाजक सम्मुख भुजा को त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती दो भागों में विभाजित करता है।
गणना:
अवधारणा के अनुसार,
AB/AC = BD/DC
⇒ 8.4/5.6 = BD/2.8
⇒ 8.4/2 = BD
⇒ 4.2 = BD
इसलिए, BD + DC = BC
BC = 4.2 + 2.8
⇒ 7 सेमी
∴ भुजा BC की लम्बाई 7 सेमी होगी।
'O' एक समबाहु त्रिभुज के अभ्यंतर में स्थित एक बिंदु है। 'O' से भुजाओं की लंबवत दूरी \(\sqrt3\) सेमी, 2\(\sqrt3\) सेमी, 5\(\sqrt3\) सेमी है। त्रिभुज का परिमाप कितना है?
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
लंबवत दूरी:
P1 = √3; P2 = 2√3; P3 = 5√3
प्रयुक्त अवधारणा:
एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = (√3 × भुजा)/2
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = बिंदु से लंबवत दूरियों का योग
एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा
गणना:
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = लम्बवत दूरियों का योग
⇒ (√3 × भुजा)/2 = P1 + P2 + P3
⇒ (√3 × भुजा)/2 = √3 + 2√3 + 5√3
⇒ भुजा = 8 × 2 = 16 सेमी
समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा
⇒ 3 × 16 = 48 सेमी
∴ सही उत्तर 48 सेमी है।
दी गई आकृति में, AB = DB और AC = DC है। यदि ∠ABD = 58° और ∠DBC = (2x - 4)°, ∠ACB = (y + 15)° और ∠DCB = 63° है, तब 2x + 5y का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
AB = DB और AC = DC,
∠ABD = 58° और ∠DBC = (2x - 4)°,
∠ACB = (y + 15)° और ∠DCB = 63°
प्रयुक्त अवधारणा:
यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की संगत तीन भुजाओं के बराबर हों, तो SSS (भुजा-भुजा-भुजा) नियम के अनुसार दोनों त्रिभुज सर्वांगसम कहलाते हैं।
गणना:
चूँकि AB = DB, AC = DC है और BC दोनों त्रिभुजों के लिए उभयनिष्ठ है।
इसलिए, ΔABC ≅ ΔDBC
इसलिए, ∠ABC = ∠DBC = ∠ABD/2
⇒ 58°/2 = 29°
इसलिए,
(2x - 4)° = 29°
⇒ 2x = 33°
पुनः,
∠ACB = ∠DCB = 63°
इसलिए,
(y + 15)° = 63°
⇒ y = 48°
इसलिए,
2x + 5y = 33° + 5 × 48°
⇒ 33° + 240°
⇒ 273°
∴ अभीष्ट उत्तर 273° है।
ΔABC में, भुजा AB का मध्य-बिंदु M है। ΔABC के अन्दर एक बिंदु N इस प्रकार है कि CN, ∠C का सम्द्विभाजक है और CN ⊥ NB है। यदि BC = 10 सेमी और AC = 15 सेमी है, तो MN की लंबाई कितनी है?
Answer (Detailed Solution Below)
Triangles Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
ΔABC में, भुजा AB का मध्य-बिंदु M है।
ΔABC के अन्दर एक बिंदु N इस प्रकार है कि CN, ∠C का सम्द्विभाजक है और CN ⊥ NB है।
BC = 10 सेमी
AC = 15 सेमी
प्रयुक्त अवधारणा:
मध्य-बिंदु प्रमेय - त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखंड, उसकी तीसरी भुजा के समानांतर और साथ ही तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।
गणना:
रचना: BN को P तक बढ़ाते हैं, जो AC से P पर मिलता है। और MN को मिलते हैं;
प्रश्नानुसार,
ΔNPC और ΔNBC में,
∠N = ∠N [90°]
BC = PC [संगत भुजा]
BN = NP [संगत कोण]
∴ ΔNPC ≅ ΔNBC
इसलिए, NB = NP (इसका अर्थ है कि बिंदु N भुजा BP का मध्य बिंदु है)
और, BC = PC = 10 सेमी
तो, AP = AC – PC
⇒ (15 – 10) सेमी
⇒ AP = 5 सेमी
अब, ΔABP में
M और N, AB और BP के मध्यबिंदु हैं
इसलिए, मध्यबिंदु प्रमेय के अनुसार
⇒ MN = \(\frac{AP}{{2}}\)
⇒ \(\frac{5}{{2}}\) सेमी
⇒ 2.5 सेमी
∴ MN की लंबाई 2.5 सेमी है।
Shortcut Trick
मध्य-बिंदु प्रमेय का उपयोग करने पर,
ΔBAP में,
MN = \(AP\over2\) = \(\frac{5}{{2}}\) = 2.5 सेमी