Real and Imaginary parts MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Real and Imaginary parts - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Mar 28, 2025
Latest Real and Imaginary parts MCQ Objective Questions
Real and Imaginary parts Question 1:
\(\sqrt{12+5 i}+\sqrt{12-5 i}\) का मान क्या है, जहाँ \(i=\sqrt{-1}\) ?
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 1 Detailed Solution
प्रयुक्त सूत्र:
(a + b) (a - b) = a2 - b2
i2 = -1
गणना:
माना x =\(\sqrt{12+5 i}+\sqrt{12-5 i}\), जहाँ \(i=\sqrt{-1}\)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
x2 = \({12+5 i}+{12-5 i} +2\sqrt{12+5 i}\sqrt{12-5 i}\)
x2 = \({24} +2\sqrt{144+25}\)
x2 = \({24} +2\sqrt{169}\)
x2 = \(24 +26\)
x2 = \(50\)
x = \(5\sqrt 2\)
Real and Imaginary parts Question 2:
यदि α और β समीकरण 2z² - 3z - 2i = 0 के मूल हैं, जहाँ \(\mathrm{i}=\sqrt{-1}\) है, तो \(\text { 16. } \operatorname{Re}\left(\frac{\alpha^{19}+\beta^{19}+\alpha^{11}+\beta^{11}}{\alpha^{15}+\beta^{15}}\right) \cdot \operatorname{Im}\left(\frac{\alpha^{19}+\beta^{19}+\alpha^{11}+\beta^{11}}{\alpha^{15}+\beta^{15}}\right)\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 2 Detailed Solution
गणना
2z2 - 32 - 2i = 0
⇒ \(2\left(z-\frac{i}{z}\right)=3\)
\(\alpha-\frac{i}{\alpha}=\frac{3}{2}\)
⇒ \(\alpha^{2}-\frac{1}{\alpha^{2}}-2 i=\frac{9}{4}\)
⇒ \(\alpha^{2}-\frac{1}{\alpha^{2}}-2 i=\frac{9}{4}\)
⇒ \(\frac{9}{4}+2 i=\alpha^{2}-\frac{1}{\alpha^{2}}\)
⇒ \(\frac{81}{16}-4+9 i=\alpha^{4}+\frac{1}{\alpha^{4}}-2\)
⇒ \(\frac{49}{16}+9 i=\alpha^{4}+\frac{1}{\alpha^{4}}\)
इसी प्रकार,
⇒ \(\frac{49}{16}+9 i=\beta^{4}+\frac{1}{\beta^{4}}\)
\(\frac{\alpha^{19}+\beta^{19}+\alpha^{11}+\beta^{11}}{\alpha^{15}+\beta^{15}}=\frac{\alpha^{15}\left(\alpha^{4}+\frac{1}{\alpha^{4}}\right)+\beta^{15}\left(\beta^{4}+\frac{1}{\beta^{4}}\right)}{\alpha^{15}+\beta^{15}}\)
⇒ \(\frac{\left(\alpha^{15}+\beta^{15}\right)\left(\frac{49}{16}+9 i\right)}{\left(\alpha^{15}+\beta^{15}\right)}\)
वास्तविक = \(\frac{49}{16}\)
काल्पनिक = 9
\(\text { 16. } \operatorname{Re}\left(\frac{\alpha^{19}+\beta^{19}+\alpha^{11}+\beta^{11}}{\alpha^{15}+\beta^{15}}\right) \cdot \operatorname{Im}\left(\frac{\alpha^{19}+\beta^{19}+\alpha^{11}+\beta^{11}}{\alpha^{15}+\beta^{15}}\right) = 441\)
इसलिए, विकल्प 4 सही है।
Real and Imaginary parts Question 3:
यदि एक सम्मिश्र संख्या \(z\) इस प्रकार है कि \( \frac{z - 2i}{z - 2} \) एक शुद्धतः काल्पनिक संख्या है और \(z\) का बिंदुपथ एक बंद वक्र है, तो उस बंद वक्र द्वारा परिबद्ध और प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 3 Detailed Solution
गणना
दिया गया है:
एक सम्मिश्र संख्या \(z\) इस प्रकार है कि \(\frac{z-2i}{z-2}\) शुद्धतः काल्पनिक है।
माना \(z = x + iy\), जहाँ \(x\) और \(y\) वास्तविक संख्याएँ हैं। तब -
\(\frac{z-2i}{z-2} = \frac{x+iy-2i}{x+iy-2} = \frac{x + i(y-2)}{(x-2) + iy}\)
\(= \frac{(x+i(y-2))((x-2)-iy)}{(x-2)^2 + y^2}\)
\(= \frac{x(x-2) + y(y-2) + i[(y-2)(x-2)-xy]}{(x-2)^2 + y^2}\)
चूँकि \(\frac{z-2i}{z-2}\) शुद्धतः काल्पनिक है, इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
⇒ \(x(x-2) + y(y-2) = 0\)
⇒ \(x^2 - 2x + y^2 - 2y = 0\)
⇒ \((x-1)^2 + (y-1)^2 = 2\)
यह केंद्र \((1, 1)\) और त्रिज्या \(\sqrt{2}\) वाले वृत्त का समीकरण है।
इस वृत्त द्वारा परिबद्ध और प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल वृत्त के कुल क्षेत्रफल का \(\frac{1}{4}\) है।
वृत्त का क्षेत्रफल \(\pi r^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi\) है।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल \(\frac{1}{4}(2\pi) = \frac{\pi}{2}\) है।
अतः विकल्प 2 सही है।
Real and Imaginary parts Question 4:
माना कि z̅ एक सम्मिश्र संख्या z का संयुग्मी है। यदि z एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या है जिसके लिए \((\bar{z})^{2}+\frac{1}{z^{2}}\) के वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक हैं, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से |z| के संभावित मान है?
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 4 Detailed Solution
गणना
माना कि z = r.eiθ
इसलिए, \((\bar{z})^{2}+\frac{1}{z^{2}}=\left(r^{2}+\frac{1}{r^{2}}\right) e^{-2 i \theta}=a+i b(\text { say) }\), जहाँ a, b ∈ Z है।
इसलिए, \(\left(r^{2}+\frac{1}{r^{2}}\right)^{2}=a^{2}+b^{2}\)
\(\Rightarrow r^{8}-\left(a^{2}+b^{2}-2\right) r^{4}+1=0\)
\(\Rightarrow \quad r^{4}=\frac{\left(a^{2}+b^{2}-2\right) \pm \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}-2\right)^{2}-4}}{2}\)
के लिए \(a^{2}+b^{2}=45 \text { (i.e }(a, b)=( \pm 6, \pm 3) \text { or }( \pm 3, \pm 6)\)
हमें प्राप्त होता है, \(r=\left(\frac{43+3 \sqrt{205}}{2}\right)^{1 / 4}\)
इसलिए, विकल्प 1 सही है।
Real and Imaginary parts Question 5:
मान लीजिए z̅ एक सम्मिश्र संख्या z के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाता है और i = √-1 है। सम्मिश्र संख्याओं के समूह में, समीकरण \(\bar{z}-z^{2}=i\left(\bar{z}+z^{2}\right)\) के भिन्न मूलों की संख्या ______ है।
Answer (Detailed Solution Below) 4
Real and Imaginary parts Question 5 Detailed Solution
गणना
दिया गया है \(\bar{z}(1-i)=z^{2}(1+i)\) ---(i)
अतः \(|\bar{z}||1-i|=|z|^{2}|1+i|\)
\(\Rightarrow|z|=|z|^{2} \Rightarrow|z|=0 \text { or }|z|=1\)
मान लीजिए, arg (z) = θ
अतः (i) से हमें प्राप्त होता है
\(2 n \pi-\theta-\frac{\pi}{4}=2 \theta+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{1}{3}\left(\frac{4 n-1}{2}\right) \pi=\frac{(4 n-1) \pi}{6}\)
अतः हमें θ के तीन अलग-अलग मान प्राप्त होंगे।
अतः सम्मिश्र संख्या z के कुल 4 संभावित मान होंगे।
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यदि (2 - i) (x - iy) = 3 + 4i है, तो 5x का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
सम्मिश्र संख्याओं की समानता:
दो सम्मिश्र संख्याएँ z1 = x1 + iy1 और z2 = x2 + iy2 केवल तब बराबर होते हैं यदि x1 = x2 और y1 = y2 होता है।
"या"
Re (z1) = Re (z2) और Im (z1) = Im (z2).
गणना:
दिया गया है:
(2 - i) (x - iy) = 3 + 4i
⇒ 2x - 2iy - ix + i2y = 3 + 4i
⇒ 2x - 2iy - ix - y = 3 + 4i (∵ i2 = -1)
⇒ (2x – y) + i(-x - 2y) = 3 + 4i
वास्तविक और काल्पनिक भाग को बराबर करने पर,
2x - y = 3 ----(1)
-x - 2y = 4 ----(2)
समीकरण 1 और 2 को हल करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
x = \(\frac 2 5\) और y = \(\frac {-11}{5}\)
Now, the value of 5x can be calculated as:
5x = 5 × \(\frac 2 5\) = 2
(sin x + icos x)3 जहाँ \(i=\sqrt{-1}\) का वास्तविक भाग क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
सम्मिश्र संख्याओं पर यूलर का सूत्र:
- eix = cos x + i sin x
- e-ix = cos x - i sin x
गणना:
(sin x + icos x)3
I को उभयनिष्ठ लें, हमें मिलता है
(sin x + icos x)3
= \({{\rm{i}}^3}{\left( {\frac{{\sin {\rm{x}}}}{{\rm{i}}} + {\rm{\;}}\cos {\rm{x}}} \right)^3}\)
= -i × (-i sin x + cos x)3
(∵ i3 = -i और 1/i = -i)
= -i × (cos x - i sin x) 3
\(= {\rm{}} - {\rm{i\;}} \times {\rm{}}{\left( {{{\rm{e}}^{ - {\rm{ix}}}}} \right)^3} \)
\(= {\rm{}} - {\rm{i\;}} \times {\rm{\;}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}3{\rm{x}}}}{\rm{\;}}\)
(∵e-ix = cos x - i sin x)
= -i (cos 3x – i sin 3x)
= (-i cos 3x + i2 sin 3x)
= -sin3x – i cos 3x
∴ वास्तविक भाग = -sin 3x
θ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए \(\rm z=\frac {3-2i\sinθ}{2+i\sinθ}\) विशुद्ध रूप से वास्तविक है।
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 8 Detailed Solution
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माना z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, जहाँ x को एक सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग या Re (z) कहा जाता है और y को सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग या Im (z) कहा जाता है
विशुद्ध रूप से वास्तविक के लिए स्थिति: शून्य के बराबर काल्पनिक भाग।
विशुद्ध रूप से काल्पनिक के लिए स्थिति: शून्य के बराबर वास्तविक भाग।
गणना:
\(\rm z=\frac {3-2i\sinθ}{2+i\sinθ}\)
अंश और हर को 2 + i sin θ द्वारा गुणा करने पर
\(\rm⇒ z=\frac{3-2isinθ}{2+isinθ}\times \frac{2-isinθ}{2-isinθ}\)
\(\rm =\frac{6-3isinθ-4isinθ+2i^2sin^2θ}{4-i^2sin^2θ}\)
\(\rm =\frac{6-7isinθ-2sin^2θ}{4+sin^2θ}\) (∵ i2 = -1)
\(\rm⇒ z=\frac{6+2sin^2θ}{4+sin^2θ}+\frac{-isinθ}{4+sin^2θ}\)
z का काल्पनिक भाग
\(\rm ⇒ Im(z)=\frac{-7\sin θ}{4+\sin^2θ}\)
z के लिए विशुद्ध रूप से वास्तविक होने के लिए Im(z) = 0 है
\(\therefore \frac{-7\sinθ}{4+\sin^2θ}=0\)
⇒ sin θ = 0
तो, θ = nπ, जहां n पूर्णांक से संबंधित है
सम्मिश्र संख्या \(\rm \frac{10}{1-i}\) का कोणांक ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 9 Detailed Solution
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माना z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।
- z का मापांक = \(\rm \left | z \right |= \sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
- Arg (z) = Arg (x + iy) = \(\rm tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )\)
गणना:
माना \(\rm z=\frac{10}{1-i}\)
अंश और हर को 1 + i से गुणा करने पर
\(\rm \Rightarrow z =\frac{10}{1-i}\times \frac{1+i}{1+i}\)
\(\rm =\frac{10(1+i)}{1-i^2}\)
\(\rm =\frac{10(1+i)}{2}\)
= 5 + 5i
\(\rm \Rightarrow arg(z)=tan^{-1}(5/5)\)
\(\rm \therefore arg(z)=\frac{\pi}{4}\)
इसलिए, विकल्प 4 सही है।
यदि एक सम्मिश्र संख्या z = (2x - 3y) + i(x2 - y2) = 0 है, तो Re{z} =?
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 10 Detailed Solution
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सम्मिश्र संख्या:
- एक सम्मिश्र संख्या a + ib रूप की एक संख्या है, जहां a और b वास्तविक संख्याएं हैं और i, i = \(\rm \sqrt{-1}\) द्वारा परिभाषित सम्मिश्र इकाई है।
- 'a' को वास्तविक भाग Re {z} कहा जाता है और b को काल्पनिक भाग Im{z} कहा जाता है।
- यदि z1 = z2, तो Re{z1} = Re{z2} और Im{z1} = Im{z2} है।
- संख्या 0 को निम्न रूप में लिखा जा सकता है: 0 + i0
गणना:
चूंकि, z = (2x - 3y) + i(x2 - y2) = 0, इसका मतलब है कि z के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग 0 के बराबर हैं।
यानी Re{z} = 2x - 3y = 0
यदि 2x2 + (x2 - y)i = (8 - 3i) है तो x और y के मान ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 11 Detailed Solution
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सम्मिश्र संख्याओं की समानता:
दो सम्मिश्र संख्याएँ z1 = x1 + iy1 और z2 = x2 + iy2 बराबर होते हैं यदि केवल x1 = x2 और y1 = y2 होते हैं।
या Re (z1) = Re (z2) और Im (z1) = Im (z2)
गणना:
दिया गया है कि 2x2 + (x2 - y)i = (8 - 3i)
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना,
⇒ 2x2 = 8
⇒ x2 = 4
⇒ x = -2, 2
और, x2 - y = -3
⇒ 4 - y = -3 [∵ x2 = 4]
⇒ y = 7
इसलिए, विकल्प (3) सही है।सम्मिश्र संख्या \(z=\frac{1-i}{i}\) का वास्तविक और काल्पनिक भाग ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
सम्मिश्र संख्या की समरूपता।
दो सम्मिश्र संख्या z1 = x1 + iy1 और z2 = x2 + iy2 समान हैं यदि और केवल यदि x1 = x2 और y1 = y2
या Re (z1) = Re (z2) और Im (z1) = Im (z2)।
गणना:
\(\Rightarrow z=\frac{1-i}{i}\)
अंश और हर में i द्वारा गुणा करने पर
\(\Rightarrow z=\frac{1-i}{i}\times \frac{i}{i}\)
\(=\frac{i-i^2}{i^2}\)
\(=\frac{i+1}{-1}\)
\(=-1-i\)
Re(z) = -1
Im(z) = -1
इसलिए, विकल्प 4 सही है
यदि \(\rm x + iy = \dfrac{3+4i}{2-i}\) है जहाँ \(\rm i = \sqrt{-1}\) है, तो y का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
सम्मिश्र संख्याओं की समानता:
दो सम्मिश्र संख्याएँ z1 = x1 + iy1 और z2 = x2 + iy2 केवल तब बराबर होते हैं यदि x1 = x2 और y1 = y2 होता है।
या Re (z1) = Re (z2) और Im (z1) = Im (z2).
गणना:
दिया गया है: \(\rm x + iy = \dfrac{3+4i}{2-i}\)
\(⇒ \rm x + iy = \dfrac{3+4i}{2-i}\times\dfrac{2+i}{2+i}\)
\(⇒ \rm x + iy = \dfrac{6+11i+4i^2}{4-i^2}\)
चूँकि हम जानते हैं i2 = -1
\(⇒ \rm x + iy = \dfrac{6+11i-4}{4+1}\)
\(⇒ \rm x + iy = \dfrac{2+11i}{5} = \dfrac 25+i \dfrac{11}{5}\)
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
\(\rm x= \dfrac 2 5 \; and \;y = \dfrac {11}{5}\)
एक स्वेच्छित सम्मिश्र संख्या Z के संबंध में निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
1. Z और इसके संयुग्म का अंतर एक काल्पनिक संख्या है।
2. Z और इसके संयुग्म का योग एक वास्तविक संख्या है।
नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर सही उत्तर चुनिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है,
जहाँ x सम्मिश्र संख्या या Re (z) का वास्तविक भाग है और y को सम्मिश्र संख्या या Im (z) का काल्पनिक भाग कहा जाता है।
z का संयुग्म = z̅ = x - iy
गणना:
1. Z और इसके संयुग्म का अंतर एक काल्पनिक संख्या है।
माना कि z = a + ib है। ....(i)
z का संयुग्म = z̅ = a - ib ....(ii)
समीकरण(i) - समीकरण (ii)
z - z̅ = a + ib - a + ib
⇒ 2ib
इसलिए यह स्पष्ट है कि z और इसके संयुग्म का अंतर एक काल्पनिक संख्या है।
2. Z और इसके संयुग्म का योग एक वास्तविक संख्या है।
समीकरण (i) + समीकरण (ii)
z + z̅ = a + ib + a - ib
⇒ 2a
इसलिए यह स्पष्ट है कि Z और इसके संयुग्म का योग एक वास्तविक संख्या है।
अतः 1 और 2 दोनों सही हैं।
यदि \(\rm A + iB = \dfrac{4+2i}{1-2i}\) ,जहां \(\rm i = \sqrt{-1}\), तो A का मूल्य क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Real and Imaginary parts Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
माना कि A = x1 + iy1 और B = x2 + iy2
यदि A = B तो x1 = x2 और y1 = y2
गणना:
दिया हुआ \(\rm A + iB = \dfrac{4+2i}{1-2i}\)
⇒\(\rm A + iB = \dfrac{4+2i}{1-2i}\times\dfrac{1+2i}{1+2i}\)
⇒ \(\rm A + iB = \dfrac{4+10i+4i^2}{1-4i^2}\)
हम जानते हैं कि i2 = -1
⇒\(\rm A + iB = \dfrac{4+10i-4}{1+4}\)
⇒\(\rm A + iB = \dfrac{10i}{5}\)
⇒A + iB = 2i
⇒ A + iB = 0 + 2i
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करके हम निम्न प्राप्त करते हैं
⇒A = 0