Properties of Complex Numbers MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Complex Numbers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

\(\rm \frac{1}{2}+Re\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right) = \frac{1}{2}+ Re (\frac{\omega }{\omega^2})\)

= \(\frac{1}{2}Re(\omega)^2\)

= \(\frac{1}{2}+ Re [ -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}i\)

= \(\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = 0\)

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

\(\rm Z_1^2+Z_2^2+Z_1Z_2=0\)

⇒ Z ₁ = ω और Z ₂ = ω ²

अब

⇒ \(|\frac{Z_1}{Z_2}| =| \frac{\omega }{(\omega)^2}| =|\frac{1}{\omega}| = 1\)

विकल्प (a) सही है।

स्पष्टीकरण:

दिया गया है,

\(\rm z=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}i&2i&1\\\ 2i&3i&2\\\ 3&1&3\end{vmatrix}\)

\(Z = \frac{1}{3}[[ (i9 – 2) – 2i (6i – 6) 1(2i – 9i)]\)

\(Z = \frac{1}{3}[3+3i] =1 + i \)

|Z| = \(√{1^2+1^2} =\) √2

∴ विकल्प (b) सही है।

गणना

^{\(z_{1}=\sqrt{3}+2 \sqrt{2} i \quad \& \frac{\left|z_{2}\right|}{\left|z_{1}\right|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)}

दिया गया arg \(\left(\frac{z_{2}}{z_{1}}\right)=\frac{\pi}{6}\)

\(z_{2}=\frac{\left|z_{2}\right|}{\left|z_{1}\right|} \cdot z_{1} e^{i\left(\frac{\pi}{6}\right)}\)

⇒ \(z_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{(\sqrt{3}+2 \sqrt{2} i)(\sqrt{3}+i)}{2}\)

⇒ \(\mathrm{z}_{2}=\frac{(3-2 \sqrt{2})+\mathrm{i}(2 \sqrt{6}+\sqrt{3})}{2 \sqrt{3}}\)

अब,

\(z_{1}-z_{2}=\frac{(3+2 \sqrt{2})+i(2 \sqrt{6}-\sqrt{3})}{2 \sqrt{3}}\)

|z₁ - z₂| = |z₂| ⇒ ΔABO समद्विबाहु है जिसके कोण हैं

\(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6} \ \& \ \frac{2 \pi}{3}\)

इसलिए विकल्प 4 सही है

संकल्पना:

यदि z = a + ib, |z| = \(\sqrt{a^2\,+\,b^2}\)

यदि z = a + ib, \(\frac{1}{z}\) = \(\frac{a \,-\,ib}{{a^2\,+\,b^2}}\) 

|z₁z₂| = |z₁| × |z₂|

गणना:

दिया गया है: z1 = 1 - 2i , z2 = 1 + i और z3 = 3 + 4i

∴ \(\frac{1}{z_{1}}\) = \(\frac{1\,+\,2i}{{1^2\,+\,2^2}}\) = \(\frac{1\,+\,2i}{{5}}\)

इसी प्रकार,  \(\frac{2}{z_{2}}\) = 2 ×  \(\frac{1}{z_{2}}\)  = 2 × \(\frac{1\,-\,i}{{1^2\,+\,1^2}}\) = 2 ×  \(\frac{1\,-\,i}{{2}}\) = (1 - i)

\(\frac{2}{z_{2}}\) = (1 - i)

⇒ \(\frac{1}{z_{2}} \) = \(\frac{1-i}{2}\)

\(\frac{z_3}{z_2}\) = z₃ × \(\frac{1}{z_{2}} \)  = (3 + 4i) × \(\frac{1-i}{2}\)

⇒ \(\frac{z_3}{z_2}\) =  \(\frac{7+i}{2}\)

हमें \(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)\frac{{z_3}}{{z_2}}} \right| \) ज्ञात करना है। 

\(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)\frac{{z_3}}{{z_2}}} \right| \) = \(\left| {\left( {\frac{1}{{z_1}} + \frac{2}{{z_2}}}\right)} \right| \)× \(\left | \frac{z_3}{z_2} \right|\)

=  \(\left| {\left( {\frac{1\,+\,2i}{{5}} + (1-i)}\right)} \right|\) × \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\Big|\frac{1+2i+5-5i}{5}\Big|\) × \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\Big|\frac{6-3i}{5}\Big|\) × \(\Big|\frac{7+i}{2}\Big|\)

= \(\frac{\sqrt{6^2+(-3)^2}}{5} \times \frac{\sqrt{7^2+1^2}}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{36+9}}{5} \times \frac{\sqrt{49+1}}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{45}}{5} \times \frac{\sqrt{50}}{2} =\frac{\sqrt{45}}{5} \times \frac{5\sqrt2}{2}\)

=  \(\frac{\sqrt{45} \times \sqrt2}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{45} }{\sqrt2}\) 

= \(\sqrt \frac{45}{2} \)

मान ज्ञात करने पर, हमें \(\sqrt \frac{45}{2} \) प्राप्त होता है।

संकल्पना:

i² = -1

i³ = - i

i⁴ = 1

i⁴ⁿ = 1

गणना:

हमें (i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) का मान ज्ञात करना है

(i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) = (i² + i⁴) + (i⁶ + i⁸) + …. + (i^2n-2 + i²ⁿ)

= (-1 + 1) + (-1 + 1) + …. (-1 + 1)

= 0 + 0 + …. + 0

= 0

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्याओं की समानता। 

दो सम्मिश्र संख्याएँ z₁ = x₁ + iy₁ और z₂ = x₂ + iy₂ बराबर होते हैं यदि केवल x₁ = x₂ और y₁ = y₂ होते हैं।

या Re (z₁) = Re (z₂) और Im (z₁) = Im (z₂).

गणना:

दिया गया है: (1 + i) (x + iy) = 2 + 4i

⇒ x + iy + ix + i²y = 2 + 4i

⇒ (x – y) + i(x + y) = 2 + 4i

वास्तविक और काल्पनिक भाग को बराबर करने पर,

x - y = 2         …. (1)

x + y = 4        …. (2)

समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = 3

अब,

5x = 5 × 3 = 15

संकल्पना:

z का मापांक = |z| = \(\rm \sqrt {x^2+y^2} = \sqrt {Re (z)^2+Im (z)^2}\)

गणना:

माना कि \(\rm z= x + iy = \dfrac{4+2i}{1-2i}\)

\(\rm = \dfrac{4+2i}{1-2i}\times\dfrac{1+2i}{1+2i}\)

\(\rm= \dfrac{4+10i+4i^2}{1-4i^2}\)   

चूँकि हम जानते हैं i2 = -1

\(\rm = \dfrac{4+10i-4}{1+4}\)

\(\rm x + iy =\dfrac{10i}{5} = 0 + 2i\)

चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को |z| = \(\rm \sqrt{x^2+y^2}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

∴ |z| = \(\rm \sqrt{0^2+2^2} = 2\)

संकल्पना:

माना z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।
• z का संयुग्म = x – iy

गणना:

माना z = (i - i2)3

⇒ z = i3 (1 - i) 3  = - i (1 - i)³

संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।

⇒ z̅  =  -(- i) (1 - (- i))³

⇒ z̅  =  i(1 + i)³

(a + b) 3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 का उपयोग करना

⇒ z̅  =  i(1 + i3 +3 ×12 × i + 3 × i2 × 1 ) 

⇒ z̅  =  i(1 - i + 3i - 3) 

⇒ z̅  =  i(-2 + 2i)

⇒ z̅  = -2i + 2i2

⇒ z̅  = -2 - 2 i

इसलिए,  (i - i2)3 का संयुग्म -2 - 2i है

संकल्पना:

माना कि z = x + iy सम्मिश्र संख्या है। 

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• z का संयुग्म = z̅ = x – iy

गणना:

दी गयी सम्मिश्र संख्या z = \(\rm 3i+4\over2-3i\) है। 

z = \(\rm {3i+4\over2-3i}\times{2+3i\over2+3i}\)

z = \(\rm 6i+8-9+12i\over2^2-(3i)^2\)

z = \(\rm 18i-1\over13\)

z = \(\rm {-1\over13}+{18\over13}i\)

z का संयुग्म = (z̅) = \(\rm {-1\over13}-{18\over13}i\)

अवधारणा;

एक सम्मिश्र संख्या z = x + iy का मापांक इसके द्वारा दिया गया है:

|z| = \(\rm \sqrt{x^2 + y^2}\)

(a + b)(a - b) = a2 - b2

गणना:

यदि z = \(\rm \frac{z_1}{z_2}\) तो |z| का मापांक | = \(\rm \frac{|z_1|}{|z_2|}\)

z = \(\rm \frac {1+i}{1+\sqrt3 i}\)

|z| = \(\rm \frac {\sqrt {(1)^2 + (1)^2}}{\sqrt {(1)^2 + (\sqrt 3)^2}} = \frac{\sqrt 2}{2} = \frac {1}{\sqrt 2}\)

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्याओं की समानता:

दो सम्मिश्र संख्याएँ z1 = x1 + iy1 और z2 = x2 + iy2 केवल तब बराबर होते हैं यदि x1 = x2 और y1 = y2  होता है। 

"या" 

Re (z1) = Re (z2) और Im (z1) = Im (z2).

गणना:

दिया गया है:

(2 - i) (x - iy) = 3 + 4i

⇒ 2x - 2iy - ix + i2y = 3 + 4i

⇒ 2x - 2iy - ix - y = 3 + 4i                 (∵ i² = -1)

⇒ (2x – y) + i(-x - 2y) = 3 + 4i

वास्तविक और काल्पनिक भाग को बराबर करने पर,

2x - y = 3      ----(1)

-x - 2y = 4       ----(2)

समीकरण 1 और 2 को हल करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = \(\frac 2 5\) और y = \(\frac {-11}{5}\)

Now, the value of 5x can be calculated as:

5x = 5 × \(\frac 2 5\) = 2

अवधारणा:

z = x + iy

arg (z) = arg (x + iy) = tan^-1(y/x)

इसलिए, तर्क θ को इस प्रकार दर्शाया गया है:

θ = tan^-1 (y/x)

tan( \(\rm \frac{\pi}{2}\)) = अनंत

आयोटा की घात, i² = -1

गणना:

माना कि z  = \(\rm \left ( \frac{i}{5} + \frac{5}{i} \right )\)

z = \(\rm \frac{i}{5} + \frac{5i}{i^{^{2}}}\)

z = \(\rm \frac{i}{5} - 5i\) = \(\rm \frac{-24}{5}\)i

इसलिए, arg (z) = tan^-1 \(\rm \left ( \frac{-24/5}{0} \right )\)

= - tan-1 \(\infty\) = -\(\rm \frac{\pi}{2}\)

Mistake Pointsविकल्प (3) यहाँ गलत है क्योंकि यहाँ चतुर्थांश भी महत्वपूर्ण है। जटिल तल में, यह ऋणात्मक काल्पनिक अक्ष पर स्थित होता है। चूँकि धनात्मक वास्तविक अक्ष से वामावर्त गति ऋणात्मक है, तर्क का सही मान  -π/2 होगा

संकल्पना:

माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, जहाँ x को सम्मिश्र संख्या या Re (z) का वास्तविक भाग कहा जाता है और y को सम्मिश्र संख्या या Im (z) का काल्पनिक भाग कहा जाता है। 

z का मापांक​ = |z| = \(\rm \sqrt {x^2+y^2} = \sqrt {Re (z)^2+Im (z)^2}\)

गणना:

माना कि \(\rm z = x+iy =\left(\frac{1+i}{1-i} - \frac{1-i}{1+i}\right)\)

\(\rm =\frac{(1+i)^2-(1-i)^2}{1^2-i^2}\\=\frac{1+2i+i^2-1+2i-i^2}{1+1}\\=\frac{4i}{2}=2i\)

z = x + iy = 0 + 2i

चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को, |z| = \(\rm \sqrt{x^2 + y^2}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

∴ |z| = \(\rm \sqrt{0^2+2^2} = 2\)

गणना:

माना कि z = \(\rm {1 + i\over1- i}\) है। 

अंश और हर दोनों को 1 + i  से गुणा करने पर 

z = \(\rm {1 + i\over1- i}\times{1 + i\over1+ i}\)

z = \(\rm (1+i)^2\over1^2-i^2\)

z = \(\rm 1+2i+i^2\over1+1\)

z = \(\rm 2i\over2\)= i