Triangles MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Triangles - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

त्रिभुज ABC में, AB = 12 सेमी, BC = 16 सेमी, AC = 20 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल (Δ) = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

जहाँ s = अर्ध-परिमाप = \(\frac{a+b+c}{2}\)

अंकित वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac{\Delta}{s}\)

गणनाएँ:

a = 12 सेमी, b = 16 सेमी, c = 20 सेमी

s = \(\frac{12+16+20}{2}\) = 24 सेमी

क्षेत्रफल (Δ) = \(\sqrt{24(24-12)(24-16)(24-20)}\)

⇒ क्षेत्रफल (Δ) = \(\sqrt{24×12×8×4}\)

⇒ क्षेत्रफल (Δ) = \(\sqrt{9216}\)

⇒ क्षेत्रफल (Δ) = 96 सेमी2

त्रिज्या (r) = \(\frac{96}{24}\)

⇒ त्रिज्या (r) = 4 सेमी

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

त्रिभुज ABC में, AB = AC = 12 सेमी।

BC = 5 सेमी।

AC पर एक बिंदु D इस प्रकार है कि DB = BC है।

प्रयुक्त सूत्र:

किसी त्रिभुज में कोज्या नियम: भुजाओं a, b, c और भुजा c के विपरीत कोण C वाले किसी भी त्रिभुज में,

c² = a² + b² - 2ab cos(C).

गणना:

△ABC में, AB = 12 सेमी, AC = 12 सेमी, BC = 5 सेमी।

चूँकि AB = AC, △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

कोज्या नियम का उपयोग करके △ABC में cos(∠C) ज्ञात करें:

AB2 = BC2 + AC2 - 2 × BC × AC × cos(∠C)

122 = 52 + 122 - 2 × 5 × 12 × cos(∠C)

144 = 25 + 144 - 120 × cos(∠C)

0 = 25 - 120 × cos(∠C)

120 × cos(∠C) = 25

cos(∠C) = 25 / 120

cos(∠C) = 5 / 24

अब △DBC पर विचार करें।

हमें दिया गया है DB = BC है। चूँकि BC = 5 सेमी, तो DB = 5 सेमी।

हम जानते हैं कि ∠C दोनों त्रिभुजों के लिए उभयनिष्ठ है। मान लीजिए CD = x सेमी।

CD ज्ञात करने के लिए △DBC में कोज्या नियम लागू करें:

DB2 = BC2 + CD2 - 2 × BC × CD × cos(∠C)

52 = 52 + x2 - 2 × 5 × x × (5 / 24)

25 = 25 + x2 - (50x / 24)

0 = x2 - (25x / 12)

चूँकि x = CD 0 नहीं हो सकता है (क्योंकि D, AC पर एक बिंदु है), हम x से विभाजित कर सकते हैं:

0 = x - (25 / 12)

x = 25 / 12 सेमी

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया:

∆LMN, मध्यिका MX और NY के साथ

MX ⊥ NY

MX, NY को Z पर प्रतिच्छेद करता है

MX = 20 cm

NY = 30 cm

प्रयुक्त सूत्र:

एक त्रिभुज का केन्द्रक प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

∆LMN का क्षेत्रफल = 3 × ∆MNZ का क्षेत्रफल (चूँकि Z केन्द्रक है)

गणना:

चूँकि Z केन्द्रक है, यह माध्यिकाओं को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

MZ : ZX = 2 : 1

⇒ MZ = (2/3) × MX = (2/3) × 20 = 40/3 cm

⇒ ZX = (1/3) × MX = (1/3) × 20 = 20/3 cm

NZ : ZY = 2 : 1

⇒ NZ = (2/3) × NY = (2/3) × 30 = 20 cm

⇒ ZY = (1/3) × NY = (1/3) × 30 = 10 cm

चूँकि MX ⊥ NY, ∆MNZ एक समकोण त्रिभुज है जिसके पाद NZ और MZ हैं।

∆MNZ का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई = 1/2 × NZ × MZ

⇒ ∆MNZ का क्षेत्रफल = 1/2 × 20 × (40/3)

⇒ ∆MNZ का क्षेत्रफल = 10 × (40/3) = 400/3 cm ²

∆LMN का क्षेत्रफल = 3 × ∆MNZ का क्षेत्रफल

⇒ ∆LMN का क्षेत्रफल = 3 × (400/3)

⇒ ∆LMN का क्षेत्रफल = 400 cm ²

∴ ∆LMN का क्षेत्रफल 400 cm ² है।

दिया गया है:

त्रिभुज ABC, ∠A = 2∠B

AD, ∠A का समद्विभाजक है। 

CD = 4 सेमी

BD = 6 सेमी

त्रिभुज ABC का चित्र

प्रयुक्त सूत्र:

सर्वांगसम त्रिभुज: संगत भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं।

गणना:

DC = 4 सेमी

BC = 6 + 4 = 10 सेमी

अब त्रिभुज ACB और त्रिभुज DCA में

त्रिभुज ACB में, ∠A = 2∠B = 2X

∠BAC = 2X, ∠ABC = X

और, अब त्रिभुज DCB में

∠ADC = 2X (आंतरिक कोणों का योग बाह्य कोण के बराबर होता है।)

∠DAC = X (चूँकि AD, ∠A का समद्विभाजक है)

और AC दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है।

फिर ASA(कोण-भुजा-कोण) से त्रिभुज ACB और त्रिभुज DCA सर्वांगसम हैं।

तब,

AC/DC = CB/CA

AC² = DC × CB

AC2 = 4 × 10

AC = 2√10

इसलिए, भुजा AC की लंबाई 2√10 सेमी है।

दिया गया है:

त्रिभुज ABC में, O कोण B और कोण A के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु है। 

कोण BOC = 108°

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि त्रिभुज ABC के कोण ABC और कोण ACB के समद्विभाजक बिंदु O पर मिलते हैं, तो ∠BOC = 90° + \(\frac{1}{{2}} \)∠A

कोण समद्विभाजक प्रमेय - त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो भागों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।

गणना:

यदि त्रिभुज ABC के कोण ABC और कोण ACB के समद्विभाजक बिंदु O पर मिलते हैं, तो ∠BOC = 90° + \(\frac{1}{{2}} \)∠A

⇒ 108° = 90° + \(\frac{1}{{2}} \)∠A

⇒ \(\frac{1}{{2}} \)∠A = (108° – 90°)

⇒ \(\frac{1}{{2}}\)∠A = 18° 

⇒ ∠A = 36° 

अब,

हम जानते हैं कि, त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो भागों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।

इसलिए,

⇒ ∠BAO = \(\frac{∠ A}{{2}}\)

⇒ ∠BAO = \(\frac{36}{{2}}\)

⇒ ∠BAO = 18° 

∴ कोण BAO का मान = 18°

Confusion Points  ∠A, ∠B और ∠C के समद्विभाजक एक ही बिंदु अर्थात् O पर प्रतिच्छेद करेंगे।

दिया गया है:

त्रिभुज ABC में, AB = 12 सेमी और AC = 10 सेमी और ∠BAC = 60° है।

प्रयुक्त अवधारणा:

कोसाइन के नियम के अनुसार, यदि a, b, और c त्रिभुज ΔABC की तीन भुजाएँ हैं और ∠C AC और AB के बीच का कोण है, तो a2 = b2 + c2 - 2bc × cos∠A

गणना:

अवधारणा के अनुसार,

BC² = AB² + AC² - 2 × AB × AC × cos60°

⇒ BC² = 12² + 10² - 2 × 12 × 10 × 1/2

⇒ BC² = 124

⇒ BC ≈ 11.13

∴ BC की माप 11.13 सेमी है।

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि त्रिभुज का परिमाप "p" है।

माना कुल सम्भावित त्रिभुज "t" है।

यदि p = सम है, तो

t = p2/48

यदि p = विषम है, तो

t = (p + 3)2/48

गणना:

प्रश्नानुसार,

कुल सम्भावित त्रिभुज = (13 + 3)^2/48

⇒ 5.33 ≈ 5

∴ कुल सम्भावित त्रिभुज 5 हैं।

दिया गया है:

त्रिभुज की पहली भुजा (a) = 16 इकाई

त्रिभुज की दूसरी भुजा (b) = 30 इकाई

त्रिभुज की तीसरी भुजा (c) = 34 इकाई

प्रयुक्त सूत्र:

हीरोन का सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √{s × (s - a) × (s - b) × (s - c)}

जहाँ, अर्ध-परिमाप (s) = (a + b + c)/2

और a, b और c एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

त्रिभुज की परिवृत्त-त्रिज्या = (a × b × c)/(4 × त्रिभुज का क्षेत्रफल)

गणना:

अर्ध-परिमाप = (16 + 30 + 34)/2 = 80/2 = 40 इकाई

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √{s × (s - a) × (s - b) × (s - c)}

⇒ √{40 × (40 - 16) × (40 - 30) × (40 - 34)}

⇒ √{40 × 24 × 10 × 6} = √57600 = 240 इकाई2

त्रिभुज की परिवृत्त-त्रिज्या = (a × b × c)/(4 × त्रिभुज का क्षेत्रफल)

⇒ (16 × 30 × 34)/(4 × 240) = 17 इकाई

∴ सही उत्तर 17 इकाई है।

Shortcut Trick 
गणना:

दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ पाइथागोरस त्रिक हैं।

अत: कर्ण = 34 इकाई

और समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या = 34/2 = 17 इकाई

दिया गया है:

त्रिभुज की पहली भुजा = 30 सेमी

त्रिभुज की दूसरी भुजा = x सेमी

त्रिभुज की तीसरी भुजा = 42 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

(तीसरी भुजा - पहली भुजा) < दूसरी भुजा < (तीसरी भुजा + पहली भुजा)

गणना:

दूसरी भुजा का परिसर = (42 - 30) < x < (42 + 30)

⇒ 12 < x < 72

∴ सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

BC = 16 cm, BD = 11 cm और ∠ADC = ∠BAC

संकल्पना:

यदि दो त्रिभुजों के दो कोण और एक भुजा बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होंगे।

गणना:

ΔABC और ΔADC में

⇒ ∠ADC = ∠BAC

⇒ ∠C = दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ कोण

⇒ AC = उभयनिष्ठ भुजा

इसलिए, ΔABC और ΔADC समरूप त्रिभुज हैं।

⇒ \({BC\over AC}={AC\over DC}\)

⇒ AC² = BC × DC

⇒ AC² = 16 × 5 = 80

⇒ AC = 4√5

∴ अभीष्ट परिणाम 4√5 होगा।

दिया गया है:

ABC कोण B पर समकोण त्रिभुज है, BC = 10 सेमी है। 

AC = 12 सेमी, B से AC तक लंबवत लंबाई p है। 

प्रयुक्त सूत्र:

Δ का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

गणना:

Δ ABC में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

AC² = AB² + BC²

144 = AB² + 100

AB² = 44

AB = √44

यहाँ, हम क्षेत्रफल को दो प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं,

1) AC को आधार और लंबाई p को लंब मानकर।

2) BC को आधार और AB को लंब मानकर

ΔABC का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल

⇒ 1/2 × 10 × √44 = 1/2 × 12 × p

⇒ 5 × 2√11 = 6p

⇒ p = (5√11)/3 सेमी 

∴ सही उत्तर (5√11)/3 सेमी है। 

दिया गया है:

AB = 8.4 सेमी, और AC = 5.6 सेमी, DC = 2.8 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

त्रिभुज का कोण समद्विभाजक सम्मुख भुजा को त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती दो भागों में विभाजित करता है।

गणना:

अवधारणा के अनुसार,

AB/AC = BD/DC

⇒ 8.4/5.6 = BD/2.8

⇒ 8.4/2 = BD

⇒ 4.2 = BD

इसलिए, BD + DC = BC

BC = 4.2 + 2.8

⇒ 7 सेमी

∴ भुजा BC की लम्बाई 7 सेमी होगी।

दिया गया है:

लंबवत दूरी:

P₁ = √3; P₂ = 2√3; P₃ = 5√3

प्रयुक्त अवधारणा:

एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = (√3 × भुजा)/2 

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = बिंदु से लंबवत दूरियों का योग

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा

गणना:

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = लम्बवत दूरियों का योग

⇒ (√3 × भुजा)/2 = P1 + P2 + P3 

⇒ (√3 × भुजा)/2 = √3 + 2√3 + 5√3

⇒ भुजा = 8 × 2 = 16 सेमी

समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा

⇒ 3 × 16 = 48 सेमी

∴ सही उत्तर 48 सेमी है।

दिया गया है:

AB = DB और AC = DC,

∠ABD = 58° और ∠DBC = (2x - 4)°, 

∠ACB = (y + 15)° और ∠DCB = 63°

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की संगत तीन भुजाओं के बराबर हों, तो SSS (भुजा-भुजा-भुजा) नियम के अनुसार दोनों त्रिभुज सर्वांगसम कहलाते हैं।

गणना:

चूँकि AB = DB, AC = DC है और BC दोनों त्रिभुजों के लिए उभयनिष्ठ है।

इसलिए, ΔABC ≅ ΔDBC

इसलिए, ∠ABC = ∠DBC = ∠ABD/2

⇒ 58°/2 = 29°

इसलिए,

(2x - 4)° = 29°

⇒ 2x = 33°

पुनः,

∠ACB = ∠DCB = 63°

इसलिए,

(y + 15)° = 63°

⇒ y = 48°

इसलिए,

2x + 5y = 33° + 5 × 48°

⇒ 33° + 240°

⇒ 273°

∴ अभीष्ट उत्तर 273° है।

दिया गया है:

ΔABC में, भुजा AB का मध्य-बिंदु M है।

ΔABC के अन्दर एक बिंदु N इस प्रकार है कि CN, ∠C का सम्द्विभाजक है और CN ⊥ NB है।

BC = 10 सेमी

AC = 15 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

मध्य-बिंदु प्रमेय - त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखंड, उसकी तीसरी भुजा के समानांतर और साथ ही तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।

गणना:

रचना: BN को P तक बढ़ाते हैं, जो AC से P पर मिलता है। और MN को मिलते हैं;

प्रश्नानुसार,

ΔNPC और ΔNBC में,

∠N = ∠N  [90°]

BC = PC [संगत भुजा]

BN = NP [संगत कोण]

∴ ΔNPC ≅ ΔNBC 

इसलिए, NB = NP (इसका अर्थ है कि बिंदु N भुजा BP का मध्य बिंदु है)

और, BC = PC = 10 सेमी

तो, AP = AC – PC

⇒ (15 – 10) सेमी

⇒ AP = 5 सेमी

अब, ΔABP में

M और N, AB और BP के मध्यबिंदु हैं

इसलिए, मध्यबिंदु प्रमेय के अनुसार

⇒ MN = \(\frac{AP}{{2}}\)

⇒ \(\frac{5}{{2}}\) सेमी

⇒ 2.5 सेमी

∴ MN की लंबाई 2.5 सेमी है।

Shortcut Trick  

मध्य-बिंदु प्रमेय का उपयोग करने पर,

ΔBAP में,

MN = \(AP\over2\) = \(\frac{5}{{2}}\) = 2.5 सेमी