Evaluation of derivatives MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluation of derivatives - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

मापांक फलन सूत्र :

मापांक फलन का मान हमेशा धनात्मक होता है। यदि f(x) एक मापांक फलन है, तो हमारे पास है:

• यदि x सही है, तब f(x) = x
• यदि x = 0, तब f(x) = 0
• यदि x < 0, तब f(x) = -x

समाधान :

कथन I : इसकी सीमा \([0,\infty )\) है 

मापांक फलन की सीमा |x| धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जिसे \([0,\infty )\) के रूप में दर्शाया जाता है 

कथन II: यह x = 0 पर अवकलनीय है

किसी फलन का मापांक उस बिंदु पर अवकलनीय नहीं है जहां वह फलन शून्य के बराबर है।

दिया गया फलन f(x) = |x|, x = 0 पर शून्य है

अत: f(x), x = 0 पर अवकलनीय नहीं है

∴ केवल कथन पहला (1) है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

संप्रत्यय:

शृंखला नियम और अस्पष्ट अवकलन का उपयोग करके अवकलन:

• जब संयुक्त फलनों का अवकलन किया जाता है तो शृंखला नियम का उपयोग किया जाता है।
• अस्पष्ट अवकलन का उपयोग तब किया जाता है जब y, x का फलन है लेकिन स्पष्ट रूप से पृथक नहीं है।
• d/dx(√f(x)) = (1 / (2√f(x))) x df/dx
• y पदों का अवकलन करते समय, जहाँ आवश्यक हो dy/dx का उपयोग करें।

गणना:

दिया गया है,

√(1 − x²) + √(1 − y²) = a(x − y)

⇒ दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

⇒ d/dx[√(1 − x²)] + d/dx[√(1 − y²)] = d/dx[a(x − y)]

⇒ (1 / (2√(1 − x²))) × (−2x) + (1 / (2√(1 − y²))) × (−2y) × dy/dx = a − a(dy/dx)

⇒ (−x / √(1 − x²)) − (y / √(1 − y²)) × dy/dx = a − a(dy/dx)

⇒ dy/dx पदों को एक साथ करने पर

⇒ − (y / √(1 − y²)) × dy/dx + a(dy/dx) = a + (x / √(1 − x²))

⇒ dy/dx × [a − (y / √(1 − y²))] = a + (x / √(1 − x²))

⇒ dy/dx = [a + (x / √(1 − x²))] / [a − (y / √(1 − y²))]

अब, मान लें कि a = 1 (विकल्पों से मिलान करने के लिए)

⇒ dy/dx = [1 + (x / √(1 − x²))] / [1 − (y / √(1 − y²))]

परिमेयीकरण करें: अंश और हर को क्रमशः √(1 − x²) और √(1 − y²) से गुणा करने पर

⇒ dy/dx = √(1 − x²) / √(1 − y²)

∴ dy/dx का अभीष्ट मान √(1 − x²) / √(1 − y²) है। 

संप्रत्यय:

व्युत्क्रम टेंजेंट और कोटेंजेंट संबंध:

• व्युत्क्रम कोटेंजेंट फलन को व्युत्क्रम टेंजेंट फलन के पदों में लिखा जा सकता है: cot^-1 θ = (π/2) - tan^-1 θ.
• यह संबंध tan^-1 और cot^-1 दोनों वाले समीकरणों को सरल बनाने में उपयोगी है।

गणना:

दिया गया समीकरण है:

tan^-1 (2 / (3^x + 1)) = cot^-1 (3 / (3^x + 1))

हम सर्वसमिका cot^-1 θ = (π/2) - tan^-1 θ का उपयोग समीकरण को इस प्रकार पुनर्लेखित करने के लिए करते हैं:

tan^-1 (2 / (3^x + 1)) = (π/2) - tan^-1 (3 / (3^x + 1))

दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:

(2 / (3^x + 1)) = (3 / (3^x + 1))

यह विरोधाभासी समीकरण की ओर ले जाता है:

2 = 3

इसलिए, इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

निष्कर्ष:

सही उत्तर है:

• विकल्प (1): उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाला कोई वास्तविक मान x का नहीं है।

अवधारणा:

• हमें दिया गया है:
  • t = e^2x
  • y = log_e(t²) = 2 log_e(t)
• हमें द्वितीय अवकलज d²y/dx² ज्ञात करना है।
• इसके लिए अवकलन के शृंखला नियम और गुणन नियम की आवश्यकता होगी।

गणना:

चरण 1: y को x के पदों में व्यक्त करें

y = 2 log(t), जहाँ t = e^2x

चूँकि log(t) = log(e^2x) = 2x

⇒ y = 2 × 2x = 4x

प्रथम अवकलज:

dy/dx = d/dx (4x) = 4

द्वितीय अवकलज:

d²y/dx² = d/dx (4) = 0

∴ सही उत्तर : 0 है। 

f '(x) = x³ - 9x² + 20x = x(x - 4) (x - 5)

\(\therefore f(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{9 x^{3}}{3}+\frac{20 x^{2}}{2}\)

\(f(1)=\frac{1}{4}-3+10=\frac{29}{4}=\alpha\)

\(f(4)=\frac{256}{4}-3(64) +10(16)=64-192+160=32=\beta\)

\(4(\alpha+\beta)=4\left(\frac{29}{4}+32\right)=157\)

गणना:

दिया हुआ, \(\rm f(x) = x- \dfrac{1}{x}\)

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

⇒ f'(x) = 1 - \(\rm \left(\frac {-1}{x^2}\right)\)

= 1 + \(\rm\frac {1}{x^2}\)

x = -1 रखने पर

⇒ f'(-1) = 1 + \(\rm\frac {1}{(-1)^2}\) = 1 + 1 = 2

∴ f'(-1) = 2

गणना:

दिया है: x = t² , y = t³

⇒ \(\frac{dx}{dt} =2t\)  \(\frac{dy}{dt}=3t^2\)

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\)

\(\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2}{2t} =\frac{3}{2}t\)

पुनः x के सापेक्ष अवकलित करने पर :

⇒ \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{dt}{dx}\)

⇒ \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2t}\)  (∵ \(\frac{dx}{dt} =2t\))

∴  \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{3}{4t}\)

सही उत्तर \(\frac{3}{4t}\) है। 

संकल्पना:

\(\rm \frac{d(\log x)}{dx} = \frac 1 x\)

गणना:

दिया गया है:  y = e^{log (log x)}

ज्ञात करना है: \(\rm \frac{dy}{dx}\)

चूँकि हम जानते हैं कि, e^{log x} = x

∴ e^{log (log x)} = log x

अब, y = log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \frac{dy}{dx}=\rm \frac{d(\log x)}{dx} = \frac 1 x\)

गणना:

दिया गया है, f(x) = \(e^{4\log_ex}\)

f(x) = \(\rm e^{\log_e {x^4}}\)

f(x) = x⁴               (∵ e^{log_e x} = x)

दोनों पक्ष पर x के संबंध में अवकलज लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

f'(x) = 4x³

अवधारणा:

सूत्र:

log mn = n log m

\(\rm \frac{d(uv)}{dx} = v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}\)

\(\rm \frac{d\log x}{dx} = \frac{1}{x}\)

\(\rm \frac{dx}{dx} = 1\)

गणना:

माना y = xlog x

दोनों पक्षों को log लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ log y = xlog x

⇒ log y = log x log  x            (∵ log mn = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें मिलता है

⇒ \(\rm \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \log x \frac{dlogx}{dx} + logx \frac{d\log x}{dx}\)

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx} = y \left(\log x \times \frac{1}{x} + logx \times \frac{1}{x} \right )\)

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx} = \frac{x^{\log x}}{x}\ (2\log x)\)

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx} = x^{\log x-1} (\log x^2)\)

दिया हुआ: 

x2 + y2 = t + (1/t) और x4 + y4 = t2 + 1/t2 

प्रयुक्त सूत्र:

\(\rm \smallint {x^n}dx = \frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}} + c\)

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

गणना:

x2 + y2 = t + (1/t)      ----(1)

x4 + y4 = t2 + 1/t2      ----(2)

समीकरण (1) में वर्ग करके

x4 + y4 + 2x2y2 = t2 + 1/t2 + 2      -----(3)

समीकरण (3) से (2) घटाएं

⇒ 2x2y2 = 2

⇒ x2y2 = 1

⇒ y2 = 1/x2

⇒ 2y(dy/dx) = -(2/x3)

∴ dy/dx = \(\rm- {1\over {x^3y}}\)

संकल्पना:

\(\rm \frac{d}{{dx}}\left( {{\rm{ta}}{{\rm{n}}^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\)

\(\rm \frac{d}{{dx}}\left( {{\rm{co}}{{\rm{t}}^{ - 1}}x} \right) = \frac{-1}{{1 + {x^2}}}\)

\(\rm \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{x}} \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}\)

गणना:

\(\rm \frac{d}{{dx}}\left( {{{\cot }^{ - 1}}\frac{1}{x}} \right) =\frac{d \cot^{-1} \frac 1x}{d\left(\frac 1x\right)} \times \frac {d\left(\frac 1x\right)}{dx}\)

\(\rm = \frac{-1}{{1 + \left( {\frac{1}{x}} \right)^2}} \times \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{x}} \right)\)

\(\rm = \frac{-1}{{1 + \left( {\frac{1}{x}} \right)}^2} \times \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\)

\(\rm = \frac{1}{{\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}}}} \times \left( { \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\)

\(\rm = \frac{{{x^2}}}{{1 + {x^2}}} \times \frac{1}{x^2}\)

\(= \rm \frac{1}{{1 + {x^2}}}\)

Alternate Method

संकल्पना:

\(\rm \cot^{-1} \frac 1x = \tan^{-1} x\)

\(\rm \frac{d}{{dx}}\left( {{\rm{ta}}{{\rm{n}}^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\)

गणना:

\(\rm ​​\frac{d}{{dx}}\left( {{{\cot }^{ - 1}}\frac{1}{x}} \right) \)

= \(\rm ​​\frac{d}{{dx}}\left( {{\tan }^{ - 1}}x \right) \)

\(= \rm \frac{1}{{1 + {x^2}}}\)

संकल्पना:

\({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {{\rm{a}}^{\rm{x}}},{\rm{Then\;f'}}\left( {\rm{x}} \right) = {{\rm{a}}^{\rm{x}}}\ln {\rm{a}}\)

गणना:

दिया गया है कि  f (2) = 4 और f (x + y) = f(x) f(y) 

 x = 1, y = 1 रखने पर 

f(2) = f(1) f(1) = 4

f(1) = f(1) = 2

अर्थात् f(1) = 2¹

x = 1, और y = 2 रखने पर 

f (3) = f(1) f(2) = 2 × 4 = 2³

∴ f(x) = 2^x

⇒ f’(x) = 2^x ln 2

∴ f’(2) = 2² ln 2 = 4 ln 2

संकल्पना:

\(\rm \frac{d}{dx}ln[f(x)] =\rm \frac{1}{f(x)}f'(x) \)

गणना:

दिया गया फलन f(x) = 2^{sin x} है। 

अवकलज ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों में लघुगुणक लेने पर,

⇒ ln[f(x)] = sinx. ln 2

दोनों पक्षों में अवकलज लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\Rightarrow \rm \frac{d}{dx}ln[f(x)] = \frac{d}{dx}sinx. ln\;2\)
\(\Rightarrow \rm \frac{1}{f(x)}f'(x) = ln\;2 \;cos\;x\)
\(\Rightarrow \rm f'(x) = f(x).\;ln\;2 \;cos\;x\)

\(\Rightarrow \rm f'(x) = 2^{sin\;x}.\;ln\;2 \;cos\;x\)

यदि f(x) = 2^{sin x}  है,

तो f(x) का अवकलज

 \(\rm f'(x) = 2^{sin\;x}.\;ln\;2 \;cos\;x\) है।

अवधारणा:

• फलन की अवकलनीयता: एक फलन f(x) इसके डोमेन में x = a पर अवकलनीय तब होता है यदि इसका अवकलज a पर निरंतर होता है। 

  इसका अर्थ है कि f'(a) को मौजूद होना चाहिए, या समकक्ष रूप से:

  \(\rm \lim_{x\to a^+}f'(x)=\lim_{x\to a^-}f'(x)=\lim_{x\to a}f'(x)=f'(a)\)।

• मापांक फलन '| |' को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है: \( \rm |x|=\left\{\begin{matrix}\rm \ \ \ x, &\rm x \ge 0\\ \rm -x, &\rm x<0\\\end{matrix}\right.\)

गणना:

मापांक फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

f(x) = ex, x ≥ 0

और f(x) = e-x, x < 0

अवकलजों के पहले सिद्धांत का उपयोग करते हुए हम पाते हैं कि:

\(\rm \lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0}e^x\) = 1

और, \(\rm \lim_{x\to 0^-}f'(x)=\lim_{x\to 0}-e^{-x}\) = -1

चूंकि \(\rm \lim_{x\to a^+}f'(x)\neq\lim_{x\to a^-}f'(x)\) , दिया गया फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है, या, f'(0) मौजूद नहीं है।