Modulus of Complex Number MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Modulus of Complex Number - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

\(\rm \frac{1}{2}+Re\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right) = \frac{1}{2}+ Re (\frac{\omega }{\omega^2})\)

= \(\frac{1}{2}Re(\omega)^2\)

= \(\frac{1}{2}+ Re [ -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}i\)

= \(\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = 0\)

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

\(\rm Z_1^2+Z_2^2+Z_1Z_2=0\)

⇒ Z ₁ = ω और Z ₂ = ω ²

अब

⇒ \(|\frac{Z_1}{Z_2}| =| \frac{\omega }{(\omega)^2}| =|\frac{1}{\omega}| = 1\)

विकल्प (a) सही है।

स्पष्टीकरण:

दिया गया है,

\(\rm z=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}i&2i&1\\\ 2i&3i&2\\\ 3&1&3\end{vmatrix}\)

\(Z = \frac{1}{3}[[ (i9 – 2) – 2i (6i – 6) 1(2i – 9i)]\)

\(Z = \frac{1}{3}[3+3i] =1 + i \)

|Z| = \(√{1^2+1^2} =\) √2

∴ विकल्प (b) सही है।

संकल्पना:

यदि z = a + ib, |z| = \(\sqrt{a^2\,+\,b^2}\)

यदि z = a + ib, \(\frac{1}{z}\) = \(\frac{a \,-\,ib}{{a^2\,+\,b^2}}\) 

|z₁z₂| = |z₁| × |z₂|

गणना:

दिया गया है: z1 = 1 - 2i , z2 = 1 + i और z3 = 3 + 4i

∴ \(\frac{1}{z_{1}}\) = \(\frac{1\,+\,2i}{{1^2\,+\,2^2}}\) = \(\frac{1\,+\,2i}{{5}}\)

इसी प्रकार,  \(\frac{2}{z_{2}}\) = 2 ×  \(\frac{1}{z_{2}}\)  = 2 × \(\frac{1\,-\,i}{{1^2\,+\,1^2}}\) = 2 ×  \(\frac{1\,-\,i}{{2}}\) = (1 - i)

\(\frac{2}{z_{2}}\) = (1 - i)

⇒ \(\frac{1}{z_{2}} \) = \(\frac{1-i}{2}\)

\(\frac{z_3}{z_2}\) = z₃ × \(\frac{1}{z_{2}} \)  = (3 + 4i) × \(\frac{1-i}{2}\)

⇒ \(\frac{z_3}{z_2}\) =  \(\frac{7+i}{2}\)

हमें \(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)\frac{{z_3}}{{z_2}}} \right| \) ज्ञात करना है। 

\(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)\frac{{z_3}}{{z_2}}} \right| \) = \(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)} \right| \)× \(\left | \frac{z_3}{z_2} \right|\)

=  \(\left| {\left( {\frac{1\,+\,2i}{{5}} + (1-i)}\right)} \right|\) × \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\Big|\frac{1+2i+5-5i}{5}\Big|\) × \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\Big|\frac{6-3i}{5}\Big|\) × \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\frac{\sqrt{6^2+(-3)^2}}{5} \times \frac{\sqrt{7^2+1^2}}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{36+9}}{5} \times \frac{\sqrt{49+1}}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{45}}{5} \times \frac{\sqrt{50}}{2} =\frac{\sqrt{45}}{5} \times \frac{5\sqrt2}{2}\)

=  \(\frac{\sqrt{45} \times \sqrt2}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{45} }{\sqrt2}\) 

= \(\sqrt \frac{45}{2} \)

मान ज्ञात करने पर, हमें \(\sqrt \frac{45}{2} \) प्राप्त होता है।

संकल्पना

सम्मिश्र संख्या का सामान्य रुप z = x + iy है। z का ध्रुवीय निरुपण z = r(cos θ + i sin θ) है।

यहाँ r, z का मापांक है और θ को आयाम या सम्मिश्र संख्या का स्वतंत्र चर है।

सम्मिश्र संख्या का आयाम ढूँढने के लिए सूत्र निम्न है: 

 \(\displaystyle \theta =tan^{-1}\frac{y}{x}\) और ∣z∣ = \(\sqrt {x^2+y^2}\)

गणना

दिया गया है:

|z| = 4 और arg z = \(\displaystyle \frac{5π}{6}\)

माना कि z = |z| (cos θ + i sin θ) जहाँ θ = arg(z)

⇒ z = \(\displaystyle 4\left(cos\frac{5\pi}{6}+i \ sin\frac{5\pi}{6}\right)\)

⇒ z = \(\displaystyle 4\left(\frac{-√3}{2}+i \ \frac{1}{2}\right)\)

⇒ z = - 2√3 + 2i

∴ z = - 2√3 + 2i

संकल्पना:

z का मापांक = |z| = \(\rm \sqrt {x^2+y^2} = \sqrt {Re (z)^2+Im (z)^2}\)

गणना:

माना कि \(\rm z= x + iy = \dfrac{4+2i}{1-2i}\)

\(\rm = \dfrac{4+2i}{1-2i}\times\dfrac{1+2i}{1+2i}\)

\(\rm= \dfrac{4+10i+4i^2}{1-4i^2}\)   

चूँकि हम जानते हैं i2 = -1

\(\rm = \dfrac{4+10i-4}{1+4}\)

\(\rm x + iy =\dfrac{10i}{5} = 0 + 2i\)

चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को |z| = \(\rm \sqrt{x^2+y^2}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

∴ |z| = \(\rm \sqrt{0^2+2^2} = 2\)

अवधारणा;

एक सम्मिश्र संख्या z = x + iy का मापांक इसके द्वारा दिया गया है:

|z| = \(\rm \sqrt{x^2 + y^2}\)

(a + b)(a - b) = a2 - b2

गणना:

यदि z = \(\rm \frac{z_1}{z_2}\) तो |z| का मापांक | = \(\rm \frac{|z_1|}{|z_2|}\)

z = \(\rm \frac {1+i}{1+\sqrt3 i}\)

|z| = \(\rm \frac {\sqrt {(1)^2 + (1)^2}}{\sqrt {(1)^2 + (\sqrt 3)^2}} = \frac{\sqrt 2}{2} = \frac {1}{\sqrt 2}\)

संकल्पना:

माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, जहाँ x को सम्मिश्र संख्या या Re (z) का वास्तविक भाग कहा जाता है और y को सम्मिश्र संख्या या Im (z) का काल्पनिक भाग कहा जाता है। 

z का मापांक​ = |z| = \(\rm \sqrt {x^2+y^2} = \sqrt {Re (z)^2+Im (z)^2}\)

गणना:

माना कि \(\rm z = x+iy =\left(\frac{1+i}{1-i} - \frac{1-i}{1+i}\right)\)

\(\rm =\frac{(1+i)^2-(1-i)^2}{1^2-i^2}\\=\frac{1+2i+i^2-1+2i-i^2}{1+1}\\=\frac{4i}{2}=2i\)

z = x + iy = 0 + 2i

चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को, |z| = \(\rm \sqrt{x^2 + y^2}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

∴ |z| = \(\rm \sqrt{0^2+2^2} = 2\)

अवधारणा:

iota घात:

• i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1
• रूप 2n की संख्या हमेशा सम होती है, n ∈ N
• 2n +1 या 2n-1 के रूप की संख्या हमेशा विषम होती है, n ∈ N
• (-a)^{2n -1} = -(a)^{2n -1}

गणना​:

माना,

Z = i2n + 1(-i)2n - 1

⇒ Z = i2n+1 × (i)2n-1 × (-1)2n-1

⇒ Z =  i2n +1+2n-1 ×(-1)2n-1

⇒ Z = i4n × (-1)          [∵ (-1)2n-1 = -1]

⇒ Z = (-1)4n ×

⇒ Z = i4n × (-1)

⇒ Z = -(i)4n × (-1)

⇒  Z = 1 × (-1)         [∵ i4n = 1] 

⇒ Z = -1

⇒ |Z| = |-1| = 1

अत: सम्मिश्र संख्या i2n + 1(-i)2n - 1 का मापांक 1 है

अवधारणा;

एक सम्मिश्र संख्या z = x + iy का मापांक इसके द्वारा दिया गया है:

|z| = \(\rm \sqrt{x^2 + y^2}\)

(a + b)(a - b) = a2 - b2

गणना:

दिया गया: z = \(\rm \frac {5- 5i}{3 - 4i}\)

(3 + 4i) द्वारा हर में और अंश में गुणा करें।

z = \(\rm (\frac {5- 5i}{3 - 4i}) \times (\frac{3 + 4i}{3 + 4i})\) = \(\rm 5[\frac {(1- i)(3+4i)}{(3)^2 - (4i)^2}]\) = \(\rm 5(\frac{3 + 4i - 3i - 4i^2}{25})\)                   (∵ i² = -1)

z = \(\rm \frac {7 + i}{5}\)

|z| = \(\rm \frac{\sqrt{(7)^2 + (1)^2}}{5}= \frac{\sqrt{49 +1}}{5} = \frac{√{50}}{5} = \frac{5√2}{5}\)

|z| = √2

यदि z = \(\rm \frac{z_1}{z_2}\) तो |z| का मापांक | = \(\rm \frac{|z_1|}{|z_2|}\)

z = \(\rm \frac {5- 5i}{3 - 4i}\)

|z| = \(\rm \frac {\sqrt {(5)^2 + (5)^2}}{\sqrt {(3)^2 + (4)^2}} = \frac{√50}{√25} = \frac {5√2}{5}\)

|z| = √2

संकल्पना:

माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, जहाँ x को सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग या Re (z)  कहा जाता है और y को सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग या Im (z) कहा जाता है। 

z का मापांक = |z| = \(\rm \sqrt {x^2+y^2} = \sqrt {Re (z)^2+Im (z)^2}\)
 

गणना:

माना कि z = x + iy = (1 + i)² = 1² + 2i + i² है।      (∵ (a + b)² = a² + b² + 2ab)

z = 1 + 2i - 1                                (∵ i² = -1)

∴ z = x + iy = 2i

इसलिए, x = 0  और y = 2

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि z = x + iy कोई सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है, |z| = \(\rm \sqrt{x^2+y^2}\)

∴ |z| = \(\rm \sqrt{(0)^2+{2}^2} = \sqrt 4 = 2\) 

अवधारणा :

• i2 = - 1
• यदि z = x + iy तब \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)​ 

गणना :

दिया गया: z = (1 - i)4

पहले अभिव्यक्ति (1 - i)4 को सरल करें

⇒ (1 - i)2 = 1 + i2 - 2i

जैसा कि हम जानते हैं कि, i2 = - 1

⇒ (1 + i)2 = -2i

Since (1 - i)4 = (1 - i)2 × (1 - i)2 we get:

⇒ (1 + i)4 = (-2i)2 = - 4

⇒ z = - 4 + 0i

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि z = x + iy तो \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

यहाँ, x = - 4 और y = 0

⇒ \(|z| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \pm 4\)

जैसा कि हम जानते हैं कि |z| आरगां समतल में मूल और z के बीच की दूरी को दर्शाता है। तो, |z| ऋणात्मक नहीं हो सकता

⇒ |z| = 4

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

अवधारणा:

एक सम्मिश्र संख्या z = x + iy का मापांक निम्न है

|z| = \(\rm \sqrt{x^2+y^2}\)

\(\rm \overline z\)  का संयुग्म = x - iy

गणना:

z = 1+ 2i

\(\rm \overline z\)= 1 - 2i

S = \(\rm\left| z + \overline z +1\over z + \overline z -1\right|\)

S = \(\rm\left| 1+2i+1-2i+1\over 1+2i+1-2i -1\right|\)

S = \(\rm\left| 3\over 1\right|\) 

S = 3

Concept:

If z = a + ib, then |z| = \(\rm \sqrt{a^2 + b^2}\)

Solution:

The given equation can be solved as:

iz3 + z2 - z + i = 0

⇒ iz3 + i2z + z2 + i = 0

⇒ iz(z2 + i) + (z2 + i) = 0

⇒ (z2 + i)(zi + 1) = 0

⇒ z2 + i = 0 OR zi + 1 = 0

⇒ z2 = -i OR z = i

|z| = 1 in both the cases.

संकल्पना: 

सम्मिश्र संख्या का मापांक  z =  a + ib इसके |z| = \(\rm \sqrt{a^{2}+ b^{2}}\)  द्वारा दिया जाता  है।

सम्मिश्र संख्या का गुणधर्म:

\(\rm \left|\frac {z_1}{z_2}\right| = \frac {|z_1|}{|z_2|}\)

गणना:

माना कि z = \(\rm \frac {\cos \theta - i \sin \theta}{\cos \theta + i \sin \theta}\)

दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,हमें मिलता है

⇒ |z| = \(\rm \left|\frac {\cos θ - i \sin θ}{\cos θ + i \sin θ}\right|\)

= \(\rm \frac {|\cos θ - i \sin θ|}{|\cos θ + i \sin θ|}\)

= \(\rm \frac {\sqrt {\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}}{\sqrt {\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}}\)

= 1