Evaluation of derivatives MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Evaluation of derivatives - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇవ్వబడింది:

\(x=a\left(t+\frac{1}{t}\right)\) మరియు \(y=a\left(t-\frac{1}{t}\right)\)

భావన:

\(\rm \frac{d}{dt}t^n=nt^{n-1}\) సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి.

మరియు \(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\)

లెక్కింపు:

\(x=a\left(t+\frac{1}{t}\right)\) మరియు \(y=a\left(t-\frac{1}{t}\right)\)

t కి సంబంధించి రెండు సమీకరణాలను వేరు చేయండి.

\(\rm \frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}[a({t+\frac{1}{t}})]\) మరియు \(\rm \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}[a({t-\frac{1}{t}})]\)

\(\rm \frac{dx}{dt}=a({1-\frac{1}{t^2}})\) మరియు \(\rm \frac{dy}{dt}=a({1+\frac{1}{t^2}})\)

ఇప్పుడు, మనకు తెలుసు

\(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}\)

అప్పుడు

\(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{a({1-\frac{1}{t^2}})}{a({1+\frac{1}{t^2}})}\)

ఇప్పుడు కుడి వైపున ఉన్న లవం మరియు హారం రెండింటినీ t తో గుణించండి అప్పుడు

\(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{a({t-\frac{1}{t}})}{a({t+\frac{1}{t}})}\)

\(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{y}{x}\)

కాబట్టి (2) ఎంపిక సరైనది.

భావన:

• \(\rm\frac{d(u.v)}{dx}= \frac{d(u)}{dx}.v + u.\frac{d(v)}{dx}\)
• \(\rm \frac{d(a^x)}{dx} = a^x \log a\)

గణన:

ఇచ్చినది, y = 2x + x log x,

⇒ \(\rm\frac{dy}{dx}\) = 2x log 2 + [(x)' log x + x (log x)']

⇒ \(\rm\frac{dy}{dx}\) = 2x log 2 + log x + x.\(1 \over x\)

⇒ \(\rm\frac{dy}{dx}\) = 2x log 2 + log x + 1

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (2).

భావన:

• \(\rm d\over dx\)xn = nxn-1
• \(\rm d\over dx\)sin x = cos x
• \(\rm d\over dx\)cos x = -sin x
• \(\rm d\over dx\)ex = ex
• \(\rm d\over dx\)ln x = \(\rm1\over x\)
• \(\rm d\over dx\)(ax + b) = a
• \(\rm d\over dx\)tan x = sec2 x

శృంఖల నియమం: y అనేది u యొక్క ప్రమేయం మరియు u అనేది x యొక్క ప్రమేయం అయితే

• \(\rm {dy\over dx} = {dy\over du}\times {du\over dx}\)

గణన:

f(x) = \(\rm \left(x+{1\over x}\right)^2 \)

f(x) = \(\rm \left(x^2+{1\over x^2}+2\right) \)

f(x) = x² + x^-2 + 2

x దృష్ట్యా అవకలనం చేయడం

f'(x) = \(\rm d\over dx\)f(x)

f'(x) = \(\rm d\over dx\)(x2 + x-2 + 2)

f'(x) = \(\rm d\over dx\)x² + \(\rm d\over dx\)x^-2 + \(\rm d\over dx\)2

f'(x) = (2x) + (-2x^-3) + 0

f'(x) = \(\boldsymbol{\rm 2\left(x - {1\over x^3}\right)}\)

భావన:

\(\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\ \sqrt{x}}\)

గణన:

ఇచ్చినది: y = \(\rm \sqrt{\sin x+y} \)

x దృష్ట్యా రెండు వైపులా అవకలనం చేస్తే,

⇒ \(\frac{dy}{dx}\) \(=\frac{1}{2\sqrt{\sin x+y}}\times(\cos x+ \frac{dy}{dx})\)

⇒ \(\frac{dy}{dx}\) \(=\frac{1}{2y}\times (\cos x+\frac{dy}{dx})\)

⇒ \(2y\frac{dy}{dx}\) = \(\cos x +\frac{dy}{dx}\)

⇒ \((2y-1)\frac{dy}{dx}\) = \(\cos x \)

∴ \(\frac{dy}{dx}\) = \(\rm\frac{\cos x}{2 y−1}\)

సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక.

ఇవ్వబడింది:

\(x=a\left(t+\frac{1}{t}\right)\) మరియు \(y=a\left(t-\frac{1}{t}\right)\)

భావన:

\(\rm \frac{d}{dt}t^n=nt^{n-1}\) సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి.

మరియు \(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\)

లెక్కింపు:

\(x=a\left(t+\frac{1}{t}\right)\) మరియు \(y=a\left(t-\frac{1}{t}\right)\)

t కి సంబంధించి రెండు సమీకరణాలను వేరు చేయండి.

\(\rm \frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}[a({t+\frac{1}{t}})]\) మరియు \(\rm \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}[a({t-\frac{1}{t}})]\)

\(\rm \frac{dx}{dt}=a({1-\frac{1}{t^2}})\) మరియు \(\rm \frac{dy}{dt}=a({1+\frac{1}{t^2}})\)

ఇప్పుడు, మనకు తెలుసు

\(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}\)

అప్పుడు

\(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{a({1-\frac{1}{t^2}})}{a({1+\frac{1}{t^2}})}\)

ఇప్పుడు కుడి వైపున ఉన్న లవం మరియు హారం రెండింటినీ t తో గుణించండి అప్పుడు

\(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{a({t-\frac{1}{t}})}{a({t+\frac{1}{t}})}\)

\(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{y}{x}\)

కాబట్టి (2) ఎంపిక సరైనది.

భావన:

• \(\rm d\over dx\)xn = nxn-1
• \(\rm d\over dx\)sin x = cos x
• \(\rm d\over dx\)cos x = -sin x
• \(\rm d\over dx\)ex = ex
• \(\rm d\over dx\)ln x = \(\rm1\over x\)
• \(\rm d\over dx\)(ax + b) = a
• \(\rm d\over dx\)tan x = sec2 x

శృంఖల నియమం: y అనేది u యొక్క ప్రమేయం మరియు u అనేది x యొక్క ప్రమేయం అయితే

• \(\rm {dy\over dx} = {dy\over du}\times {du\over dx}\)

గణన:

f(x) = \(\rm \left(x+{1\over x}\right)^2 \)

f(x) = \(\rm \left(x^2+{1\over x^2}+2\right) \)

f(x) = x² + x^-2 + 2

x దృష్ట్యా అవకలనం చేయడం

f'(x) = \(\rm d\over dx\)f(x)

f'(x) = \(\rm d\over dx\)(x2 + x-2 + 2)

f'(x) = \(\rm d\over dx\)x² + \(\rm d\over dx\)x^-2 + \(\rm d\over dx\)2

f'(x) = (2x) + (-2x^-3) + 0

f'(x) = \(\boldsymbol{\rm 2\left(x - {1\over x^3}\right)}\)

భావన:

\(\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\ \sqrt{x}}\)

గణన:

ఇచ్చినది: y = \(\rm \sqrt{\sin x+y} \)

x దృష్ట్యా రెండు వైపులా అవకలనం చేస్తే,

⇒ \(\frac{dy}{dx}\) \(=\frac{1}{2\sqrt{\sin x+y}}\times(\cos x+ \frac{dy}{dx})\)

⇒ \(\frac{dy}{dx}\) \(=\frac{1}{2y}\times (\cos x+\frac{dy}{dx})\)

⇒ \(2y\frac{dy}{dx}\) = \(\cos x +\frac{dy}{dx}\)

⇒ \((2y-1)\frac{dy}{dx}\) = \(\cos x \)

∴ \(\frac{dy}{dx}\) = \(\rm\frac{\cos x}{2 y−1}\)

సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక.

ఇవ్వబడింది:

\(x=a\left(t+\frac{1}{t}\right)\) మరియు \(y=a\left(t-\frac{1}{t}\right)\)

భావన:

\(\rm \frac{d}{dt}t^n=nt^{n-1}\) సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి.

మరియు \(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\)

లెక్కింపు:

\(x=a\left(t+\frac{1}{t}\right)\) మరియు \(y=a\left(t-\frac{1}{t}\right)\)

t కి సంబంధించి రెండు సమీకరణాలను వేరు చేయండి.

\(\rm \frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}[a({t+\frac{1}{t}})]\) మరియు \(\rm \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}[a({t-\frac{1}{t}})]\)

\(\rm \frac{dx}{dt}=a({1-\frac{1}{t^2}})\) మరియు \(\rm \frac{dy}{dt}=a({1+\frac{1}{t^2}})\)

ఇప్పుడు, మనకు తెలుసు

\(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}\)

అప్పుడు

\(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{a({1-\frac{1}{t^2}})}{a({1+\frac{1}{t^2}})}\)

ఇప్పుడు కుడి వైపున ఉన్న లవం మరియు హారం రెండింటినీ t తో గుణించండి అప్పుడు

\(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{a({t-\frac{1}{t}})}{a({t+\frac{1}{t}})}\)

\(\rm \frac{dx}{dy}=\frac{y}{x}\)

కాబట్టి (2) ఎంపిక సరైనది.

భావన:

• \(\rm\frac{d(u.v)}{dx}= \frac{d(u)}{dx}.v + u.\frac{d(v)}{dx}\)
• \(\rm \frac{d(a^x)}{dx} = a^x \log a\)

గణన:

ఇచ్చినది, y = 2x + x log x,

⇒ \(\rm\frac{dy}{dx}\) = 2x log 2 + [(x)' log x + x (log x)']

⇒ \(\rm\frac{dy}{dx}\) = 2x log 2 + log x + x.\(1 \over x\)

⇒ \(\rm\frac{dy}{dx}\) = 2x log 2 + log x + 1

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (2).

పద్ధతి:

gof(x) = g(f(x))

చైన్​ నియమం : [f(g(h(x))]' = f'(g(h(x))g'(h(x)h'(x) ఇక్కడ f'(x) అంటే f(x యొక్క ఉత్పన్నం ) wrt x

సూత్రం:

d/dx(ex) = ex

d/dx(sinx) = cos x

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

f : R → R, f(x) = sin(sinx) మరియు g : R → R, g(x) = ex

∵ gof(x) = g(f(x))

⇒ [gof(x)]' = g'(f(x))f'(x)

⇒ [gof(x)]' = esin(sinx)[sin(sinx)]'

⇒ [gof(x)]' = esin(sinx)cos(sinx)[(sinx)]'

⇒ [gof(x)]' = esin(sinx)cos(sinx)cosx

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.