सर्वसमिकाएँ MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

यदि x + 1/x = √7, तो x³ + 1/x³ का मान ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

यदि x + 1/x = a, तो x³ + 1/x³ = a³ - 3a है। 

गणना:

यहाँ, a = √7

⇒ x³ + 1/x³ = (√7)³ - 3(√7)

⇒ x³ + 1/x³ = (7√7) - 3√7

⇒ x³ + 1/x³ = 4√7

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

प्रयुक्त सूत्र:

गणना:

माना, a = 0.2 और b = 0.04

अंश =

हर के पद: 0.4 = 2a, 0.08 = 2b

हर =

भिन्न =

व्यंजक =

व्यंजक = 1 + 9

व्यंजक = 10

इसलिए, व्यंजक का सरलीकृत मान 10 है।

दिया गया:

व्यंजक = (a + b) ³

प्रयुक्त सूत्र:

(x + y) ⁿ के लिए द्विपद विस्तार सूत्र

गणना:

(a + b)3 = (a + b) × (a + b) × (a + b)

⇒ (a + b)3 = (a2 + 2ab + b2) × (a + b)

⇒ (a + b)3 = a × (a2 + 2ab + b2) + b × (a2 + 2ab + b2)

⇒ (a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

⇒ (a + b)3 = a3 + (2a2b + a2b) + (ab2 + 2ab2) + b3

⇒ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

⇒ (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

∴ (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

यदि x + 1 / x = 15 है, तो x² + 1 / x² का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दोनों पक्षों का वर्ग करें:

(x + 1 / x)2 = 152

x2 + 2 × (1 / x) × x + 1 / x2 = 225

x2 + 2 + 1 / x2 = 225

x2 + 1 / x2 = 225 - 2

x2 + 1 / x2 = 223

∴ x² + 1 / x² का मान 223 है।

दिया गया है:

प्रयुक्त सूत्र:

a³ + b³ = (a + b)(a² + b² - ab)

हल:

1/(a + b) = (a2 + b2 - ab)/(a3 + b3)

प्रश्न के अनुसार,

⇒ 1/(375 + 125)

⇒ 1/500

∴ सही उत्तर 1/500 है।

दिया गया है:

x - 1/x = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

गणना:

x3 - 1/x3 = (x - 1/x)3 + 3 × x × 1/x × (x - 1/x)

⇒ (x - 1/x)3 + 3(x - 1/x)

⇒ (3)3 + 3 × (3)

⇒ 27 + 9 = 36

∴ x³ - 1/x³ का मान 36 है।

Alternate Methodयदि x - 1/x = a है, तब x3 - 1/x3 = a3 + 3a

यहाँ a = 3

x - 1/x3 = 33 + 3 × 3

= 27 + 9

= 36

दिया गया है:

x = √10 + 3

प्रयुक्त सूत्र: 

a² - b² = (a + b)(a - b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

गणना:

⇒ 1/x = √10 - 3

     ----(1)

(1) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

    -----(2)

∴ अभीष्ट मान 234 है

 Shortcut Trickदिया गया है:

x = √10 + 3
प्रयुक्त सूत्र:

⇒ 

गणना:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒  

⇒ 

⇒ 

∴ अभीष्ट मान 234 है

दिया गया है:

p – 1/p = √7

सूत्र:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)

गणना:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3 (p – 1/p)

⇒ p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 7√7 + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 10√7

Shortcut Trick

x - 1/x = a, तब x³ - 1/x³ = a³ + 3a

यहाँ, a = √7

अत:,

p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7

दिया गया है:

x - (1/x) = (- 6)

प्रयुक्त सूत्र:

यदि x - (1/x) = P है, तो

x + (1/x) = √(P2 + 4) 

यदि x + (1/x) = P है, तो

x3 + (1/x3) = (P3 - 3P)

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

गणना:

x - (1/x) = (- 6)

x + (1/x) = √{(- 6)2 + 4} = √40 = 2√10

इसलिए, x² - 1/x² = (x + 1/x) (x - 1/x) = 2√10 × (-6) = -12√10

और x3 + (1/x3) =  (√40)3 - 3√40

⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10

अब,

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

⇒ {74√10 × (-12√10)} + (- 6)

⇒ - 74 × 12 × (√10 × √10) - 6

⇒ (- 8880) - 6 = - 8886

∴ सही उत्तर - 8886 है।  

दिया गया है:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 और abc = 15

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)]

गणना:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ विकल्प 1 सही विकल्प है।

दिया गया है:

प्रयुक्त सूत्र:

(a + 1/a) = P ; तब

(a² + 1/a²) = P² - 2

(a3 + 1/a3) = P³ - 3P

 = (a² + 1/a²) × (a³ + 1/a³) - (a + 1/a)

गणना:

a + (1/a) = 7

⇒ (a2 + 1/a2) = (7)2 - 2 = 49 - 2 = 47

⇒ (a3 + 1/a3) = (7)3 - (3 × 7) = 343 - 21 = 322

a5 + (1/a5) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

⇒ 47 × 322 - 7

⇒ 15134 - 7 = 15127

 ∴ सही उत्तर 15127 है। 

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

गणना:

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 या x = 1

प्रयुक्त सूत्र:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

गणना:

a + b + c = 0

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 × (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc 

अब, (a3 + b3 + c3)2 = (3abc)2 = 9a2b2c2 

दिया गया है:

(a + b + c) = 19

(a2 + b2 + c2) = 155

प्रयुक्त सूत्र:

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

गणना:

a + b + c = 19

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

⇒ (a + b + c)2 = (19)2

⇒ a2 + b2 + c2 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 155 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 2 × (ab + bc + ca) = (361 - 155)

⇒ (ab + bc + ca) = 206/2 = 103

अब,

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

⇒ 2 × (155 - 103) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

⇒ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 104

∴ सही उत्तर 104 है।

दिया गया है:

x2 + (1/x2) = 7

प्रयुक्त सूत्र:

x² + (1/x²) = P

तब x + (1/x) = √(P + 2)

और x - (1/x) = √(P - 2)

⇒ x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

गणना:

x2 + (1/x2) = 7

⇒ x + (1/x) = √(7 + 2) = √9

⇒ x + (1/x) = 3

⇒ x - (1/x) = -√(7 - 2)

⇒ x - (1/x) = - √5  {0

x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 3 × (- √5)

∴ सही उत्तर - 3√5 है।

Mistake Point

कृपया ध्यान दीजिए कि

0

इसलिए,

1/x > 1

इसलिए,

x + 1/x > 1

और

x - 1/x (क्योंकि 0 1 इसलिए x - 1/x

इसलिए,

(x - 1/x)(x + 1/x)