Reciprocal MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Reciprocal - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

x + (1/x) = 6

प्रयुक्त सूत्र:

(x + 1/x)2 = x2 + 2 + 1/x2

गणना:

(x + 1/x)2 = 62

⇒ x2 + 2 + 1/x2 = 36

⇒ x2 + 1/x2 = 36 - 2

⇒ x2 + 1/x2 = 34

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

समीकरण: \( \frac{x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{1}{3} \)

प्रयुक्त सूत्र:

यदि \(x + \frac{1}{x}\)= k है। तब, \(x^3 + \frac{1}{x^3}\) = k³ - 3k

गणना:

\(\frac{x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{1}{3}\)

x उभयनिष्ठ लेने पर,

\(\frac{x}{x(x - 2 + \frac{1}{x})} = \frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{(x - 2 + \frac{1}{x})} = \frac{1}{3}\)

तिर्यक गुणा करने पर:

\(x - 2 + \frac{1}{x} = 3\)

\(x + \frac{1}{x} = 5\)

अब,

\(x^3 + \frac{1}{x^3}\) = 5³ - 3(5)

\(x^3 + \frac{1}{x^3}\) = 125 - 15

\(x^3 + \frac{1}{x^3}\) = 110

विकल्प 1 सही उत्तर है।

दिया गया है:

\(a^3 + \frac{1}{a^3} = 2\) (जहाँ (a > 0)

हमें a + 1/a का मान ज्ञात करना है।

प्रयुक्त सूत्र:

1. a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3(a + 1/a)

2. मान लीजिए x = a + 1/a है x को व्यंजक में प्रतिस्थापित कीजिए।

गणना:

दिये गये समीकरण में x = a + 1/a प्रतिस्थापित कीजिए:

a3 + 1/a3 = x³ - 3x

हमें दिया गया है a3 + 1/a3 = 2, इसलिए:

x³ - 3x = 2

घनीय समीकरण को हल कीजिए:

x3 - 3x - 2 = 0

संभावित मूलों का प्रयास कीजिए। मान x = 2 लीजिए:

2³ - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0

इस प्रकार, x = 2 समीकरण का एक मूल है।

परिणाम सत्यापित कीजिए:

यदि x = a + 1/a = 2, इसलिए शर्त a3 + 1/a3 = 2 सही है।

a + 1/a का मान = 2 है। 

दिया गया है:

3t - 1/3t = 3

प्रयुक्त सूत्र:

(a - b)² = a² - 2 ab + b²

गणना:

3t - 1/3t = 3

दोनों ओर वर्ग करने पर

⇒ 9t² + 1/9t² - 2 = 9

⇒ 9t2 + 1/9t2 = 11

प्रश्न के अनुसार,

9t2 + 1/9t2 = 11 का मान विकल्प 3 में रखने पर

⇒ 9t2 + 1/9t2 + 1

⇒ 11 + 1 = 12

∴ सही उत्तर 9t2 + 1/9t2 + 1 है।

दिया गया है:

\(\left( x + \frac{1}{x} \right) = 7\) और x > 0

प्रयुक्त सूत्र:

\((x - \frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 4\)

गणना:

\((x + \frac{1}{x}) = 7\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

⇒ \((x + \frac{1}{x})^2 = 7^2\)

⇒ \((x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) = 49\)

⇒ \(x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 49\)

⇒ \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 47\)

अब सूत्र का उपयोग कीजिए:

⇒ \((x - \frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 4\)

⇒ \((x - \frac{1}{x})^2 = 49 - 4\)

⇒ \((x - \frac{1}{x})^2 = 45\)

दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालने पर:

⇒ \(x - \frac{1}{x} = √{45}\)

⇒ \(x - \frac{1}{x} = 3√{5}\)

\(x - \frac{1}{x}\) का धनात्मक मान 3√5 है।

दिया गया है:

x - (1/x) = (- 6)

प्रयुक्त सूत्र:

यदि x - (1/x) = P है, तो

x + (1/x) = √(P2 + 4) 

यदि x + (1/x) = P है, तो

x3 + (1/x3) = (P3 - 3P)

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

गणना:

x - (1/x) = (- 6)

x + (1/x) = √{(- 6)2 + 4} = √40 = 2√10

इसलिए, x² - 1/x² = (x + 1/x) (x - 1/x) = 2√10 × (-6) = -12√10

और x3 + (1/x3) =  (√40)3 - 3√40

⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10

अब,

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

⇒ {74√10 × (-12√10)} + (- 6)

⇒ - 74 × 12 × (√10 × √10) - 6

⇒ (- 8880) - 6 = - 8886

∴ सही उत्तर - 8886 है।  

दिया गया है:

\(a + \frac{1}{a} = 7\)

प्रयुक्त सूत्र:

(a + 1/a) = P ; तब

(a² + 1/a²) = P² - 2

(a3 + 1/a3) = P³ - 3P

\(a^5 + \frac{1}{a^5} \) = (a² + 1/a²) × (a³ + 1/a³) - (a + 1/a)

गणना:

a + (1/a) = 7

⇒ (a2 + 1/a2) = (7)2 - 2 = 49 - 2 = 47

⇒ (a3 + 1/a3) = (7)3 - (3 × 7) = 343 - 21 = 322

a5 + (1/a5) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

⇒ 47 × 322 - 7

⇒ 15134 - 7 = 15127

 ∴ सही उत्तर 15127 है। 

दिया गया है:

x2 + (1/x2) = 7

प्रयुक्त सूत्र:

x² + (1/x²) = P

तब x + (1/x) = √(P + 2)

और x - (1/x) = √(P - 2)

⇒ x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

गणना:

x2 + (1/x2) = 7

⇒ x + (1/x) = √(7 + 2) = √9

⇒ x + (1/x) = 3

⇒ x - (1/x) = -√(7 - 2)

⇒ x - (1/x) = - √5  {0 < x < 1}

x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 3 × (- √5)

∴ सही उत्तर - 3√5 है।

Mistake Point

कृपया ध्यान दीजिए कि

0 < x < 1

इसलिए,

1/x > 1

इसलिए,

x + 1/x > 1

और

x - 1/x < 0 (क्योंकि 0 < x < 1 और 1/x > 1 इसलिए x - 1/x < 0)

इसलिए,

(x - 1/x)(x + 1/x) < 0

प्रयुक्त सूत्र

(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab

गणना

व्यंजक को 4/7 से गुणा करने पर 

⇒  4/7 × (7b - 1/4b) = 7 × 4/7

⇒  4b - 1/7b = 4

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

⇒ (4b - 1/7b)2 = 42

⇒ \(16 b^2+\frac{1}{49 b^2}\)- 2 × 4 × 1/7 = 16

⇒ \(16 b^2+\frac{1}{49 b^2}\) = 16 + 8/7

⇒ \(16 b^2+\frac{1}{49 b^2}\) = 120/7

मान 120/7 है।

दिया गया है:

x - (1/x) = √6

प्रयुक्त सूत्र:

x⁸ - (1/x⁸) = {x⁴ + (1/x⁴)} × {x² + (1/x²)} × {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

यदि x - (1/x) = a है, तब x + (1/x) = √(a2 + 4)

गणना:

x - (1/x) = √6

x² + (1/x²) = (√6)² + 2 = 8

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

x⁴ + (1/x⁴) = (8)² - 2 = 62

यदि x - (1/x) = a है, तब x + (1/x) = √{(√a)2 + 4}, इस सूत्र का उपयोग करने पर,

x + (1/x) = √{(√6)² + 4} = √10

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x8 - (1/x8) = {x4 + (1/x4)} × {x2 + (1/x2)} × {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 62 × 8 × √10 × √6 = 496 × 2 × √15 = 992√15

∴ सही उत्तर 992√15 है।

दिया गया है:

\(x^{2} - 5x + 1 = 0\)

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि  a + 1/a = b, तो 

a3 + 1/a3 = b3 - 3b

गणना:

x2 - 5x + 1 = 0

⇒ x2 + 1 = 5x

⇒ x + 1/x = 5

अब,

\(\frac{x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}{5x^{3}}\)

⇒ \(\frac{x^{3}+x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}{5}\)   [\(\frac{1}{x^3}\) से विभाजित करने पर]

⇒ \(\frac{5^3 -3\times5+5}{5}\)

⇒ \(\frac{125 - 15 +5}{5}\)

⇒ \(\frac{115}{5}\)

⇒ 23

∴ अभीष्ट उत्तर 23 है।

दिया गया है:

\(\frac{r}{13} + \frac{13}{r} = 1\)

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि x + (1/x) = 1

तब x³ = - 1

गणना:

माना, (r/13) = x

प्रश्न के अनुसार:

⇒ \(\frac{r}{13} + \frac{13}{r} = 1\)

⇒ x + 1/x = 1

तब x3 = - 1

अब, x का मान रखने पर:

⇒ (r/13)3 = - 1

⇒ r³ = - 2197

∴ सही उत्तर -2197 है।

दिया गया है:

x + (1/x) = - 6

प्रयुक्त सूत्र:

यदि x + (1/x) = P, तो

⇒ x2 + (1/x2) = (P2 - 2) 

यदि x + (1/x) = P, तो

⇒ x3 + (1/x3) = P3 - 3P

x5 + (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 + 1/x2} - {x + (1/x)}

गणना:

x + (1/x) = - 6

⇒ x2 + (1/x2) = (- 6)2 - 2

⇒ 36 - 2 = 34

अब,

x + (1/x) = - 6

⇒ x3 + (1/x3) =  (- 6)3 - 3 (- 6)

⇒ (- 216) + 18 = (- 198)

x5 + (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 + 1/x2} - {x + (1/x)}

⇒ (- 198) × 34 - (- 6)

⇒ (- 6732) + 6 = - 6726

∴ सही उत्तर - 6726 है।

दिया गया:

x12 + x9 + x6 + x3 + 1 का मान 

if x + (1/x) = 1

x2 + 1 = x

x2 - x + 1 = 0

(x + 1)(x2 - x + 1) = 0 (x + 1)

(x3 + 13) = 0

x3 = -1

प्रयुक्त सूत्र:

x + 1/x = 1 है, तो x³ = -1

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

x12 + x9 + x6 + x3 + 1

⇒ (x³)⁴ + (x³)³ + (x³)² + (x3) + 1

⇒ (−1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1 

⇒ 1 - 1 + 1  - 1 + 1

⇒ 3 - 2 = 1

∴ x12 + x9 + x6 + x3 + 1 का मान 1 है।